De l'équation 2sanwn (227), on tirera ces quatre autres formules, 23 V.a 6 n Et fi dans l'équation 2san + wn, vous fubftituez la valeur de prife dans l'équation W- a=dn. d, vous aurez ... 25=2an dnn dn, d'où vous tirerez formules fuivantes, quatre + dn + d ... les 1x.a= XII. san+ dnn-dn Subftituant enfuite dans la même équation 2s an la valeur de a prife dans l'équation...w w-a drud, yous trouverez . 232wn dnn + dn, équation qui vous donnera quatre nouvelles formules. Subftituant enfin dans 2san+on, la valeur de n prife dans la premiere équation, vous aurez .... 25 =a+w + d'où fe tirent les quatre dernieres formules. d , XVII. a={d+v (-2ds+4 d2+ad + w2)... XIX. d= XVIII.w=-{d+√(2ds +‡ d2 - ad+a2)... XX.s=? Et fi l'on veut difpofer ces vingt formules de maniere à reconnoître dans l'inftant celle qui doit donner la valeur demandée, on peut les arranger de la maniere fuivante. APPLICATIONS. I. On fait d'après les obfervations de Galilée que les efpaces parcourus en vertu de la gravité par un corps qui defcend du repos, croiffent fuivant la progreffion des nombres impairs 1, 3, 5, 7 &c; c'est-àdire qu'un corps tombant par la feule impreffion de la gravité parcourt à peu-près 15 pieds dans la premiere feconde de fa chûte, 45 pieds dans la feconde fuivante, & ainfi de fuite. On demande combien il aura parcouru de pieds au bout de fix fecondes. Ce problême fe réduit à trouver la fomme d'une progreffion arithmétique dont le premier terme a 15 pieds, dont la différence d=30, & dont le nombre des termes n = 6. Je prends donc pour le réfoudre la feconde formule des valeurs de s, & j'ai s=an+ (dn — d) n 2 =90 (180-30)6 2 = 540. Ainfi le corps dont il s'agit aura parcouru 540 pieds après 6" de chûte. II. Un voyageur voudroit bien arriver en 4 jours à fa deftination, en accélérant chaque jour fa marche de 3 lieues. Pour exécuter fon deffein il eft obligé de faire 29 lieues le dernier jour. On demande combien il a dû faire le premier jour. Ce problème fe réfout par la formule qui donne la valeur de a quand on connoît w, d, n. On a donc, a=w dnd 20 Ce Voyageur doit donc faire 20 lieues le premier jour, on trouveroit que & par la formule swn dnn + dn 2 la route qu'il a faite dans ces quatre jours eft de 100 lieues. III. Si on eût demandé en combien de jours ce Voyageur auroit parcouru les cent lieues, en faifant 20 lieues + le premier jour, 3 de plus le jour fuivant, & ainfi de faite, on fe feroit fervi de la formule qui donne la valeur den, quand a ̧ d ̧s font connus. Cette formule est, n=÷¬÷+VG+÷−1+†); & l'on auroit trouvé n = 4, après avoir fait les opérations convenables. IV. Une perfonne a été mife à l'amende pendant plufieurs mois de fuite. Elle a payé 6" pour le premier mois, & 102 pour le dernier. Chaque mois l'amende étoit plus forte de 12; combien de mois l'a-t-elle payée ? Ici on connoît a = 6*... • 102"...d = 12 & on cherche n. On prendra donc la formule fuivante, & on trouvera que l'amende a dû être payée pendant neuf mois. V. Dans un amas de boulets de canon difpofés en progreffion arithmétique croiffante, je fuppòse 1o, qu'il y aic 18 rangs dont chacun foit formé par un nombre de boulets plus grand de 2 que le rang qui le précéde. 2°, qu'il y ait en tout 360 boulets; & je demande combien il y en a dans le dernier fang. Puifque l'on connoît d, n, s, on aura, 12 + a (n-1) =2041737. VI. Les mêmes chofés étant pofées, combien y a-t il de boulets dans la première rangée ? d(n-1) =2017=3•. 2 DES PROPORTIONS GEOMÉTRIQUES. SOIT 230. OIT appelé a l'antécédent d'une raifon géométrique quelconque ; foit appelé b le conféquent de cêtre même raison. On aura pour l'expreffion générale b a du rapport qu'il y a entre ces deux termes (209). Soit q ce rapport; on aura =9, d'où on tirera b = aq. Ainfi par-tout où fera b, on pourra fubftituer aq; ce qui change la raifon de a ben celle de a : aq. On peut donc représenter toute raifon géométrique quelconque par celle de a: aq; c'eft-à-dire, que dans les raifons géométriques le conféquent est toujours égal à l'antécédent multiplié par le quotient qui exprime le rapport de ces deux termes. 231. Soit appellé c l'antécédent d'une autre raison quelconque: foir d le conféquent de cette raison. On aura pour l'expreffion du rapport qui fe trouvera entre ces deux d C a on aura d C termes; & fi ce rapport est égal à celui de —, d'où on tirera d=cq. On pourra donc fubftituer la raifon de c: cq à celle de c: d. Ainfi les deux rapports que l'on fuppofe égaux entre a & b, & entre c & d, peuvent être remplacés par ceux de a: aq, & de c:cq. 232. Donc toute proportion géométrique eft généralement repréfentée par la formule...... a: aq::c: cq. Par conféquent les propriétés de cette formule s'étendent à toutes les proportions géométriques. Or dans cette formule le produit acq des extrêmes eft égal au produit aqc des moyens. Donc généralement, dans toutes les proportions géométriques le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens. Propofition remarquable par l'ufage continuel que l'on en fait dans toutes les parties des Mathématiques. 233. Et de là il fuit 1°, qu'étant donnés trois termes d'une proportion dont on ne connoît pas le quatrieme, il est fort aisé de trouver ce quatrieme terme. Car s'il eft un des extrêmes, comme dans la proportion... a:b::c: x ̧ on aura tout de fuite, axbc, & par conféquent x= bc S'il eft un des moyens, comme dans la propor |