cédentes je multiplie la premiere par 5 (coefficient de x dans la feconde ), & la feconde par 3 (coefficient de x dans la premiere). Les produits font 15x+25=5a... 15x+21y3b. Je fouftrais le fecond du premier; le refte eft 4y=5a 3b. Donc y=6*. Je fubftitue cette valeur dans l'une des deux équations primitives, & j'en déduis x=96′′. Ces deux prix rempliffent les conditions du problême. On eût trouvé les mêmes valeurs par la fubftitution, mais le calcul eût été un peu plus long. Au refte, pour traiter ces fortes de problêmes avec toute la généralité dont ils font fufceptibles, nous réfoudrons les deux équations fui En multipliant la premiere équation par m, & la feconde par p, nous aurons, mpxmqyam... mpx + npybp, & en soustrayant la feconde de la premiere, il viendra am bp .... mq - np Refte à fubftituer cette valeur dans une des deux équations générales, , pour trouver la valeur de x. Subftitution faite, on trouvera que x = bq-an mq-np Et fi on donne aux lettres m, n, p, q les valeurs refpectives qu'elles ont dans l'énoncé du dernier problême, on verra que x & y feront refpectivement 96 & 6#, comme ci-deffus. Il y aura même cette facilité de plus, qu'en variant tant que l'on voudra les valeurs des données, on n'aura que de fimples fubftitutions à faire dans les formules des valeurs de x & de y, pour réfoudre tous les problèmes analogues à celui-là. Voilà pourquoi les folutions générales font préférables, à tous égards, aux folutions particulieres. XIII. On a acheté trois chevaux dont les prix font tels que le prix du premier plus la moitié du prix du fecond & du troifieme font 25 louis. Le prix du fecond plus le tiers du prix des deux autres font 26 louis. Le prix du troisieme plus la moitié du prix des deux autres font 29 louis. Quel est le prix de chaque cheval? 7 En appellant x, y & z les trois prix demandés, on auroit pour équations du problême, x+2+1=25...y+=+=26..2+~+~=29; 3 3 & dans ces trois équations, après avoir fait difparoître les fractions on élimineroit. fucceffivement deux inconnues x &y, par exemple, afin d'obtenir une derniere équation où il n'y eût plus que l'inconnue z. Mais cette voie, qui a d'ailleurs l'avantage d'être applicable à tous les cas d'élimination, eft plus longue que la voie que nous allons fuivre. Et d'abord, pour éviter les fractions, soit 6x le prix du premier cheval, foit 6y le prix du fecond, & 6z le prix du troifieme. Soit enfuite, pour abréger le calcul, a=25... b=26...c=29. Cela pofé, on aura les trois équations suivantes, Or fi on ajoute la premiere à la troisieme, on trouvera... IV. 9x+6y+93=a+c Et fi on multiplie cette derniere équation par 2 (coefficient de x & de z dans l'équation II) il viendra V. 18x+12y + 183 = 2a + 2c. Comparant ce résultat au produit de l'équation II multipliée par 9 (coefficient des mêmes inconnues x & dans l'équation IV), on verra que ces deux inconnues y font affectées du même coefficient. Donc en fouftrayant l'équa tion IV de l'équation V, ces deux inconnues feront éli minées du même coup. Souftraction faite, il reftera C'est le prix du fecond cheval. Pour avoir le prix du premier, je fubftitue la valeur de y dans les équations I & II, ce qui les change en celles 56x+9+33 = a puis je multiplie la premiere par 2, & la feconde (coefficients refpectifs de z ) & j'ai . . そ { 12x+18+6z=2a par 3. = 16. Je fouftrais la feconde de la premiere, & il vient 6x-36 =2a 3b. Donc ox = 8 louis, & 6z Les trois prix demandés font donc 8 louis pour le premier cheval, 18 pour le fecond, & 16 pour le troifieme. Ces trois nombres fatisfont aux trois conditions du problême, comme il est aifé de le vérifier, & il n'y en a pas d'autres qui puiffent y fatisfaire. La réfolution du problême V (page 117), où il s'agit de trois mifes, fembloit également exiger trois inconnues; & dans le fait, on en feroit venu à bout très-facilement par cette méthode, fi la premiere n'eût pas été encore plus facile. On s'y feroit pris de la maniere fuivante. Soient x, y, z les mifes refpectives des trois amis. Soit e= ...f=27, comme ci-dessus. On aura par les trois conditions du problême, ́x + y = a...x + z = e...y + z =ƒ. 'x+y=a Prenant la valeur de x dans la premiere équation, on x= a y; & fubftituant cette valeur dans la feconde équation, afin d'en éliminer x, on trouvera..... ayz = e. a=21 aura 24. I dans ce On pourroit enfuite prendre la valeur de y dernier réfultat, & la fubftituer dans la troifieme équation du problème: mais il eft plus fimple d'ajouter cette équa tion qui eft y=f, à celle que l'on vient de trouver, a−y+3=e. Par cette addition, l'inconnue y eft éliminée, & il a+2z=ƒ+e; d'où l'on tire z= refte f+e-a 2 Or la valeur de étant une fois connue, celle de x fe ኝ déduit de l'équation x+e; laquelle, en tranfpofant & fubftituant donne x=9. La fubftitution de la valeur de x'dans l'équation x+y=a, ou celle de la valeur dez dans l'équation y + zf, donne auffi-tôt y =12. Refolution des Equations du fecond degré. 200. Toute équation du fecond degré peut être repréfentée par cette formule . . . x2+px=q, dans laquelle p & q expriment des quantités connues. Celui-là donc aura réfolu généralement toutes les équations du fecond degré, qui aura une fois trouvé la réfolution de la formule propofée. Or il est évident 1°, que pour obtenir dans ce cas la valeur de x, il faut extraire la racine quarrée de l'équation x+px=q. Il n'eft moins évident 2°, que fipo, cette équation fe réduit à celle-ci.. x2=q; d'où on tire xVq. pas Cette premiere fuppofition n'entraîne donc d'autre difficulté que celle de l'extraction des racines numériques. Le radical eft affecté du double figne, à caufe de la double valeur qui en réfulte pour l'inconnue (267). 201. Mais fi p eft une quantité réclle, comme il arrive le plus fouvent, alors il faut compléter le quarré du premier membre (142), & ajouter au fecond membre la même quantité qu'on aura ajoutée au premier. Or pour 2 compléter ce qui manque à la quantité x2+px, pour en faire un quarré parfait, il faut ajouter p2; donc... x2+px + 4 p2 = q + 1⁄2 p3· Maintenant, lorfque deux quantités font égales, leurs racines de même nom font égales auffi; donc ... √ x2 + px + { p')=√(q+= p2) & par conféquent... x + ÷ p = ±√q+p'); d'où l'on tire, 2 4 2 2 202. Toutes les fois que la quantité repréfentée par q, fera pofitive, le radical affectera une quantité pofitive, puifque p2 eft néceffairement pofitif (122). Ainfi de deux chofes l'une; ou la fubftitution des valeurs de 9 & dep produira un nombre quarré, auquel cas la quantité foumife au radical fera commenfurable; ou cette fubfticution donnera un nombre qui ne fera point fufceptible d'extraction de racine quarrée exacte; & dans ce cas, la quantité radicale fera incommenfurable; on ne pourra l'avoir que par approximation, mais au moins fera-t-elle réelle dans les deux cas. 203. Et à caufe de l'ambiguité du figne, il est évident que cette quantité réelle peut fe prendre également enou en . Il en réfulte donc deux valeurs différentes pour ; & comme en général les valeurs de l'inconnue s'appellent les racines de l'équation, on doit conclure que toute équation du fecond degré a deux racines. L'une eft X • ÷ P + V ̃ ( q + ÷p2). • X · = p = √(q += p2). 204. Mais ces racines ne font pas toujours réelles; fouvent elles font imaginaires: or voici ce que l'on entend par des quantités imaginaires. Suppofons que fous le figne radical qui affecte q+÷pa. la quantité q foit négative. Cette fuppofition ne peut avoir que trois résultats. Le premier, que la quantité q foit moindre que p2; alors le pofitif l'emportera fur le négatif, & le refte de la fouftraction fera réel. .4 2 Le fecond réfultat eft celui où la quantité négative q feroit égale à la quantité pofitive p2. Alors le radical dif 2 |