PREMIERE PARTIE. DE LA CONSTRUCTION A DES TABLES. Prés avoir défini ce que c'eft que Sinus, Tangente & Secante : nous dirons que les Geometres, qui les premiers ont connu l'utilité des Sinus, ont divifé le rayon en 60. parties égales, & chaque partie en 60. autres parties plus petites qu'ils ont appellées minutes. C'est là deffus qu'ils ont calculé des Tables, pour fçavoir la valeur de tous les Sinus des angles depuis une minute jufqu'à 90. degrez, pour pouvoir connoître par exemple la valeur du Sinus d'un angle de 54. degrez 30. minutes, ou de 86. degrez 18. minutes, en un mot toute forte d'angles. Mais les Geometres modernes ayant reconu que les operations que l'on faifoit par le moyen de ces Tables, n'étoient pas affez précises, afin d'éviter ce défaut, ont calculé d'autres Tables dont le Sinus total, ou le rayon du Cercle eft fuppofé de 100000. parties, & même de 10000000. C'eft la conftruction de ces Tables que nous allons enseigner en peu de mots, & par les voyes les plus aifées dans la premiere & feconde partie de ce Traité. PROPOSITION I. THEOREM E. La foutendante d'un arc eft double du Sinus de la moitié du même arc. A ligne BC foutendante de l'arc BDC eft dou- Fig. Lble du Sinus de l'arc BD, qui en eft là moitié ; car le rayon AD divifant BC en deux également, la coupera auffi perpendiculairement (par la 3. du 3.) donc BE fera Sinus de l'arc BD; mais BC eft double de BE, & l'arc BDC eft double de BD; donc BC fera double du Sinus d'un angle qui fera la moitié de celui dont elle eft la fou tendante. COROLLAIRE. Il s'enfuit de là que la foutendante d'un arc étant connuë, l'on aura le Sinus d'un arc qui fera la moitié de l'arc propofé; ainfi la foutendante d'un arc de 60. degrez, qui est égal au rayon du Cercle, étant donné à fçavoir 100000. le Sinus de trente degrez fera soooo. Fig. 3. PROPOSITION II. THEOREM E. Le quarré du Sinus droit d'un arc, avec le quarré A U quart de Cercle BC, dont le rayon eft AD, foit DF Sinus de l'arc DC, & DE Sinus de fon complement BD, je dis que les quarrez de ces deux Sinus DF, DE font égaux au quarré du rayon AD. Car puifque BC eft un quart de Cercle, CA eft. perpendiculaire à AB; mais DE eft auffi perpendiculaire à AB, par la definition du Sinus ; donc DE & CA font paralleles; & par la même raison BA & DF font auffi paralleles; & partant FE eft un parallelograme, dont le côté DE est égal à fon oppofé FA; mais le quarré de AD est égal aux quarrez de DF & de FA, ou de fon égal DE; par confequent le quarré de DF, Sinus droit de l'arc DC, & le quarré de DE Sinus droit de fon complement DB, font égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D. COROLLAIRE. Il s'enfuit de là que le Sinus droit d'un arc étant donné, l'on aura le Sinus droit de fon complement au quart de Cercle; car fi l'on ôte le quarré du Sinus donné, du quarré du rayon, il reftera le quarré du Sinus de fon complement, dont la racine quarrée fera le Sinus cherché. 58779. fi l'on ôte fon quarré qui eft 3454970841. du quarré du rayon qui eft 10000000000, il reftera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée eft 80901; quand ce qui refte excede soooo. on ajoûte une unité dans les Tables; c'eft pourquoi l'on y trouve 80901, pour le Sinus de 54. deg. PROPOSITION III. THEOREM E. La difference des Sinus des deux arcs également éloi-gnez de 60. degrez, eft égale au Sinus de la moitié de la difference de ces deux arcs. J E dis que fi l'arc BD eft de 60. degrez, & que Fig. 4 les deux deux arcs BC, BE en foient également éloignez, en forte que l'arc ED., ou CD foit égal, foitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, est égale au Sinus EO, ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE. Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD se trouve coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoîtra aifément que le triangle ECF eft équilateral, & quela ligne EH, ou le Sinus EO, ou CO, eft la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D. COROLLAIRE. I. Il s'enfuit de là, premierement que fi les Sinus de deux arcs également diftans de la fixième partie du Cercle, font donnez, l'on trouvera le Sinus de la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme Par exemple, foit donné le Sinus de 40. deg. à fçavoir 64278. & celui de 80. degrez, à scavoir 98480, qui font également diftans de 66. deg. qui eft la fixième partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à fçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80.étant égale au Sinus de 20. deg. il est évident que fi l'on fouf trait le plus petit du plus grand, ce qui reftera fera le Sinus cherché. COROLLAIRE IL Il s'enfuit encore que fi le Sinus d'un arc moindre que la fixiéme partie du Cercle eft donnée, avec le Sinus de la difference de cet arc à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpaffera autant la fixième partie du Cercle, que l'autre en étoit furpaffé. Ainfi le Sinus de so. deg. à fçavoir 76604. étant donné avec le Sinus de 10. deg. à fçavoir 17364. difference.de so. deg. à la fixième partie du Cercle,on trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difference du Sinus de so deg. à celui de 70. eft égale au Sinus dero. deg. qui eft le défaut de so.d. à la fixiéme partie du Cercle, il eft évident que fi au Sinus de 50. deg. 76604. on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365. ce qui viendra, à fçavoir 93969, fera le Sinus de 70. deg. que l'on demande COROLLAIRE III. De même étant donné le Sinus de 70. deg, avec celui de 10. il eft évident qu'en ôtant celui-ci de |