PROPOSITION IV.

La difference des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur quotient, lorfque le Logarithme de l'unité eft o.

P Ropofons, par exemple, les deux nombres

entiers 6, 24, dont le quotient eft 4 ; je dis que le Logarithme de 4 eft égal à la difference des Logarithmes de 6 & de 24, le Logarithme de l'unité étant o. Car puifque divifant 24 par 6, il vient 4. ces quatre nombres 1,4,6, 24, feront en proportion Geometique, & leurs Logarithmes en proportion Arithmetique, & l'on connoîtra comme auparavant, que le Logarithme de 24 eft égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 4: c'eft pourquoi fi du Logarithme de 24, on ôte le Logarith me de 6, la difference fera le Logarithme 4. C. Q. F. D.

PROPOSITION V.

Le Logarithme d'un nombre, eft la moitié du Loga rithme de fon quarré, & le tiers du Logarithme de fon cube, lorfque le Logarithme de l'unité est 0.

P

la

Ropofons, , par exemple, le nombre 6, dont le quarré eft 36, & le cube eft 216; je dis premierement que le Logarithme de 6 n'eft que moitié du Logarithme de fon quarré 36. Car puifque le quarré 36. eft le produit de 6 par 6, fon Logarithme fera égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 6, c'eft-à-dire au double du Logarithme de 6 par la 1.) d'où il fuit que le Logarithme de 6. est la moitié du Logarithme de fon

Je dis en fecond lieu que le Logarithme de 6 eft le tiers du Logarithme de fon cube 216. Car puifque 216 eft le produit de 6 & de fon quarré 36, fon Logarithme fera ( par la 1. ) égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 36, c'eft-à-dire au triple du Logarithme de 6, parce que le Logarithme de 36 a été demontré double du Logarithme de 6. D'où il fuit que le Logarithme de 6, n'eft que le tiers du Logarithme de fon cube 216, ce qui ref toir à démontrer.

PROPOSITION VI.

Trouver entre deux nombres donne un moyen Geome trique proportionnel,

S donnez, on aura par 20. 7. le quarré du moyen; c'eft pourquoi fi on prend la racine quarrée de ce produit, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que fi l'un des deux nombres donnez eft l'unité, il n'y a qu'à prendre la racine quarrée de l'autre, pour avoir le moyen proportionnel qu'on demande.

I on multiplie ensemble les deux nombres

PROPOSITLON VII.

Entre deux nombres donnez trouver un moyen pro portionnel arithmetique,

I on ajoûte ensemble les deux nombres donnez, ou aura (par la 2. ) le double du moyen ; c'eft pourquoi fi on prend la moitié de cette fomme, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fait que quand l'un des deux nombres donnez eft o, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'autre, pour avoir

PROPOSITION VIII.

Trouver le Logarithme d'un nombre propose.

Pné, comme de 9, qui eft entre 1 & 10, dont

Our trouver le Logarithme d'un nombre don

doooooo, ou 0. 00000000,1. 00000000 en

I.

aug-:

on connoît les Logarithmes o. 0000000, les mentant chacun d'un zéro, pour avoir plus exactement le Logarithme qu'on cherche, à cause des fractions qui reftent aprés la derniere figure; augmentez auffi les deux nombres 1, 10, & tous les autres de la progreffion Geométrique, d'autant de zéros que leurs Logarithmes en contiennent, comme ici de fept zéros, pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre propofé 9, qui alors vaudra autant que 9, ooooooo, comme 1. vaut autant que 1. 0000000, que nous appellerons A, & 10, autant que 10. ooooooo que nous appellerons B: & faites ainfi.

Cherchez par la 6.) entre A & B un moyen Geometique proportionnel C, qui eft moindre que le nombre propofé 9. 0000000; C'est pourquoi pour approcher davantage de ce nombre 9, il faudra chercher entre les deux plus proches B & C, un fecond moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que le nombre propofé 9. 0000000, & plus proche que le nombre trouvé C, on fe cherchera entre ce plus proche C, & le plus grand B, un troifiéme moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que nombre propofé 9. ocooooo, on cherchera pareillemen tentre ce plus proche D, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel E, qui eft encore moindre que le propofé

veau entre ce prochainement moindre E, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel F, qui quoique moindre que 9. ooooooo, en appro che plus que le précedent D; c'eft pourquoi on cherchera entre ce prochainement moindre F, & le plus grand B, un cinquiéme moyen proportionnel G, qui fe rencontrant ici plus grand que 9.0006000,on doit chercher entre ce plus grand G, & le plus petit F, un fixiéme moyen pproportion nel H, qui eft bien moindre que 9. 0000000 mais non pas avec une fi grande difference que F, ainfi entre ce prochainement moindre H, & le prochainement plus grand G, on doit chercher un feptiéme moyen proportionnel I, qui eft plus grand que 9.ooooooo, mais non pas avec un fi grand excez que G, c'eft pourquoi entre ce prochainement plus grand I, & le prochainement moindre H, il faut chercher un huitiéme moyen proportionnel K, qui quoique plus grand que 9. 0000000, en approche encore davantage que le précedent I. Ainfi en continuant à chercher entre le prochai nement moindre, le prochainement plus grand des moyens Geometriques proportionnels, on aura des nombres qui approcheront toujours de plus en plus du nombre propofé 9. ooooooo, lequel enfin Le trouve ici le vingi fixiéme moyen Geometrique proportionnel, dont le Logarithme fera connu fans peine; car comme entre les nombres A, B, on a trouvé un moyen proportionnel Geometrique C, fi entre les Logarithmes des mêmes nombres A, B, on cherche ( par la 7.) un moyen proportionnel Arithmetique, on aura le Logarithme du moyen proportionnel Geométrique C. C'eft de la même façon que les Logarithmes des autres moyens Geométriques proportion