De cette derniere équation on déduit xy+2, ce qui change la précédente en 4y+4=3y2+6y; d'où (201) y==÷÷÷v13, & *={+V13. Effectivement le double de ces deux nombres, le triple de leur produit, & la différence de leurs quarrés font trois quantités égales, dont chacune eftv13. 208. Les folutions précédentes fuffiront pour trouver celles des problêmes fuivants. On pourra s'y exercer, quand on n'aura rien de mieux à faire; car les méthodes une fois comprises, il ne faut pas trop infifter fur les exemples, ni s'appefantir fur les détails. On demande à un homme combien il a d'écus. Il répond: fi vous ajoutez enfemble la moitié, le tiers, & le 12 quart de ce que j'en ai, la fomme furpaffera d'un le nombre que vous demandez. que Un pere a 50 ans; fon fils en a 12. Quand eft-ce l'âge du pere ne fera que le triple de celui du fils? Une perfonne charitable voulut un jour faire l'aumône à plufieurs pauvres, & donner également à tous. D'abord elle avoit projetté de donner 3 fous à chacun, mais il lui auroit fallu 9 fous de plus; elle ne leur en donna donc que 2, & il lui en refta 2. Combien y avoit-il de pauvres? combien cette perfonne avoit-elle de fous? Un ouvrier n'avoit plus que 6 lorfqu'on lui paya cinq femaines de travail. Quinze jours après il avoit déja dépenfé les trois quarts de tout fon argent: mais ayant reçu le prix de fon travail pour ces quinze jours, il fe trouva avoir 21. Que gagnoit-il par femaine? Le Teftament d'un oncle porte que chacun de fes neveux aura 12000*, & chacune de fes niéces gooo fur la fomme de 120000* qu'il leur laiffe après fa mort. Par cette difpofition il ne refte rien de cette fomme. Si au contraire chaque niéce eût eu 12000*, & chaque neveu 9000*, il feroit refté 9000*. Trouver le nombre des neveux & celui des niéces. * le nomb x= des coups manques, *Un chaffeur promet à un autre de lui donner une fomme b, toutes les fois qu'il manquera une piece de gi-xerador Le nombre de bier. Cet autre à fon tour s'engage à payer une fomme Coups cuid a toutes les fois qu'il la tuera, Après un nombre n de coupstue; or la Condition da من robleme est quil doit rever c (u-x) et qu Fort Former Jone pore argent en b+c 138 LEÇONS ÉLÉMENTAIRES de fufil, il peut arriver, ou que les deux chaffeurs ne fe ya *Trouver un nombre tel qu'en le divifant en m parties égales, le produit de toutes ces parties foit égal à celui de m I parties égales du même nombre; de maniere par exemple, que le produit des deux moitiés de ce nombre foit égal au produit de fes trois tiers. *fix repris Une perfonne ayant doublé au jeu l'argent qu'elle avoit avant que de jouer, donne un louis à fes domeftiques. Couis que lo persone agnant une feconde fois de quoi doubler l'argent qui lui avant la yeu réfte, elle met à la loterie un louis qui ne lui rapporte 2x-1 est le rien. Entrant au jeu pour la troifieme fois, & doublant premier fon argent, elle ne fe trouve plus avoir qu'un louis dans reste, que fa poche. Combien avoit-elle d'argent d'abord? on verra que. 2 (2x-1)-1 A, B & C ont chacun un certain nombre d'écus que Le second, on ne connoît pas. Tout ce que l'on en fait fe réduit à que 2(2(2x-ci. A diftribuant de fes écus à B & à C, a doublé les -1 exprime Le trois mombres refpectifs qu'ils en avoient déja. B distribuant à fon tour les fiens, à doublé ceux qui reftoient entre les donc Jone x = 2 mains de A, & ceux que C avoit alors. Enfin C a doublé de même ceux que A & B avoient au moment de fa diftribution ; & tout cela fait, chacun s'eft trouvé en avoir 16. Combien en avoient-ils en commençant? 8 Louis = 21 х дел 8 de dessus ex onze * Avec un nombre quelconque a de cartes, on fait un Le nombrenombre quelconque b de tas, dont chacun contient un nombre quelconque c de points. On a compté ces * des posing oints de maniere que la premiere carte de chaque tas vaut généralement points, fi c'eft un as; dix points, fi c'est une fireprésenté que, & ainfi de fuite : les autres cartes du même tas ne font comptées que pour un point chacune. Quand tous par x = çes tas font faits, on vous remet le nombre d des cartes -cb-(a-d)+qui restent, & on vous propofe de deviner la fomme de =(C+1)6-a+points formée par les feules premieres cartes de tous les tas? Comment la devinerez-vous ? 2 π Etant donné le produit de deux poids, & leur différence , chercher combien chacun de ces poids-là pefe. On fuppofe connues la fomme de deux nombres & la fomme de leurs cubes: trouver ces nombres. Quel eft le nombre dont p fois la puiffance m eft égale àg fois la puiffance m+2? * Nous traiterons des Equations des degrés plus élevés, après avoir expliqué ce qui regarde les proportions. DES RAPPORTS ET DES PROPORTIONS. 209.ET 209. ETANT données deux quantités quelconques, on peut fouftraire l'une de l'autre, pour favoir quelle eft leur différence: on peut auffi divifer l'une par l'autre, pour connoître leur quotient. Le réfultat de la premiere opération eft de marquer la quantité dont une grandeur furpaffe l'autre ; le réfultat de la feconde eft de marquer le nombre de fois qu'une grandeur en contient une autre. Le premier résultat s'appelle le Rapport ou la Raifon Arithmétique de ces quantités. Le fecond s'appelle le Rapport ou la Raifon Géométrique de ces mêmes quantités; (dénominations affez mal imaginées, mais que l'usage a pourtant confacrées). Comparant, par ex. 39 avec 13, pour favoir de combien 39 furpaffe 13, j'écris 39-13=26, & je dis que la raifon arithmétique de 39 à 13 eft 26. En comparant ces deux mêmes nombres 39 & 13 pour favoir combien de fois 13, par exemple, eft contenu dans 39, je divife 39 par 13, & le quotient 3 exprime la raifon géométrique de 39 à 13. Si on eût divifé 13 par 39, le quotient eût été 54). Or rien n'oblige à divifer plutôt la premiere quantité par la feconde, que la feconde par la premiere. Il fuffira donc de prévenir une fois pour toutes, que dans les exemples fuivants nous estimerons les rapports géométriques en divifant la feconde quantité par la premiere. 210. Comme toute comparaifon fuppofe au moins deux termes, on eft convenu de les appeller l'un l'Antécédent, l'autre le Conféquent de la raifon, foit arithmétique, foit géométrique qui en réfulte. Ainfi tout rapport arithmétique confifte dans la différence qu'il y a entre l'antécédent & le confequent; & tout rapport géométrique s'exprime par quotient d'un de ces deux termes divifé par l'autre. le 211. Lorfque deux quantités ont entr'elles une différence égale à celle qui regne entre deux autres quantités, on dit alors que ces quatre termes font en proportion arithmétique. Les nombres 7 & 4, par exemple, different entr'eux de la même quantité 3, que les nombres 8 & 5; ainfi ces quatre nombres font en proportion, & pour l'indiquer on eft convenu d'écrire. 7.4:8.5, ou 7.4=8.5 ce qui fignifie 7 eft à 4 comme 8 eft à's; ou le rapport arithmétique de 7 à 4 eft égal au rapport arithmétique de 8 à 5. Il fait delà que deux raifons arithmétiques égales forment toujours une proportion arithmétique. Voici quelques exemples de ces fortes de proportions. 24. 12:60.48 ... 1002. 1000: 2.0 182.14 = 11.6... 19. 23=24:28 212. Lorfqu'il regne entre deux quantités un même quotient qu'entre deux autres, ces quatre quantités font en proportion géométrique. Si on divife, par exemple, 12 par 6, le quotient eft 2; & fi on divife 18 par 9, le quotient eft encore 2. Ainfi les nombres 6, 12, 9 & 18 forment une proportion géométrique que l'on indique de la maniere fuivante. 6:12:9: 18... ou 6: 129: 18, ou 1212 On prononce 6 eft à 12 comme 9 eft à 18, ou ce que 9 eft à 18. Concluons donc que deux raifons géométriques égales forment toujours une proportion géométrique. Exemples.. ...2:6:: 5:15. 7:63: 1:9 5 6 17 17 3 :: 213. Le premier & le dernier terme d'une proportion s'appellent les extrêmes. Le fecond & le troifieme s'appellent les moyens. Quand on compare deux raifons géométriques enfemble, il arrive quelquefois que l'antécédent de la premiere eft à fon conféquent, comme le conféquent de la feconde eft à fon antécédent : on dit alors que ces deux derniers termes font en raifon inverfe des deux premiers. Les quatre nombres fuivants font dans ce cas-là... 13; 26... 14; 7. Dans les cas où le premier antécédent eft à fon conféquent comme le fecond antécédent eft à fon conféquent, on dir que les deux derniers termes font en raison directe des deux premiers. 214. On appelle proportions continues toutes celles où le conféquent de la premiere raifon fert d'antécédent à la feconde. On en diftingue de deux fortes: les proportions continues arithmétiques, & les proportions continues géométriques. Exemple des premieres On écrit pour abréger Exemple des dernieres On écrit... 10. 18: 18.26. 10. 18.26. Dans les deux cas, le fecond terme s'appelle le moyen proportionel. Seulement on ajoute le mot arithmétique ou géométrique, fuivant la nature des rapports dont ce terme fait partie. 215. Quand on écrit plufieurs raifons égales de fuite, on a un certain nombre de quantités proportionnelles entre elles: mais quand le conféquent de la premiere de ces raifons fert d'antécédent à la feconde, & que le conféquent de la feconde fert d'antécédent à la troifieme, & ainfi des autres, la fuite de ces raifons égales, forme une progreffion, dont l'efpece fe détermine par la nature des raifons qui la compofent. Voici, par exemple, une progreffion arithmétique. |