i

puifque DF eft à AD, comme AD eft à BE; fi on multiplie AD 10. quarrément, &'que l'on divife le produit 100. par DF 8. le Quotient fera 12 qui fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

Fig. 12.

Fig. 12.

Le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit d'un arc, & la fecante de fon complément.

S

Oit CB Sinus droit de l'arc GC, & AE fecante de fon complément CD; je dis que le rayon AC, ou AD eft moyen proportionnel entre BC & AE; c'eft à-dire que comme BC eft à AC, ainsi AC eft à AE.

Pour le prouver. Aux deux triangles EAD CAF, les deux angles F & D font droits & égaux, & l'angle A commun, & partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour de l'angle commun A, proportionnaux. C'est-à-dire que comme AF, ou BC fon égale, eft à AC, ainfi AC, ou AD fon égale eft à AE. C. Q.F. D.

COROLLAIRE I.

Le Sinus droit d'un arc étant donné, avec le rayon, on trouvera la fecante de fon complement; car puifqu'il y a même raifon du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon, à la fecante de fon complément; le quarré du rayon étant divifé par le Sinus droit connu, il viendra la fecante que l'on cherche; ainfi fi AF, ou BC fon égale, eft 6, & le rayon AC 10. la fecante AE fera 16.3.

COROLLAIRE II.

Etant donné le Sinus droit d'un arc, avec le rayon, on trouvera la fecante de cet arc; car le Sinus droit d'un arc étant donné, on trouve le Sinus droit de fon complément (par le Coroll. de la i.) enfuite dequoi il ne faut que fe fervir du raifonnement précedent,& l'appliquer à ce Sinus ; car il y a même raifon du Sinus droit du complément au rayon, que du rayon à la fecante de l'arc donné.

B

SECONDE PARTIE.

De la construction des Tables des Sinus des Tangentes, & des Secantes.

PROPOSITION FONDAMENTALE.

De la maniere de conftruire les Tables des Sinus..

Suppofé ce qui a été démontré en la premiere

partie, & prenant certaines chofes pour accordées, qui ont été prouvées dans les Elemens d'Euclide, la chofe n'eft pas fi difficile qu'elle paroît d'abord.

Le diametre du Cercle eft supposé valoir 200000 parties par quelques-uns, & par d'autres plus ou moins; mais nous nous tenons à cette divifion commune, qui eft de 200000. fur ce pied.

Le côté de l'exagone infcrit au Cercle vaut 100000. Car il eft égal au rayon du Cercle (par la 15. du 4.)

Le côté du triangle équilateral infcrit au Cercle, vaut 173205. Car le quarré d'un tel triangle eft égal à trois fois le quarré du rayon (par la 12. du 13.) de forte que fi l'on prend trois fois le quarré de 100000.& que de la fomme on prenne la racine quarrée, ce fera la valeur du côté de ce triangle.

Le côté du quarré infcrit au Cercle, vaut 141421. Car (par la 6. du 4.) le côté du quarré infcrit au

les deux autres côtez font les rayons du Cercle; d'où réfulte que le côté du quarré infcrit au Cercle, eft la racine quarrée de deux fois le quarré du rayon.

Le côté du Pentagone vaut 117557. Car (par la 10. du 13.) le quarré du côté du Pentagone eft égal aux quarrez des côtez de l'Exagone & du decagohe,de forte que fi l'on prend les quarrez de 100000. & de 61804. qui font les côtez de l'Exagone & du decagone, la racine quarrée de leur fomme fera le côté du Pentagone.

Le côté du Decagone vaut 61804. dautant que (par la 9. du 13.jle côté du Decagone eft le moindre fegment d'une ligne coupée en la moyenne, & extrême raison, qui feroit compofée du côté de l'exagone, & du côté du Decagone pris enfemble; & par le Corollaire de la même Propofition, c'eft le plus grand fegment du côté de l'Exagone ou du rayon, ainfi coupé.

C'eft pourquoi (par la 11. du 2.) fi l'on ôte le demi rayon 5oooo. de la racine quarrée du quarré du rayon, & du quarré du demi rayon pris enfemble, il refte 61803. pour côté du Decagone; & dautant qu'il refte encore 89191. qui eft plus de 50000. l'on ajoûte une unité dans les Tables, & l'on met d'ordinaire 61804. pour côté du Decagone.

Plan

Le côté du Quindecagone vaut 41582. car (pat che 2. la 6. du 4. le côté du Quindecagone eft une ligne Fig.13. droite, comprise entre la Bafe d'un triangle Equilateral, & celle d'un Pentagone infcrit au Cercle, & commençant en un même point; telle qu'eft ici DE qui eft comprise entre les Bases DH; & EG. Or la valeur ou la quantité de DE fe peut trouver ainfi. DH eft connu étant le côté d'un triangle Equilateral infcrit au Cercle; EG eft auffi connu étant le côté d'un Pentagone. Partant leurs moi

tiez DK, EL font auffi connues, qui font les Si nus droits des arcs FD, FE; d'où s'enfuit que leur difference DI fera auffi connuë.

De plus dautant que EM, ou LA son égale eft le Sinus droit du complement de FE, & que DN, ou AK fon égale eft le Sinus droit du complement de FD, les deux lignes AK, AL viendront connuës, (par la 2. Prop. de la 1. Partie.) & partant leur difference auffi KL, ou fon égale IE; fi donc au triangle rectangle DIE, les deux côtez DI & IE étant connus, on prend leurs quarrez, ils compoferont ensemble le quarré de DE, dont la racine quarrée fera DE, côté du` quindecagone cherché. C. Q. F.D.

Le côté de l'exagone contient
Le côté du triangle en contient
Le côté du quarré en contient
Le côté du pentagone en contient
Le côté du decagone en contient

60. degrez

120.

90.

72.

36.

Le côté du quindecagone en contient 24.

Le côté de l'exagone qui eft égal au rayon, vaut

Le côté du decagone en vaut
Le côté du quindecagone en vaut

61804. 41582.

Cela fuppofé, pour conftruire les Tables des Sinus,il n'y a plus d'autre fatigue à effuyer que la longueur du travail; car il ne faut rien fuppofer autre chofe que ce qui eft contenu dans les propofitions précedentes.

Les fourendantes de foixante degrez font

100000.parties.

de 120. degrez

173205.