PROPOSITION II.

Si dans un Triangle rectangle, l'un des côte eft pris.
pour le rayon du Cercle, l'autre côté fera la
Tangente de l'angle auquel il eft oppose,
& la base en fera la Secante.

A

U Triangle rectangle ABC, le côté AC Fig. 1 étant pris pour le rayon du Cercle; je dis que AB eft la Tangente de l'angle C, & que CB

en eft la Secante.

Car aprés avoir du centre C, & de l'intervalle CA, décrit le Cercle ADE, il eft évident (par la définition de la Tangente) que AB perpendiculaire au rayon eft la Tangente de l'arc AD, ou de l'an gle C.

COROLLAIRE I.

Etant donc connu, l'un des côtez d'un Triana gle rectangle, avec les angles, l'on connoîtra l'au tre côté & la bafe. Ce Corollaire eft une autre ma niere de trouver la même chofe que ce qui a été trouvé par le Corollaire précedent.

Soit AC 53. toiles, & l'angle C 34. degrez l'on connoîtra le côté AB 16. toifes. Car comme AC 100000 eft à AC 53. toifes, ainfi AB Tangente de l'angle C 67451, eft à AB 36. toifes.

De même pour la bafe CB, comme AC 100000 eft à AC 53. toifes, ainfi CB Secante de C, 120622 eft à CB 63. toifes.

COROLLAIRE II.

Les côtez d'un Triangle rectangle étant connus on connoîtra les deux autres angles & la base.

す

Planche 2.

Au Triangle ADC, le côté AC étant 53. toifes, & AB 36. toises, l'on connoîtra premierement la bafe (par la 47. du 1.) puis on connoîtra l'angle C de 34 degrez 11. minutes.

Car comme AC 53. toifes eft à AC 100000. ainfi 'AB 36. tois, est à AB Tangente de l'angle C 67924 dont l'angle vaut 34. degrez 11. minutes.

PROPOSITION III.

En tout Triangle les côtez font en même raison que les Sinus de leurs angles oppofez.

Yant fait paffer la circonference d'un Cercle par les fommets des trois angles A, B & C, Fig.16 les trois côtez du Triangle feront des cordes fur lefquelles fi on abaiffe du centre L, des perpendiculaires, LG, LH, & LI, elles feront chacunes partagées en deux également aux points D, E, F, auffi bien que les arcs qu'elles foûtiennent. Or l'angle C a pour mefure la moitié de l'arc BGA fur lequel il s'appuye (par la 20 du 3.)mais nous avons dit dans nos définitions, que le Sinus d'un angle étoit la moitié de la corde d'un angle double: cela étant la ligne DB fera donc le Sinus de l'arc GB, ou de l'angle C, par la même raison BE eft le Sinus de l'angle A, & CF de l'angle B ; mais AB a même raifon à fa moitié DB, que BC à fa moitié BE: donc en raifon alterne AB eft à BC, comme DB Sinus de l'angle C, eft à BE Sinus de l'angle A. De même BC fera à CA, comme EC Sinus de l'angle A, eft à CF Sinus de l'angle B. C. Q. F.D.

Plan

COROLLAIRE.

Il fuit de cette Propofition que dans un Triangle che 2. qui n'eft pas rectangle, tel que EFG ; fi l'on con

EG de 12. toifes, l'on connoîtra aifément par le
moyen de l'angle G de 54. le côté EF qui lui eft
oppofé; en faifant cette analogie, Comme le Sinus,
68.99 del’angle de 43. degrez eftà in toifes cô
12.
té oppofé, ainfi 81915 Sinus de 54. degrez eft au
côté EF que je cherche, & qui fe trouve ici de 14-
toifes, & prés d'un tiers. Il eft bon de remarquer
que dans les Corollaires précedents, auffi bien que
dans celui-ci, lorfqu'on dit en analogie, comme
le Sinus de cet angle là eft à ce côté-ci, ainfi le Si-
nus de cet angle-ci eft à ce côté-là; c'eft la même
chose que fi l'on difoit fi le Sinus de cet angle là
m'a donné tant pour fon côté oppofé, que donnera
cet angle-ci pour fon côté oppofé que je cherche.
Ceci eft comme vous voyez l'opération de la
Regle de Trois,

PROPOSITION IV.

La fomme des deux côtez inégaux d'un Triangle qui n'eft pas équilateral, eft à leur difference, comme la Tangente de la moitié de la fomme des deux angles oppofez à ces deux côtez inégaux, eft à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles.

E dis que des deux côtez inégaux AC, BC, du PlanTriangle ABC, la fomme eft à leur difference, che za comme la Tangente de la moitié de la fomme des Fig.141 angles A, B oppofez à fes deux côtez, eft à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles AB.

Décrivez de l'angle C, compris par les deuxcôtez AC, BC, dont il eft queftion, par la pointe de l'un de leurs angles oppofez A, B, comme par la pointe B, une circonference de Cercle EBDH Prolongez l'un des deux mêmes côtez AC, BC,

འ

comme AC, de part & d'autre jufqu'à la circonfe rence du Cercle aux points D, E, & joignez les droites BD, BE, qui feront perpendiculaires entre elles (par la 31. du 3. ) & alors on connoîtra aifément que AD eft la fomme des côtez AC, BC; à caufe des deux lignes égales BC, CD, & que AE eft la difference des mêmes côtez AC, BC, à caufe des deux lignes égales BC, CE. Tirez enco re du point E, la droite EF parallele à la droite BD, & par conféquent perpendiculaire à la ligne BE (par la 29. du 1.) laquelle ligne EF rencontre le troifiéme côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E par le point B, l'arc de Cercle BG, qui (par la 16. du 3.) fera touché en B par la droite BD, laquelle par conféquent fera la Tangente de cet arc BG, ou de l'angle BED qu'il mesure, à l'égard du Sinus total EB : & du point B par le point E, l'arc EI, qui ( par la 16. du 3.) fera touchée en E, par la droite EF, laquelle par conféquent fera la Tangente de l'arc EI, ou de l'angle AEB qu'il mefure; & alors on connoîtra (par la 32. du 1.) que l'angle BCD, eft la fomme des deux angles A, B, & (par la 20. du 3.) que l'angle BED eft la moitié de cette fomme; d'où il fuit que la ligne BD eft la Tangente de la moitié de la fomme des angles A, B, à l'égard du rayon EB, on connoîtra auffi (par la 32. du 1.) que l'angle A furpaffe l'angle BED, du petit angle ABE, & que l'angle B eft furpaffé par le même angle BED, ou BEC fon Plan- égal (par là 5. du 1.) du même petit angle ABE, la the 2. & que par conféquent ce petit angle ABE eft la Fig. 14. moitié de la difference des deux angles A, B, &

qu'ainfi la Tangente de la moitié de leur difference eft EF. Je dis donc que la fomme des côtez AD, eft à leur difference AE, comme la Tangente BD

gente EF de la moitié de leur difference.

Parce que les deux lignes DB, EF font paralleles (par la Conftruction) les deux angles alternes BDE, DEF, feront égaux (par la 29 du 1.) & parce que les deux angles opposez au fommer BAD, EAF, font auffi égaux entr'eux (par la 15. du 1.) il s'enfuit (par la 32. du 1.) que les deux Triangles ABD, ABF font équiangles; & (par la 4. du 6.) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF font proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que fi deux côtez d'un Trian gle scalene, font donnez, avec l'angle qui eft enfermé par fes deux côtez, on trouvera les deux autres angles, & le troifiéme côté, par exemple.

Au Triangle ABC, & le côté AB étant de 45. toifes, AC de 30. toifes, & l'angle A qui eft en- Planfermé par fes deux côtez, de 95.degrez l'angle C. che 24 fera trouvé de 52. degrez 53. minutes. Car en Fig.194 ôtant l'angle A qui eft connu de 180. degrez, reftera 85. degrez pour la fomme des deux angles B,

& C.

Or comme la fomme des deux côtez AB, AC, 75 toises, eft à leur difference 15. toises, ainfi 91633. Tangente de 42. degrez 30. minutes, moitié des deux angles B. & C, eft à 18326. Tangente d'un autre angle, dont le plus grand angle C, furpaffe cette moitié; mais par les Tables on trouve que 18326. eft la Tangente de 10. 23. minutes. Si donc l'on ajoute ro. deg. 23. deg. 23. min. avec 42 degrez 30. minutes, moitié des deux angles, il viendra 2. degrez 53. min. pour le plus grand angle C. D'où il s'enfuit que fi l'on âte ces 10. degrez 23. minutes, de 42. degrez 30. minutes