on pourroit donc prendre 34 boiffeaux de froment avec 12 boiffeaux de feigle & 12 boiffeaux d'orge. Mais puifque la quantité de froment eft fixée, il eft clair que s'il faut 12 boiffeaux de feigle & 12 d'orge fur 34 de froment, il en faudra fur 8 une quantité proportionelle que je déterminerai par cette regle de trois,

34:8: 12: x = 3 boiffeaux

Sde feigle
d'orge,

Il en eft de même pour un plus grand nombre de choses à mêler, quand on connoît leurs prix & la quantité de

l'une d'entre elles.

3o, On a trois fortes de café. La livre du premier vaut 50', celle du fecond en vaut 38, celle du troifieme 24. Trouver dans quelle proportion il faut les mêler pour en faire 64 livres que l'on puiffe vendre 30'?

Prenez les différences comme ci-deffus, & après les avoir ajoutées, dites: la fomme des différences eft à la quantité de mélange que l'on veut faire, comme chaque différence en particulier eft à la quantité qu'il faut pren

dre de tel ou tel café.

265. La regle de fauffe pofition fert à trouver un nombre inconnu par le moyen d'un nombre fuppofé. Soit propolé , par exemple, de trouver un nombre dont la moitié, le quart & le cinquieme faffent 456.

Je fuppofe que ce nombre eft 20. Mais il eft clair que la moitié, le quart & le cinquieme de 20 ne font que 19. Ma fuppofition eft donc fauffe. Elle n'en fervira pas moins cependant à me faire connoître le nombre demandé. Car puifque deux quantités font toujours entre elles comme

leurs parties femblables ( 242 ), on peut les regarder l'une comme la fomme des antécédents d'une fuite de termes proportionels, l'autre comme la fomme des conféquents, Or ces deux fommes font entre elles (241), comme un nombre quelconque d'antécédents eft au même nombre de conféquents, & réciproquement; donc la moitié plus le quart, plus le cinquieme de 20, font à la moitié, plus au quart, plus au cinquieme du nombre que je cherche comme le nombre 20 lui-même eft au nombre cherché. J'ai donc, 19:456:: 20:x=480.

Trois Négociants ont perdu 2400 en fociété. Cette perte devant être répartie à proportion des mifes, & la mife du premier Négociant étant égale à la fomme des deux autres, pendant que celle du fecond eft double de celle du troisième, on demande quelle doit être la

de chacun?

perte

Si je fuppofe que la mife du troifieme eft de 3*, celle du fecond doit être de 6, & celle du premier, de 9. D'où je conclus que

conditions que

Une infinité d'autres nombres formés fuivant les mêmes 18, auroient donné le même résultat. Combien faudroit-il de temps pour remplir un baffin, en ouvrant tout à la fois quatre robinets, dont le premier feul le rempliroit en 2 heures, le fecond en 3, le troifieme en 5, & le quatrieme en 6?

Suppofons qu'il fallût une heure, & voyons fi le baffin se trouveroit rempli. Il eft clair que dans cet intervalle le premier robinet en rempliroit la moitié, que le fecond en remploit le tiers, &c; & qu'ainfi les quatre à la fois fourniroient dans une heure de quoi remplir ou du baffin. Il ne faut donc pas une heure. Pour déterminer au juste ce qu'il faut, on dira.......

266. Il arrive fouvent qu'une premiere fuppofition ne fuffit pas pour réfoudre ces petits problêmes: on en fait alors une feconde. C'eft ce que l'on appelle la regle de duble fauffe pofition.

EXEMPLE. On demande deux nombres dont la diffétence foit 8, & dont la fomme foit 16.

Suppofons que le plus petit de ces deux nombres foit I; nous aurons 9 pour le plus grand, & 10 pour leur fomme. Mais nous devons avoir 16 pour leur fomme; nous fommes donc en erreur de 6.

Suppofons maintenant que le plus petit des deux nombres cherchés foit 3, ce qui donnera 1 1 pour le plus grand. On aura 14 pour leur fomme, & 2 pour erreur.

Mais nous favons d'ailleurs (196) que le plus petit nombre cherché doit être 4, & nous voyons que la premiere erreur eft à la feconde, comme la différence entre le premier nombre fuppofé & le nombre cherché, eft à la différence entre le fecond nombre fuppofé, & le même nombre cherché, puifqu'on a...6: 2:31. Refte donc à trouver une méthode qui faffe connoître le nombre cherché, dans tous les cas où il y a proportion entre les erreurs, & les différences, dont nous venons de parler.

267. Soit donc x le nombre cherché; foit a le premier nombre fuppofé, b le fecond, c la premiere erreur, d la feconde. Il eft clair que toutes les fois qu'il y aura proportion entre les erreurs & les différences indiquées, on aura... c:d :: x-a: x-b, & que par conféquent...

Donc pour trouver, par la regle de double fauffe pofition, le nombre cherché, il faut multiplier chaque nombre fup pofé par l'erreur qui répond à l'autre nombre fuppofe, & divifer la différence de ces deux produits, par la difference des deux erreurs.

Nous avons fuppofé dans l'exemple qui précede, que les deux erreurs étoient de même figne. Si elles eussent été de fignes contraires, ils eut fallu alors divifer la fomme |

des mêmes produits, par la fomme des erreurs; puif que d, par exemple, étant une quantité négative, la

formule devient x=

bc + ad

c+d

Donc la formule générale

268. Toutes les fois que les deux nombres fuppofés ne fatisferont point à l'énoncé du problême, on voit bien qu'il fuffiroit de ramener l'un des deux au nombre cherché , par une correction convenable. Soit donc y cette correction; foit d la plus petite erreur; foit ble nombre qui l'a produite, & le refte, comme ci-defus. Il eft clair que fi b eft plus petit que x, on aura... (ba) d

b+y=x=

bc-ad

; ce qui donnera...y = C Mais fi b eft plus grand que xr, alors by ==

bc-ad

c-d›

si

d'où on tire... y :

y=

(a - b) d

C

d

C'est-à-dire que dans les deux cas, il faut multiplier la différence des deux nombres fuppofés par la plus petite erreur, & divifer ce produit par la différence des erreurs, lorfqu'elles ont le même figne, ou par leur fomme, quand elles ont des fignes différents. Le quotient eft toujours la correction cherchée.

26.9. Rapprochons maintenant les diverfes opérations de la regle de double fauffe pofition. Elles confiftent à fuppofer un nombre que l'on affujétit aux conditions du problème. S'il y fatisfait, comme cela arrive quelquefois, le problême eft réfolu. S'il n'y fatisfait pas, on marque l'erreur foit pofitive, foit négative, & on fuppofe un autre nombre, que l'on applique de même aux conditions du problême. S'il en réfulte une nouvelle erreur, on la marque, comme la précédente. Enfuite, on multiplie la premiere erreur par le fecond nombre, & la feconde erreur par le premier. Cela fait, on divife la fomme des deux produits par celle des deux erreurs, lorfque les fignes de ces erreurs font différents. S'ils font les mêmes, c'eft la différence des pro

duits qu'il faut divifer par la différence des erreurs. Le quotient eft le nombre cherché.

EXEMPLE. Pour engager un ouvrier pareffeux à travailler on lui promet un écu par jour, à condition que les jours où il ne travaillera pas, il ne recevra rien, & qu'il perdra au contraire 24' chaque fois. Au bout de 15 jours l'ouvrier ne reçoit que 24. Combien de jours a-t-il travaillé ?

Je fuppofe qu'il a travaillé pendant 6; mais je vois que dans cette fuppofition il n'auroit dû recevoir que 7 4. Il en a cependant reçu 24. Je fuis donc en erreur de 16 16, ou de 16, 8 en moins; d'où je conclus que cet ouvrier a travaillé plus de 6 jours.

Suppofons donc qu'il ait travaillé pendant 12 jours, & voyons quel en fera le résultat. L'ouvrier auroit dû recevoir 32 8: il n'en a pourtant reçu que 24. L'erreur eft donc de 8# 8, c'est-à-dire 8, 4 en plus.

Je difpofe ainfi les deux nombres fuppofés & les erreurs correfpondantes;

Puis je multiplie le premier nombre par la feconde erreur, & le fecond nombre par la premiere. Les produits font 50,4 & 201,6. Je les ajoute, & divifant leur fomme 252 par celle des erreurs (qui eft 25,2) je trouve 10 pour quotient. C'eft le nombre cherché,

Si les deux nombres fuppofés avoient donné deux erreurs de même figne, j'aurois divifé feulement la différence des produits par celle des erreurs.

Ex. Après avoir trouvé, par la premiere fuppofition, que cet ouvrier a travaillé pendant plus de 6 jours, je fuppofe qu'il a travaillé pendant 9. L'erreur fera encore en moins, de 4# 4o 4,2#. J'ai donc . . . .