à connoître ces quatre chiffres au moyen du calcul fui→

174. Pour s'affermir de plus en plus dans la pratique de cette regle, on pourra s'exercer fur les exemples fui

175. Comme il eft très-rare qu'un nombre pris au ha zard foir un quarré parfait, on ne doit guere s'attendre à trouver des racines exactes. Il y a prefque toujours un refte, après la derniere fouftraction. Mais alors fi on n'a pas befoin d'une très-grande exactitude, on néglige ce refte, dont il n'eft pas poffible de tirer une feule unité de plus pour la racine.

Si l'on veut cependant en tenir compte, on calculera des décimales pour la racine, en ajoutant fucceffivement deux zéros à chaque refte, & en continuant l'extraction autant qu'on le jugera à propos.

Après avoir trouvé, par exemple, que 624 eft la racine approchée de 389489, & qu'il refte 113, j'ajoute deux zéros à ce refte; & regardant 624 comme la premiere partie d'une racine compofée de deux termes, je le double, pour avoir le troifieme divifeur 1248,

Le dividende qui lui correfpond, eft 1130; le quotient qui en réfulte eft o que je mets au premier rang des décimales.

J'ajoute deux autres zéros à 11300, & je prends 113000 pour dividende. Le divifeur eft 12480. Le quotient

eft 9.

Avant de l'écrire à la racine, je le place à la fuire de 12480, & je multiplie 124809 par 9. Le produit 1123281 pouvant être fouftrait de 1130000, je mets 9 au fecond rang des décimales.

S'il falloit encore plus d'exactitude, on continueroit d'ajouter deux zéros chaque fois. Le calcul n'a plus d'autre difficulté que celle de la longueur.

176. On extrait la racine d'une fraction, en extrayant celle de chacun de fes termes. Ainfi, puifque

De même. Mais quand le numérateur & le dénominateur ne font pas des nombres quarrés, on ne fait qu'indiquer l'extraction en mettant le figne radical avant la fraction, ou bien on réduit la fraction en décimales (94). & l'on fait l'extraction de la racine, comme on vient de le pratiquer pour les reftes des quarrés imparfaits.

177. Par tout ce détail, on voit affez que l'extraction des racines fe rapporte à la divifion, comme la formation des puiffances fe rapporte à la multiplication.

par l'A

On doit voir auffi que l'Algèbre fimplifie beaucoup les raifonnements qu'il faudroit faire pour démontrer rithmétique feule les regles de l'extraction, celle furtout qui prefcrit de divifer chaque fois par le double de ce qui eft la racine. Mais ce n'eft encore là qu'une foible preuve de la fupériorité de l'Algèbre fur l'Arithmétique.

De l'extradion de la racine cubique.

178. ON a trouvé des regles pour extraire la racine cubique,

en ralfonnant fur la nature des polynomes élevés au cube, comme nous l'avons fait pour la racine quarrée. Mais ces regles font fi compliquées, & d'ailleurs il eft fi rare de trouver l'occafion de les appli quer, que ce n'eft prefque pas la peine de les apprendre. Cependant pour ne pas les omettre tout-à-fait, nous les appliquerons à quelques exemples.

Soit propofé d'extraire la racine cubique de a3 + 6 a2b + 12 a b3 it 863... Il eft clair qu'au cas qu'il y en ait une, elle doit être compofée de deux termes (143).

Cela pofé, je vois que le premier terme de la quantité donnée eft a3, dont la racine cubique eft a, que j'écris; je prends le cube at de cette racine, & je l'ôte de la quantité propofée; resțe 6 a2b+ 12 ab2+8b3.

Je dis enfuite; dans ce refte, il y a un produit du triple du quarré du premier terme a que je viens de trouver, par le fecond terme que je cherche: j'élève donc a au quarré a2; je le triple & j'ai 3a2, par lequel je divife le refte, en difant; =2b. Mais

6a2b

392 fi+26 cft le fecond terme de la racine, la fomme de fon produit par 3 a, plus le produit de fon quarré par 3 a, plus fon cube, doit être égale au refte de la quantité. Or cette fomme eft effectivement 6a2b+12 ab2+8b3, "comme le refte de la quantité: donc la racine cubique cherchée eft a+26.

179. Pour les nombres, il faut d'abord connoître les dix premiers cubes parfaits.

Cubes.

1. 8. 27. 64. 12§. 216. 343. §12. 729. 1000. Racines cub.. 1. 2. 3. 4: 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ce qui a donné lieu de remarquer qu'un nombre ne peut avoir à fon cube plus que le triple de fes chiffres car 10, premier des nombres compofés de deux chiffres, a pour cube 1000, premier des nombres compofés de 4 chiffres. 100 premier des nombres de 3 chiffres, a pour cube 1000000 premier des nombres de 7 chiffres, &c. On peut même, par une femblable induction, conclure en général, qu'un nombre compofe de n chiffres, n'en peut avoir à fa puiffance P plus que pn n'en exprime.

Cela pofé, foit le nombre 74088 dont on demande la racine cu bique.. Il faut le partager en tranches de trois chiffres chacune en allant de droite à gauche, fauf à n'en laiffer qu'un ou deux pour la derniere tranche, Il faut dire enfuite la racine cubique la plus

10088

4800

pre

proche de la premiere tranche 74, eft 4; j'écris 4 à la racine, j'éleve 4 à fon cube, & j'ai 64 que je fouftrais de 74; refte 10. J'abaiffe la feconde tranche 088 à côté du refte 10. J'éleve au quarré la miere partie trouvée 4, laquelle doit valoir 40 à l'égard du fecond chiffre que nous cherchons; j'ai 1600 que je triple, & j'écris le produit 4800 pour divifeur. Puis je dis, =2; nombre qu'il faut éprouver avant de l'écrire à la racine. Pour cet effet, je multiplie le divifeur 4800" par la feconde partie trouvée; le produit eft 9600, que j'écris à l'écart ; j'éleve 2 au quarré 4, je le multiplic par 40, qui eft la premiere partie de la racine, j'en multiplie le produit 160 par 3, & j'écris le nouveau produit 480 au-deffous de 9600. Enfin j'éleve 2 au cube, & j'ai 8 que j'écris au-dessous de 480. J'ajoute ensemble les deux produits & ce cube, & parce que leur fomme 10088 eft égale au refte 10088, & qu'il n'y a plus de tranches à abaisser, je dis que la racine cubique de 74088 est pré cifément 42.

AUTRE EXEMPLE. Soit propofé d'extraire la racine cubique du nombre 5305472 Je le divife par tranches à l'ordinaire, & je dis; la racine cubique la plus proche de la tranches, eft 1; le cube de 1 eft 1, je l'ôte de 5, refte 4. J'abaisse la feconde tranche, & j'ai 4305. Je dis, 1 étant la premiere partie de la racine, vaut 10 à l'égard de la feconde; le quarré de 10 eft 100, fon triple eft 300, je divife 4305 par 300, en difant, en 43 combien de fois 3 ? il doit Y être 14 fois; mais parce qu'on ne met jamais plus de 9 au quotient, & même qu'en y mettant 9 dans le cas préfent, on y mettroit trop, comme il eft aifé de s'en affurer par les regles précé dentes, je trouve après avoir essayé 9 & 8, qu'ils ne conviennent pas: j'effaye 7.

Et pour cela, je multiplie d'abord 300 par 7; j'ai 2100 pour produit: puis 7 × 7 = 49, enfuite 49 × 10 490, enfin 490 × 3 = 1470; j'écris 1470 au-deffous de 2100. Après quoi je dis: 7×7×7 =343, je l'écris au-deffous de 1470, j'ajoute ensemble 2100 1470, & 343, & parce que la fomme 3913 peut fe fouftraire du nombre 4305, je conclus que le chiffre 7 eft le second de la racine que je cherche.

Comme il eft refté 392 de la derniere fouftraction, j'abaisse à côté de ce refte la troificme tranche 472, & je regarde 17 que j'ai

déja trouvé, comme la premiere partie de la racine: elle vaut donc 170 à l'égard de la partie qui m'occupe; j'en prends le quarré 28900, Je le triple, & j'ai 86700, par lequel je divife le troifieme membre 392472, j'ai le quotient 4. Pour le vérifier, je multiplie le divifeur 86700 par 4, & j'écris au-deffous le produit 346800. Puis 4x 416.... 16 X 170 X 3: 8160. J'écris 8160 au-deffous de 346800. J'écris encore au-deffous le cube de 4, qui eft 64 J'ajoute ces trois quantités, & j'ôte leur fomme 355024 du troisieme membre 392472, refte 37448. Et parce qu'il n'y a plus de tranches à abaiffer, je dis que la racine cubique demandée eft 174, & que le nombre donné n'eft pas un cube exact, mais qu'il a 37448 unités de trop.

Si l'on veut avoir égard à ce refte, il faut chercher des décimales pour la racine. On les trouve, en ajoutant aux reftes autant de fois trois zéros, que l'on veut avoir de décimales, & en continuant l'extraction, regardant chaque fois tout ce qui a déja été trouvé à la racine, comme la premiere partie d'une racine dont on cherche la feconde. L'exemple fera mieux comprendre tout cela.

La longueur des opérations qu'il faut faire pour ces fortes d'extrac tions approchées, rend encore plus précieufes les deux méthodes fuivantes.

Deux Méthodes pour extraire par approximation les Racines d'un degré quelconque.

180. LA Formule du binome eft d'une grande utilité, pour l'extraction des racines approchées, quand il n'y a pas moyen d'en avoir d'exactes; ce qui arrive très-fouvent.

Si on demandoit, par exemple, la racine quarrée de