I

Lignes de la 1re Claffe du 4me ordre. Il arrive fouvent que de deux branches qui partent du même fommet, l'une a une Afimptote droite, l'autre une Afimptote courbe, & que par conféquent la 1re eft de l'efpece Hiperbolique, la 2de de la Parabolique. Deux autres branches pareilles peuvent être tellement pofées, qu'une même droite fera l'Afimptote commune des deux branches Hiperboliques qui fe regarderont, & une même Courbe l'Afimptote commune des deux branches Paraboliques qu'elle embraffera.

Afin qu'une Courbe de cette 1re Classe puisse avoir 8 branches infinies, il faut qu'elle foit formée de 4 Courbes, ayant chacune deux branches, & que ces 4 Courbes foient diftribuées dans les 4 angles que deux axes feront entre eux. C'est là le cas le plus compliqué de cette Claffe, & en demeurant dans cette complication, quant au nombre des Courbes qui compoferont la totale, il reçoit de grandes variétés par la nature, les contours, les positions des Courbes partiales, & même de leurs deux branches, qui, comme nous venons de le dire, peuvent être différentes entre elles.

Il est important de connoître d'où partent ces Courbes partiales, ou, ce qui revient au même, quelle eft la distance de leurs fommets à un axe déterminé que M. l'Abbé de Bragelongne appelle le véritable. Ces fommets étant paralleles à cet axe, on trouve par la Regle des Tangentes le point où fera une Tangente parallele, & à ce point fera le fommet cherché, & de-là on tirera fa distance à l'axe. Il arrive quelquefois qu'il en eft à une distance infinie. Il est clair que les Courbes partiales ne pouvant être plus de 4, la totale ne peut avoir au plus que 4 fommets.

Ce ne font pas toûjours des Courbes à fommet, comme les Paraboliques, ou les Hiperboliques, qui font les Courbes partiales, ce sont auffi des Courbes Anguinées qui n'ont point de fommet, puifque les deux branches qu'elles ont de part & d'autre de leur point d'Infléxion, s'étendent chacune d'un côté oppofé, & non du même côté. Ces deux branches ont cha cune une Afimptote droite, & ces deux droites font paralleles,

ce qui renferme leur cours infini entre des bornes les plus étroites, & les plus marquées qu'il foit poffible.

Ce que nous avons dit en 1729* des Hiperboles infcrites ou circonfcrites à leurs Afimptotes ou ambigenes, s'applique de foi-même ici aux Courbes qui ont des Afimptotes courbes. Ces Courbes peuvent être ambigenes, c'est-à-dire, en partie inscrites, en partie circonfcrites à leurs Afimptotes, & alors elles n'ont point de diametre, ce qui eft remarquable. On appelle diametre dans une Courbe quelconque une droite qui coupe en deux moitiés égales toutes les paralleles en nombre infini tirées d'un point de cette Courbe à un oppofé. Quand une Courbe eft ambigene par rapport à fon Afimptote courbe, il est bien vrai que cette Afimptote a un diametre qui coupe également toutes les paralleles qu'on y peut tirer, mais il ne peut couper de même toutes celles de la Courbe ambigene, tant dans la partie inscrite que dans la circonfcrite, car s'il le peut à l'égard d'une de ces parties, on voit ailément qu'il ne pourra à l'égard de l'autre.

le

En ôtant le diametre à ces fortes de Courbes, M. l'Abbé de Bragelongne donne à d'autres un contre-diametre, dont l'idée eft nouvelle. Sa fonction eft de couper une Courbe en deux parties égales & femblables. Si par le point d'Infléxion de la re Parabole cubique on tire une Tangente infinie, ce fera un contre-diametre, parce que d'un côté sera la moitié concave de la Courbe, de l'autre la convexe, toutes deux égales & femblables. Les Courbes Anguinées qui fe trouvent fouvent ici, pourront avoir des contre-diametres. Une Science ne peut guere s'enrichir de vûës nouvelles fans groffir son Dictionnaire de quelques termes nouveaux, mais la modestie des Sciences Mathématiques demande qu'ils foient néceffaires.

On ne trouvera point dans les Mémoires celui pour lequel tour cet article a été fait. Comme cette Théorie des Lignes du 4me Ordre devoit encore dans la fuite s'étendre beaucoup, l'Académie, de concert avec M. l'Abbé de Bragelongne, jugea qu'il étoit plus propos de faire du tout enfemble un Volume qui paroîtra fepa

à rément.

CE

Ette année M. Fontaine apporta à l'Académie des Solutions dont le sujet avoit quelque chofe de fingulier. On fuppofe que fur une furface quelconque donnée foient difpofés en tel nombre & en tels endroits qu'on voudra des points actifs, comme des Feux dont on connoiffe la Force abfoluë de chacun, & de plus la Loi felon laquelle croît ou décroît leur action en vertu de leur distance au Corps fur lequel ils agiffent, on demande 1° quelle eft la route qu'il faut fuivre fur cette furface pour se dérober le plus qu'il eft poffible à fe l'action de ces points ou feux, 2° s'il faut partir d'un point déterminé, & aller à un autre déterminé, quelle fera encore la route, 3o quelle elle fera encore, s'il eft prefcrit qu'elle foit d'une certaine longueur, & entre deux points déterminés.

Il ne faut pas beaucoup de Géométrie pour sentir la difficulté de ces Problemes, ou, pour mieux dire, plus on sera Géometre, plus on la fentira. Auffi M. Fontaine fut-il obligé d'entrer dans un Calcul Infinitéfimal fort compliqué & fort délicat, où l'on trouva qu'il faifoit preuve de beaucoup d'habileté.

Ous renvoyons entiérement aux Mémoires

No

L'Ecrit de M. Nicole fur les Roulettes formées fur la V. les M.

fuperficie convexe d'une Sphere, &c.

Celui de M. Clairaut fur les Epicycloïdes Sphériques.

p. 271.

p. 289.

Du même, fur les Courbes algébriques & rectifiables de p. 383. la furface du Cone.

Les Solutions d'un Probleme géométrique de M. Cramer, V. les M. Profeffeur à Geneve, trouvées par Mrs Clairaut, Nicole, de P.435.437Maupertuis & Camus.

442.&446.

ASTRONOMIE.

SUR LA PARALLAXE DE LA LUNE. Ous avons dit en 1703 * combien il eft important pour les Eclipfes de Lune de connoître la Parallaxe de cet Aftre, on fous-entend toûjours l'Horifontale, qui est la plus grande qu'un Aftre puiffe avoir à un point donné ou déterminé de fon Orbite.

La parallaxe d'un Aftre eft égale à l'angle fous lequel le demi-diametre de la Terre feroit vû de cet Aftre. Si donc nous pouvons fçavoir fous quel angle, ou de quelle grandeur paroîtroit le demi-diametre de la Terre à un Spectateur placé dans la Lune, nous aurons la parallaxe de la Lune, & c'est ce que M. Godin recherche, en faifant prefque voir fur la Lune ce demi-diametre de la Terre, tel qu'il y eft vû.

L'ombre de la Terre, qui fe jette fur la Lune, eft un Cone dont la pointe ou le fommet eft un peu au de-là du corps de la Lune. Si l'on imagine le Triangle générateur de ce Cone, la perpendiculaire à l'axe tirée du centre de la Lune à l'hipoténufe du Triangle, eft le demi-diametre de l'ombre en cet endroit, & en même temps il eft vifible qu'elle eft de la grandeur dont paroît être en cet endroit le demi-diametre de la Terre, vû de la Lune. Il ne faut donc que trouver moyen de mefurer dans une Eclipfe de Lune ce demi-diametre d'ombre.

Pour le déterminer il faut fe rappeller ce que nous avons expliqué en 1703 à l'endroit cité. Le Soleil eft fuppofé à une distance infinie de la Terre. S'il n'étoit qu'un point lumineux, l'ombre de la Terre fur la Lune, & par tout ailleurs à l'infini, feroit cilindrique, mais le Soleil a un diametre très-sensible, des deux extrémités duquel deux lignes tirées aux deux extrémités du diametre de la Terre font un angle, qui eft celui

du

du fommet d'un Cone d'ombre. C'eft de la grandeur de cet angle que dépend celle des lignes paralleles ou Ordonnées tirées dans le Cone, & cet angle est mesuré par le nombre de Minutes du diametre apparent du Soleil. Ainfi pour avoir la grandeur d'une de ces Ordonnées tirée du centre de la Lune, ou, ce qui eft la même chose, du demi-diametre d'ombre en cet endroit, il faut tenir compte du demi-diametre apparent du Soleil en ce moment, car on fçait qu'il varie toûjours de grandeur depuis l'Apogée jusqu'au Périgée.

Si une Eclipfe de Lune eft centrale, fi les deux moments de l'immersion totale & de la premiére émerfion ont été observés, & fi par conféquent le temps écoulé entre les deux est connu, on fçaura par ce temps quel chemin en degrés & minutes le diametre de la Lune, qui fera exactement déterminé pour ce jour ou ce temps-là, aura fait dans l'ombre, la moitié de ce chemin, augmentée du demi-diametre apparent du Soleil, fera le demi-diametre de l'ombre Conique qu'on cherche, & par conféquent le demi-diametre de la Terre vû alors de la Lune, ou la parallaxe horisontale de la Lune ce temps-là.

pour

Cette propofition n'eft pas nouvelle, & M. Godin ne veut qu'en faire l'application à des cas plus difficiles que celui où nous venons de la mettre, car il est rare qu'une Eclipse soit centrale, même qu'elle foit totale, &c. l'art confifte à trouver toutes les reffources que le principe général peut fournir dans les circonftances les moins favorables. C'eft ce que M. Godin enfeigne, & de quoi il donne des Exemples fur quelques Eclipfes des plus exactement observées.

SUR LA ROTATION DE VENUS.

V. les M.

*

p. 109.

ORSQU'IL a été question en 1729 des découvertes de feu M. Bianchini fur la Planete de Venus*, nous p. 197. avons dit qu'il avoit déterminé fa rotation fur fon axe de 24 & Piz. & jours 8 heures, tandis que d'un autre côté feu M. Caffini fuiv. l'avoit, non pas déterminée, mais feulement foupçonnée, de

Hift. 1732.

K