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zimation eût été plus prompte par la voie des Logarithmes, Il en feroit de même pour les racines quatriemes tinquiemes, & fuivantes.

Mais comme les approximations que l'on obtient par tette méthode font quelquefois trop lentes, nous ajouterons celle que Halley inféra dans les Tranfactions Philofophiques de 1694.

185. Seconde Méthode. Soit propofé généralement d'extraire par approximation la racine m d'une quantité quelconque a+b... On peut fuppofer que cette racine eft repréfentée par la quantité a+d, a exprimant un nombre entier, & d la fraction décimale qu'il faut ajouter à ce nombre pour avoir la racine cherchée.

m

Cela pofé, on aura a + d=√(aTM±b). Donc (a+d)" =a

m.m-I
2

b. Donc a+mam-s d+ · am-2 ď2 + . . . . &c = a′′ + b. Négligeant les termes où la fraction d eft élevée aux puiffances fupérieures au quarré, effaçant de part & d'autre a, & divifant le refte par m on aura am-i d+

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m-I

2

am-2 d2: =+

b

m.

Multipliant enfuite par 2, divifant par mi am-2, & ordon

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26

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extrayant la racine, & tranfpofant, il viendra

11

[mm] am-2

Complétant le quarré,

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a2

+

--).

26

(m-1)2 (mm-m) am-2

Enfin fi l'on ajoute a aux deux membres de cette équation, on aura, généralement pour l'extraction d'une racine approchée quelconque,

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De cette Formule générale dont Halley ne parle pas, découlent par de fimples fubftitutions toutes les formules particulieres qu'il a inférées dans fon Mémoire. Leur principale utilité confifte à donner des approximations que les Tables ordinaires de Logarithmes ne fauroient donner. Commençons par détailler ces formules.

"

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Maintenant faisons-en une application, en nous propofant de trouver la racine cinquieme de 161900 avec 12 décimales.

Je divife par s le logarithme de 161900 qui eft 5,2092468 : j'ai 1,0418494, logarithme de 11,012, racine approchée; je fais 11,012 a: j'éleve 11, 011 à la cinquieme puiffance, & j'ai as =161931, 378732020728832, qui excede 161900 de 31, 378732020728832. Je fais cet excèsb, & j'ai as—b=161900;

5

b

donc par la formule ỷ (a3-6)=4a+v (†‚aa--;), j'ai en fubftituant les nombres.........ỷ («3-b)=8,259+V (7,579009

31,378732020728832

13353,60753728

=

8,259+V (7, 579009-0, 002349831828824315932711)= 8,259+V (7,576659168171175684067289) = 8,259+2,752573190339=11,011573190339, racine cherchée,

H

APPLICATION DE L'ALGEBRE

A

LA RÉSOLUTION DE QUELQUES PROBLÈMES.

186. LA résolution des problêmes mathématiques est fondée fur les rapports connus entre des chofes que l'on fait, & des chofes qu'on ignore. Ces rapports s'appellent les conditions du Problême; & quiconque eft parvenu à exprimer algébriquement ces conditions, ne tarde guere à en déduire la connoiffance de ce qu'il cherche.

Ce réfultat eft donc le fruit de la comparaifon des quantités connues avec celles qui ne le font pas. Les premieres s'appellent les données du problême, & on a coutume de les représenter par les premieres lettres, a, b, c, &c. ou &, ß, y', &c. Les autres portent fimplement le nom de quantités inconnues: on les défigne par les lettres x, Y, 3, 4, w, &c.

Toute formule qui exprime l'égalité de deux ou de plufieurs quantités, s'appelle généralement Equation. Le figne d'égalité partage l'équation en deux membres. Celui qui eft à gauche s'appelle le premier membre; l'autre eft le fecond.

187. Le Degré d'une équation dépend de celui de la plus haute puiffance des inconnues qu'elle renferme. Ainfi toute équation qui ne contient pas d'inconnue plus élevée que la premiere puiffance, eft une équation du premier degré. Les exemples fuivants, x=a...+b= y—c....6p-=(c+d) font donc autant d'équations de ce genre.

On les appelle auffi quelquefois des équations linéaires, parce que

les inconnues qu'elles renferment, n'offrent qu'une feule Dimension, comme les lignes.

Lorfqu'une équation contient une ou plufieurs inconnues élevées féparément au quarré, ou multipliées deux à deux, elle appartient aux équations du fecond degré. Telles font les équations fuivantes :

2

2

x2 = a...z2 + y2 = ... xy = b...x2 + px = q.. Pour qu'une équation foit du troifieme degré, il fuffic qu'une de fes inconnues foit élevée au cube. Ainfi les équations fuivantes...

1

x3 = c . . . . x2 +px2+qx=b...

=nz2

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font toutes du troifieme degré. L'équation xyz=ƒ eft de la même claffe, parce qu'elle contient le produit de trois inconnues fimples. On doit en dire autant de l'équa

tion xy=g.

Les équations du quatrieme degré fe diftinguent avec la même facilité, & ainfi des autres. Mais de quelque degré qu'elles foient, le but général de leur réfolution est de faire connoître la valeur des inconnues qu'elles renferment.

Pour atteindre ce but dans les équations du premier & du fecond degré, il ne faut qu'un peu d'habitude du calcul algébrique; & on va voir avec quelle facilité cette habitude s'acquiert. La réfolution des équations du troifieme & du quatrieme degré eft fujette à des difficultés. Celle des équations du cinquieme eft encore à trouver; & on verra par la fuite à quoi tiennent les obftacles qui ont rendu jufqu'à préfent inutiles tous les efforts que l'on a faits pour y parvenir. Commençons par les équations du premier degré.

Refolution des Equations du premier degré.

188. Une équation eft réfolue quand on eft parvenu à laiffer toute feule dans un membre l'inconnue dont on cherche la valeur, & à n'avoir dans l'autre membre

que

des quantités connues. Alors en effet le problême eft réfolu, puifqu'une quantité égale à des quantités connues ceffe d'être inconnue.

I. PROBLEME. Un pere a fix fois autant d'âge que fon fils, & la fomme des deux âges eft de 91 ans. Quel eft l'âge du fils? Quel eft celui du pere?

Pendant que les Arithméticiens tâtonneront, l'Algébrifte dira.... J'appelle x l'âge du fils; donc par l'énoncé du problême, l'âge du pere fera 6x. Or ces deux âges réunis doivent faire 91 ans ; donc 7x=91 ; & voilà le problême mis en équation.

7

A préfent qu'il eft, pour ainfi dire, traduit en langage algébrique, le refte de la folution n'est qu'un jeu . . . . Si 7x=91, dira-t-on, donc x == 13; & par conféquent le fils a 13 ans. Le pere en a donc 78; & la preuve en eft, que 13+7891; ce qui fatisfait à la condition du problême.

189. Concluons de cet exemple, que pour dégager l'inconnue, quand elle est affectée d'un coefficient quelconque, il faut divifer toute l'équation par ce même coefficient. Ainfi pour connoître la valeur de x dans l'équation fuivante a x = b, on écrira x =

b

a

II. PROBLEME. Quel eft le nombre dont le tiers & le quart ajoutés enfemble font 63?

Ce nombre m'eft inconnu; mais quel qu'il foit, je

x

l'appelle x. Son tiers eft donc & fon quart fera 44 Ces

3

deux parties réunies doivent faire 63. J'ai donc pour équa

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tion du problême

deux fractions, j'aurai

. ··

7 x
I 2

63. Le coefficient de

l'inconnue fera donc, par lefquels je diviferai les deux membres de l'équation, fuivant la regle précédente: ce

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12.63
7

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