DES EPICYCLOIDES SPHE'RIQUES.

Par M. CLAIRAUT.

I. OIT un cercle

SOL

NB roulant fur

un autre cercle AB,

enforte que fon plan NGB faffe toûjours le même angle avec le plan CAB du cercle AB, & foit N un des points de la circonférence NB qui décrit pendant ce roulement la courbe que l'on appelle Epicycloïde fphérique. Je me propofe d'abord de

trouver l'expreffion algébrique des arcs de cette courbe, ou, ce qui revient au même, la valeur d'un de fes éléments quel

conques.

Pour cela je mene NG perpendiculaire au diametre FPB du cercle roulant, GE perpendiculaire à CB, rayon du cercle AB, j'abbaiffe auffi l'ordonnée NM de l'Epicycloïde fphérique, & je tire ME qui fe trouve perpendiculaire à BC. Il eft clair que l'élément cherché eft la racine du quarré de l'élément de la courbe de projection, plus le quarré de la différence de NM. Le Probleme fe réduit donc à trouver l'élément de la courbe de projection & l'ordonnée NM exprimée par la même variable.

La variable que je ferai entrer dans l'une & l'autre de ces expreffions fera BG que je nommerai x, & elle me donnera, en nommant auffi FB, 2a, CB, r, BE qui doit être en Mem. 1732. Оо

raison constante avec FB, nx, GE=x√(1—nn), GN =√(2ax-xx), CE—r—nx, NB qui est égal à AB par la propriété du roulement sera =S adz

C

Pour trouver l'élément de la courbe de projection formée par les points M, je la confidere d'une façon indépendante de l'Epicycloïde, & plus générale, en réfolvant ce Probleme: Soit une courbe Mm déterminée, en prenant fur le cercle AB des parties quelconques AB fur les rayons CB des parties BE, dont la relation foit donnée avec AB & à l'extrémité de ces parties BE des perpendiculaires E M (toujours dans le même plan) qui ayent aussi

une relation donnée avec BE, on demande l'ex

D

A

m

preffion de l'élément de cette courbe.

M

L

E

B

La folution de ce Probleme eft bien facile, car que m foit un autre point de la courbe infiniment près de M, & me, eb, les deux coordonnées à ce point, & foient prolongées me & ME jufqu'au point de rencontre D. Soit de plus tiré Mm, & les petits arcs mR & EL des centres D & C, on aura Bbd (AB), eL➡d (BE), me-ME-EL ·MR=d(ME) & d(ME) & par les triangles CBb, CEL, eLD, CEx d(AB) LD= CB x d(BE), &c. par conféquent (AB) ME & MR

EL

DM

CB "
CBxd(BE)

d(AB)

х

CEx d(AB)

CB

—d (ME), & par les triangles femblables Dm R, De L;

VICEx
CExd(AB)

m R — d (BE) x CB—ME x d'(AB), Donc on aura VCB

CB

CBxd (BE)-ME

СВ

d (BE) — ME x‹d (AB) ) ) pour l'élément

- d (ME) ] * ——. ( CB × d (BE)

Mm de la courbe de projection, duquel il faut ajoûter le quarré avec celui de la différence de MN, & prendre ensuite la racine du tout, pour avoir, en mettant pour les lignes, leurs valeurs algébriques, & réduifant dx [("")+1

-an

2ax-xx

Xx

] valeur algébrique de l'élément de l'Epicycloïde, dont l'intégrale fera celle de l'arc.

2 a

II. Si l'on fait n, le cercle FNB roule fur le cercle AB dans le même plan, foit fur la concavité, soit fur la convéxité, & l'Epicycloïde fphérique devient l'Epicycloïde ordinaire, aussi sa valeur devient-elle a dx V ( — ^ ^x), dont l'intégrale eft 4a (a) — 2 (14)√(4aa—2ax) qu'on fçait être la valeur de l'arc de l'Epicycloïde ordinaire.

2

---

III. En faifant dans la valeur du petit côté Mm élément de l'arc de la courbe de projection, ra, elle deviendra (1—n) dx V(a) expreffion femblable à celle de za x l'élément de l'Epicycloïde formée en faisant rouler le cercle dans le même plan, ce que l'on pourroit voir d'ailleurs aifément par la page 106 des Recherches fur les Courbes à double courbure, où l'on trouve que la courbe de projection d'une courbe formée par le roulement d'une courbe quelconque fur elle-même, mais dans un plan différent, eft toûjours femblable à l'Epicycloïde que l'on auroit en faisant le roulement dans le même plan.

n

IV. Si l'on fait ran dans la valeur générale de l'élément des Epicycloïdes, on la changera en 4√(1—nn), dont l'intégrale est V(1 —nn). D'où l'on voit qu'alors l'Epicycloïde eft algébriquement rectifiable, & fi de plus » eft un nombre rationel, l'Epicycloïde fera en même temps algébrique & rectifiable; car lorfque ran, n marque le rapport du diametre du cercle roulant au diametre du cercle de base. Ainfi les Epicycloïdes fphériques résolvent le Probleme

propofé dans les Journaux de Leipfick, par M. Olfenburg, de trouver fur la furface d'une Sphere, des efpaces dont le contour foit algébrique, & qui puiffent fe conftruire géométriquement.

Soit proposé préfentement de trouver la valeur de quelque espace renfermé entre un arc d'Epicycloïde & des arcs de cercles, par exemple de l'espace ABN renfermé entre l'arc AN de l'Epicycloïde, l'arc BN du cercle roulant, & l'arc AB du cercle de base égal en longueur à l'arc BN.

Pour cela, j'imagine le cercle BN, parvenu en bn dans une fituation infiniment proche de la premiére, & je cherche la valeur de l'élément Ñn Bb, renfermé entre les arcs de cercles NB, bn, Bb, & le petit côté Nn de l'Epicycloïde, ou bien, en menant le cercle ONrQ, parallele à A BbD, de l'efpace NrBb, renfermé entre les arcs de cercles égaux NB, rb, & Nr, Bb. Il est évident que l'on peut avoir autant d'espaces, comme NrBb, dans la Zone de Sphere AODQA, que Bb eft contenu dans la circonférence AD, & l'on fçait que la valeur de cette Zone eft le produit de la hauteur ou intervalle des plans ONQ, ABD, par la circonférence d'un grand cercle. Donc la valeur de Nr Bb,