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mandée, par la cinquieme formule
2° = 3.512=1536.
29

formule...aq"1=3

III. On fuppofe que la population d'un pays où les mœurs & la liberté régnent avec l'abondance, s'eft accrûe uniformé ment tous les ans d'une maniere fi rapide que de dix mille ames qu'il y avoit d'abord, il s'en eft trouvé 14641 au bout de quatre ans; fuivant quelle progreffion a dû fe faire cet accroiffement?

a = 10000... w = 14641... n = 5; & on demande 9. Jettant donc les yeux fur la troifieme cafe, où toutes les valeurs de q font réunies, je prends la formule

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IV. Pour s'être obstiné à plaider, il en a coûté 121000“ à un plaideur forcené. Le premier procès ne lui coûte que cent pistoles, mais auffi le dernier lui a-t-il coûté 81000*. On fait d'ailleurs que les frais des autres ont été moyensproportionels entre ces deux extrêmes: on voudroit favoir combien ce plaideur a perdu de procès.

...

Soit a 100oo... w=81000# S=121000; on trouvera la valeur de n par la formule Ιω -La

..n=1+ L81000 L1000

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L (s—a)—L (s—w), qui donne....n=1+ L110000-L40000

L (2000) =1+7(10000)

=1+

L81

L3

4L3

I + L3

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V. Un Diflipateur a mangé tout fon bien en cinq mois de temps; chaque mois il quadruploit fa dépenfe, & le premier mois il avoit dépenfé cent louis. On demande quel étoit fon bien.

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n = 5; ainfi la valeur

de s fe déduira de la formule. . . . sa

(*=)

·2400 (15- 1) = 800.1023=818400*.

3

Ces applications font plus que fuffifantes pour diriger dans tous les cas le choix que l'on doit faire des formules. convenables.

254. II. PROB. Inférer un nombre m de moyens-proportionels-géométriques entre deux termes donnés a &w. SOLUTION. Si m=1, on a auffi-tôt a:x:w; donc x=Vaw.

..

Si m2, on auraa :x:y: w; & pour déterminer , on fe rappellera (249) que a: w :: a3: x3, & on en conclura que ax3 = a3w

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que X3

3

a2

ω

La valeur de r étant une fois connue, on déterminera celle de y par la proportion fuivante...a:

ω -=

=

3

.3

aw:::w, dont tous les termes élevés au cube donnent a3: aw:: 33: 3; & par conféquent a3 3 a2 wy3; donc yaw. Plus généralement: foit m un nombre quelconque; la queftion fe réduira à déterminer le quotient q d'une progreffion dont on connoît déja le premier terme a, le dernier, & le nombre des termes n, qui dans le cas préfent peut être repréfenté par m2. Or la neuvieme

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√ Ainfi la

formule donne, q=V; donc q= V.

a

a

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on

Et fi l'on veut en faire une application, en inférant quatre moyens-proportionels, par exemple, entre a & s n'aura qu'à fubftituer 4 au lieu de m, on trouvera...

5

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÷ a: √a^w: Va3 w2 : √ a2 w3 : √ aw2: w.

255. III. PROB. Entre les termes confécutifs d'une progreflion géométrique, inférer un nombre p de moyensproportionels.

Soit repréfentée paraq: aq': aq2: aq3: a*: &c. la progreffion dont il s'agit. Il eft évident que fi vous inférez entre les expofants confécutifs de fes termes un nombre p de moyens-proportionels-arithmétiques, les termes affectés de ces expofants feront les moyens-proportionelsgéométriques que l'on demande (246). Ainfi pour infé

rer cinq de ces termes dans la formule, on éc rira;

479

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8

• aq° : aq° : aq° : aq° : aq° : aq° : aq : aq° : ag° : &c. Dans le calcul des Logarithmes, on peut fe fervir de cette efpece d'interpolation.

On trouve dans les Ouvrages du P. Merfenne un exemple connu des Amateurs de la Mufique. Il s'agiffoit de partager l'octave en douze femi-tons égaux, pour former ce que les Muficiens appellent l'accord égal & pour cela il falloit inférer onze moyens proportionels-géométriques entre 1 & 2. Le P. Merfenne les a calculés en nombres par la formule fuivante que l'on trouve auffi dans la Génération Harmonique de M. Rameau, & dans plufieurs autres Ouvrages.

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ÉTANT

256. TANT donnés trois termes, on a fouvent befoin d'en connoître un quatrieme qui leur foit proportionel; & ce quatrieme terme fe trouve, comme l'on fait (234), d'une maniere bien facile. La regle que l'on met alors en ufage, s'appelle la Regle de Trois : ce n'eft qu'une fimple application de la propriété fondamentale des proportions géométriques (232).

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...

L'ufage eft de diftinguer deux fortes de regles de Trois; l'une que l'on appelle directe, l'autre que l'on appelle inverse, Soit propofé, par exemple, de déterminer le prix de 25 marcs d'argent, en fuppofant que le marc coûte 52 Il est évident que le prix inconnu doit être au prix donné, dans le même rapport que les 25 marcs font à un feul marc. Appellant dont le prix que l'on cherche, on 1:25* :: 52′′ : x, d'où on tirera x=

aura..

=1300",

M

52.25 I

Si on eût propofé de trouver le prix de 70 mares dans l'hypothefe qu'il en eût coûté 714 pour 14 marcs, on eût dit... 14:70 :: 714“: x*, & on auroit conclu

que x=

70.714

14

= 3570. Ces deux exemples font du

nombre des regles de trois directes. Mais fi on propofoit cette queftion. ... 57 Ouvriers ont fait un certain ouvrage en 3 jours; combien faudroitil de jours à 19 Ouvriers pour faire le même ouvrage ?... La regle de trois feroit inverfe, parce que le temps néceffaire pour achever un même travail eft en raifon inverse du nombre des travailleurs. Auffi difpoferoit-on les trois termes connus autrement que dans les regles de trois directes; on écriroit par exemple,.... 57ouv.: 19 Ouv. :: x: 5. Et on trouveroit x=15; c'eft-à-dire qu'il faudroit 15 jours pour que 19 Ouvriers fillent le même ouvrage que 57 Ouvriers auroient fait en 5 jours.

Ουν.

257. Remarquez 1°, que fi l'un des deux premiers termes d'une regle de trois eft multiple de l'autre, on peut fimplifier le calcul, en réduifant à la plus fimple expreffion l'efpece de fraction qui en réfulte. Au lieu

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57: 19 :: x: 5, ou

57

x

19 S

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on peut

écrire

d'écrire, 3: 1 :: x: 5 ; & en général, toutes les fois qu'il y a moyen d'introduire l'unité dans une proportion, il ne faut jamais y manquer, parce qu'alors le terme que l'on cherche, eft le produit ou le quotient des deux autres. Par exemple, une des proportions précédentes, 14: 70:: 714:x:eût pu fe réduire à une beaucoup plus fimple, 1:5::714: x. Et quand bien même on ne ramèneroit á l'unité un des termes connus, il fuffit l'on puiffe le ramener du moins à un plus petit nombre, pour ne pas laiffer échapper cette réduction.

pas

que

258. Remarquez 2°, que pour difcerner les regles de trois inverfes on n'a qu'à comparer ensemble les termes qu'elles renferment, afin de voir fi le rapport des deux premiers eft l'inverfe du rapport des deux autres. La moin

dre réflexion fuffit pour connoître l'ordre dans lequel ces termes doivent être placés. On en pourra juger par les deux exemples fuivants.

Six Efcadrons ont confommé un Magafin de fourage en 54 jours; en combien de jours l'eulent confommé neuf Efcadrons?

Plus il y a de chevaux, & moins il faut de temps pour la même confommation. La regle eft donc inverfe. Ainfi 6: 9:54. Donc x=

54.6
9

361 Autrement. 2×3:3 × 3::~:54. D'où 2:3 :: x: 54; &x=7·54 =36.

Si pour un meuble particulier il faut 6 aunes d'une étoffe large de, combien en faut il d'une étoffe large de ?

4

Il eft clair que plus l'étoffe eft large, moins il en faut. On a donc ::x:6, & réduifant au même dénominateur,x: 6. D'où, 8:9::: 6, ou bien 8: x ::9:6, où encore 8: x :: 3 : 2, ce qui donne x= SAU+

Au

16

3

259. Remarquez 3°, que dans une regle de trois inverfe, on peut placer le terme inconnu au quatrieme rang, il ne faut que changer de place les deux premiers termes. Ainfi, au lieu d'écrire... 57: 19::x:5, on peut écrire.... 19:57:: 5. Cela revient au même. Au refte, les regles de trois directes font prefque les feules dont on falfe ufage dans les différentes parties des Mathématiques.

260. Soit propofé maintenant de réfoudre cette question. 20 hommes ont fait 160 toifes en 15 jours; combien 30 hommes en feront-ils en 12 jours?

On appelle regles de trois compofées ces fortes de problêmes où il entre plus de trois termes connus. Pour trouver alors le terme que l'on cherche, on réduit la queftion à des regles de trois fimples. On peut dire, par exemple; fi 20 hommes ont fait 160 toifes, combien

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