108. Effectivement le tiers de 108 eft 36, le 108 eft 27 ; & 36 +27=63. 190. Concluons de cet exemple que toutes les équations a x fe de cette forme ..=c, se réfolvent en écrivant bc a b x = — : c'est-à-dire que pour dégager une inconnue affectée d'un coefficient fractionaire, il faut multiplier tous les termes de l'équation par le dénominateur de ce coefficient, & les divifer par fon numérateur. III. PROB. On demande un nombre tel, qu'en le divifant par 5, on ait un quotient, qui ajouté au produit de ce même nombre par 4, & au multiplicateur 4, faffe 12. Si on appelle x le nombre demandé, on aura.... x +4x+4=12. Multipliant tout par le dénominateur, pour faire difparoître la fraction on aura... 20x + x + 20 = 62 ; d'où l'on tirera 21x + 20 =622/ par le 191. Or toutes les fois que deux quantités font égales, on peut ajouter ou fouftraire de part & d'autre une même quantité; on peut tout multiplier ou tout divifer même nombre; on peut tout élever à une même puiffance, fans détruire l'égalité des deux membres de l'équation. Je puis donc fouftraire 20, par exemple, de chacun de ces membres dans l'équation... 21x+20=62÷, & en déduire. . . . 21x = 42 1⁄2. Mais par la premiere regle (189) on a...x= 42; doncx=2+÷=&; trouver par les tâtonnements ce qui eut été un peu long à de l'Arithmétique. 21 192. Il fuit de la remarque précédente que pour faire paffer une quantité pofitive d'un membre dans un autre, on n'a qu'à effacer cette quantité dans le membre où elle eft, & l'écrire dans l'autre membre avec le figne. Ainfi toute équation de cette forme...x+ab, fe réduit à celle-ci... x = = b Et a. réciproquement pour tranfporter d'un membre à l'autre une quantité négative, on l'effacera dans le membre où elle eft, & on l'écrira dans l'autre membre avec le figne+. Exemple. m= =P; donc xp+m. En général, fi on a....x +c=h, on en conclura que xhc. Cette regle eft d'un grand ufage. ... x 193. Avec ce petit nombre de principes & d'opérations bien élémentaires, il n'y a point d'équation du premier degré qui ne fe réfolve très-promptement. Prenons pour exemple un des cas les plus compliqués ; & propofons-nous de trouver la valeur de l'inconnue x dans l'équation fuivante. D'abord сх je vois que les deux membres contiennent une même quantité, affectée du même figne. L'égalité fubfiftera donc, après que l'on aura retranché de part & d'autre cette quantité; (quand on trouve ainfi précédés du même figne des termes communs aux deux membres, il ne faut pas manquer de les effacer). On n'aura donc plus à réfoudre que l'équation, a*+m=px+n. Je vois enfuite que pour laiffer x toute feule dans un membre, il faut que je tranfporte du même côté les quantités connues, & que l'autre membre foit formé feulement des termes qui contiennent x. La regle des tranfpofitions obfervée me donne ax b px= n m. 194. REMARQUE. Quelquefois on eft embarraffé pour fa voir dans quel fens on fera ces fortes de tranfpofitions: ici, par exemple, il n'y a pas plus de raison pour tranfpofer le terme på dans le premier membre, que px le terme b a x dans le fecond. Cela dépend uniquement de celui qui réfoud le problême. La valeur de l'inconnue eft la même dans les deux cas. Seulement elle eft pofitive dans l'un & négative dans l'autre. A préfent que l'équation eft tranfpofée, il ne reste plus qu'à dégager l'inconnue ; & pour cela, je multiplie tout par le dénominateur b, ce qui me donne, ax bpx bn bm. ou ( a - bp) x = (n—m) b. A cette nouvelle préparation j'en fais fuccéder une autre, qui eft celle de la divifion de toute l'équation par le coefficient de l'inconnue. Ce coefficient eft a-bp: j'ai donc enfin, x= (n-m)b IV. PROB. A la fuite d'une inondation il est tombé dans un même jour la moitié des maifons d'une Ville; il en eft tombé le tiers le lendemain, & le douzieme dans les jours fuivants; on n'en compte plus que 63 fur pied. De combien de maifons cette Ville étoit-elle compofée avant l'inondation? Soit x le nombre cherché; fera l'expreffion du nom 2 x 3 12 bre de bâtiments écroulés le premier jour: & exprimeront combien il en eft tombé dans les jours fuivants; l'équation du problême fera donc : x 2 + + +63 12 X. l'on mul Suppofons, pour abréger, que 63a, & que tiplie toute l'équation par le plus grand dénominateur qui Retranchant de part & d'autre la quantité commune I IX, il restera pour folution du Problême, 12a = x. Cette Ville renfermoit donc dans fon enceinte 756 maifons. V. PROB. Trois amis que je défignerai, l'un par B, l'autre par C, & le troifieme par D, ont pris en commun des billets de Loterie. La mife de B+ celle de C font 21*. Ce que B & D ont mis d'argent fait 24. Les deux mifes de C & de D font 27". Quelle eft la mife de chacun ? Je fuppofe a 21...e=24... f=27 ; & j'appelle x la mife de B; donc a-x eft la mife de C, & e―x eft celle de D. Or l'énoncé du problême porte que ces deux dernieres mifes font 27*. Donc...a — x + e − x=f; d'où je tire, x ate-f =9t 2 ce qui me donne 12 & 15# pour les mifes refpectives de C & de D. 195. Au premier apperçu de ce problême, il paroiffoit indifpenfable de regarder les trois mifes comme autant d'inconnues différentes: mais en y regardant de plus près, on a dû voir qu'une feule de ces mifes étant déterminée, les deux autres ne pouvoient manquer par-là même d'être déterminées auffi. D'où nous conclurons que le nombre des inconnues ne dépend pas du nombre des questions particulieres que l'énoncé d'un problême renferme; mais du degré de liaison, qui exifte entre les conditions du problême propofé. Ce n'eft pas, au refte, que l'on ne fût également parvenu à la folution du dernier, en introduifant trois inconnues dans le calcul. On en verra la preuve tout à l'heure: mais en général il faut toujours tendre aux folutions les plus fimples ; & c'eft au tact particulier de chacun qu'il appartient uniquement de mettre fur la voie qui mene à ces fortes de folutions. Ni Livres, ni Maîtres ne peuvent donner la fagacité néceffaire pour démêler dans un problème, ce qui en eft le principal, & ce qui n'en eft que l'acceffoire. Les exemples cependant donnent une grande facilité c'eft pourquoi nous en ajouterons encore quel ques-uns. VI. PROB. Par le teftament qu'un pere a fait avant fa mort, le fils aîné doit prélever d'abord 1000 écus fur la maffe des biens, puis prendre le fixieme de ce qui reftera. La part du fecond fils doit être formée; 1o, de 2000 écus; 2o, du fixieme de ce qui reftera. La part du troisieme doit être compofée de 3000 écus & du fixieme de ce qui reftera, & ainfi de fuite jufqu'au dernier, dont la part fera le refte de celles de fes freres. Les difpofitions du teftament s'exécutent, & le partage de chacun des enfants fe trouve égal.. . On demande 1°, quel est le bien du pere? 2°, combien il y a d'enfants? 3°, quelle eft la part de chacun? On feroit porté à croire qu'il y a réellement trois inconnues dans ce problême. Cependant avec un peu de réflexion on verra que fi le bien du pere étoit connu, tout le reste le feroit. Effectivement la part du fils aîné résultant de la fomme de 1000 écus+ du fixieme de ce qui refteroit, on n'auroit qu'à prélever ces mille écus fur le bien total, fuppofé connu, & puis on ajouteroit à ces mille écus, le fixieme du refte, pour connoître la part de l'aîné. Mais comme par l'énoncé du problême toutes les parts doivent être égales, il fuffiroit de divifer le bien du pere par la portion du fils aîné, pour connoître le nombre des parts, & par conféquent celui des enfants. Cela pofé, occupons-nous de la recherche du bien du pere. Je l'appelle x, & pour abréger je fais a 1000 écus. Après quoi je raifonne ainfi : quand l'aîné aura pris mille écus, le refte du bien fera exprimé par x-a. Il doit prendre le fixieme de ce refte, & ce fixieme eft *; sa 6 fa ou en réduifant au même dé |