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Puis, 6×4,225,2....9× 16,8151,2151,225,2=126....16,8 — 4,2 — 12,6....&

comme ci-deffus.

126

12,6—10,

La formule de la correction s'applique aifément à ces petits problêmes. Ici, par exemple, on auroit y

12,6 12,6

(96) 4,2 16,8-4,2

I; ce qui indique que le fecond nombre fuppofé, 9, doit être augmenté d'une unité, pour être égal au nombre que l'on cherche.

La plupart des problêmes du premier degré, qui ont déja été réfolus ou propofés (197 & 208) peuvent fe réfoudre facilement par la regle de double fauffe pofition, qui ne paroît d'abord fondée que fur un fimple tâtonnement, mais qui n'en eft pas moins ingénieuse, ni moins utile, aux yeux des Géomètres, & furtout des Aftronomes.

270. IV. La règle d'intérêt a pour but de fixer la fomme dûe pour de l'argent prêté fous certaines conditions.

On peut les varier à l'infini, & c'eft ce qui rend allez compliqué le calcul néceffaire en plufieurs cas. Nous nous bornerons à ceux qui font le plus en ufage; & laiffant à chacun le foin de réfoudre par la regle de trois, ceux qui en font fufceptibles, nous confidérerons la chofe un peu plus généralement.

1°, Si un Ufurier a prêté 15600 à 8 pour cent par an, quelle fomme faudra-t-il lui donner dans cinq ans pour le rembourfer, & lui payer en même temps l'intérêt de fon argent?

Soit p=15600, que l'on appelle le Principal, ou le Fonds, ou le Capital. Soit tans, 5 ans, ou le temps pendant lequel l'intérêt court. Soit rce que rapporte 1t dans un an, ou en général dans le temps que 100 en rapportent 8. (On trouve la valeur de r en difant... fi 100 en rapportent 8, que rapportera 1 dans le même temps?..... 100:8:: 1:0,08). Soit enfin sla fomme dûe, tant pour le fonds que pour les intérêts.

M

Cela polé, nous aurons 1:r:: pt : x =pr= l'intérêt du principal pour un an. Mais fi au bout d'un an l'intérêt eft pr, il fera prt au bout d'un temps t: car I : pr:: t:x=prt. Réuniffant donc le principal (p) & l'intérêt (prt), on aura généralement la fomme demandée (s)= P+prt; d'où l'on tire ; p=

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pr

rt

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r=

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pt

Subftituons les valeurs, & nous trouverons s=15600 +15600 × 0,08 x 5 = 21840.

Si la queftion eût été énoncée de cette maniere. Au bout de cinq ans il a été payé tant pour le fonds que pour les intérêts à 8 pour cent, la fomme de 21840. Quel étoit le fonds? On eût substitué ces valeurs dans la formule p= rt+1› qui eût donné 15600#. On trouveroit de même le temps ou l'intérêt.

que

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271. 2°. Un Commerçant doit payer cent pistoles chaannée à un de fes confreres; mais comme il a befoin de fon argent, il le prie de ne pas en exiger pendant 8 ans, promettant de payer à cette époque tous les arrérages avec les intérêts à pour 100.

J'appelle a ce qui eft dû chaque année, foit Rente, ou Annuité, foit Penfion, &c. J'appelle r l'intérêt de 1* pendant un an; t le temps après lequel feront payés les intérêts & arrérages, dont je défigne la fomme par s; & je dis... La rente ne doit être payée qu'à la fin de l'année. Le Commerçant ne devra donc aucun intérêt pour la premiere année. Mais à la fin de la feconde il devra ar d'intérêt; à la fin de la troifieme, 2ar; & ainfi de fuite jufqu'à la fin de la derniere, où les intérêts dûs feront exprimés par ar (t-1).

Or ces intérêts forment une progreffion arithmétique, dont le premier terme eft zéro, le dernierar (t-1), & le nombre des termest. Leur fomme eft donc (227) t(t-1) ar ; & cette fomme réunie à ce qui eft dû pour

2

la

rente, doit former la fomme des arrérages & des intérêts.

Donc s =art

qui donne

25-2 at

at (t − 1 )

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:

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=

(r(2-1) + 2) t

t=V[+]+S =V[ +()2]+

Subftituant les valeurs, on trouvera s=0,05x7+2 X 3000=9400*. Et fi on connoiffoits, r, t, on trouveroit

2

a par la formule . . . a=

25

( r (t − 1 ) + 2) t ; &c, &c. 272. Ces fortes de queftions appartiennent à ce que l'on appelle regle d'intérêt fimple. Les deux fuivantes fe réfolvent par la regle d'intérêt compofé. On appelle ainfi l'intérêt qui provient du fonds & des intérêts de ce fonds. 3°, Une partie des biens d'un Pupille confifte dans une fomme de 20000 que fon Tuteur a placée à 5 pour 100. Au bout d'un an la perfonne qui avoit emprunté cette fomme, la rembourfe & en paye l'intérêt convenu. Le Tuteur trouvant auffi-tôt une occafion de placer cet argent au même intérêt, forme un nouveau capital de la fomme des 20000# & de l'intérêt qu'elle a produit pendant un an, & place ce capital. Il place de même à la fin de la troifieme année le fonds, & l'intérêt de la feconde, & ainsi de fuite pendant fix ans. Que doit-il à fon Pupille pour cette partie de fon adminiftration?

Soit p=20000 qui font ici le principal; foit t=6 ans; s la fomme due par le Tuteur; r=l'intérêt fimple d'une livre ; q=1+r une livre plus fon intérêt. On trouve q par cette proportion. Si 100 en produifent 105 au bout d'un an, que produira 1? ou... 100: 105::

1:1

- I, 05.

tt

Il eft clair maintenant que fi 1* produit q dans un an, q produira la feconde année q2; car 1:q::q:q'. La fomme dûe pour 1 & pour fon intérêt pendant deux ans fera donc q2. Elle fera q3 pour trois ans, & q pour un nombre t d'années. Mais puifque 1 produit q dans un temps,

=20000 × 1, 05°

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p produiront py' dans le même temps. On aura doncs Pq =20000 × 1, 3401 = 26802 dont le Tuteur eft redevable à quatre ou cinq fous de moins.

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rithmes abrègent beaucoup le calcul, dans les problêmes de ce genre. 273. 4, Un Banquier perçoit en 1783 une rente de 2400, & il place ce revenu à quatre pour 100, en 174. Il recevra donc à la fin de 1784, la fomme de 2400* pour fa rente & pour l'intérêt de celle qu'il avoit 96 # perçue en 1783. Son projet eft de placer ainfi tous les ans jufqu'en 1791 la rente de l'année précédente avec les intérêts des autres années. On demande combien il recevroit d'argent, fi à la fin de 1790 les perfonnes qui lui ont emprunté, le rembourfoient toutes à la fois? Soit a= 2400* t = 8 ans =0,04= l'intérêt annuel d'une livre. .•q=1*+r= 1,04 sla fomme demandée; & nous aurons a ce qui eft dû au Banquier en 1783; 2a+ar = a + aq=ce qui lui eft dû en 1784; a + aq + aq2: =ce qui lui eft dû en 1785; & ainfi de fuite jufqu'à ce qui lui fera dû à la fin d'un nombre t d'années; l'expreffion de cette dette eft a + aq + aq2. . . . + ay11.

2

2

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Or la fomme de cette progreffion eft (252)

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-1

xα= x a. La fomme dûe après un nom

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bret d'années eft donc généralement exprimée par s=

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(1,04) 8-1

X 2400

0,04

rs

L

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1 au lieu de r. Or cette derniere équation

a

donnera au moins une valeur approchée pour q, fi elle n'a pas de divifeur commenfurable. On pourra donc en déduire la valeur de r, qui étant multipliée par o, fera connoître le taux de l'intérêt, toutes les fois que t, s, & a feront connus.

Quelques notions fur les Séries.

274. On appelle Série ou Suite un affemblage de termes qui pris confécutivement croiffent ou décroiffent fuivant une même loi: telles font les progreffions arithmétiques, géométriques, &c.

On appelle fuite finie celle dont le no

re des termes est

limité & fuite infinie celle que l'on fupp mb ontinuée jufqu'à

l'intini.

ofe c

Les fuites dont les termes vont en augmentant de grandeur, s'appellent divergentes, & celles dont les termes décroiffent de grandeur, s'appellent convergentes. Une fuite diverge, ou converge d'autant plus rapidement, que chaque terme croît ou décroît plus fenfiblement, à l'égard de celui qui le précéde.

Voyons d'abord de quel ufage eft pour le calcul des féries, la Méthode des coefficients indéterminés.

On appelle ainfi une méthode fort connue des Géomètres, par la grande utilité dont elle eft, & par l'efprit d'invention qui y régne. Cette méthode a pour but de faire connoître la fuite des termes que l'on peut déduire de certaines quantités algébriques. Mais pour la rendre bien intelligible, il faut l'appliquer à quelques exemples. 275. Suppofons donc que l'on veuille réduire en férie la

Φ

quantité On le pourroit fans doute, foit par le feul

P+x

procédé de la divifion, foit par la formule du binome mais on le peut auffi par la méthode fuivante.

Soient A, B, C, D, E, &c. des quantités telles que ait l'équation.

Φ A+ Bx+Cx2 +Dx3 + Ex2 + &c.

p+x

l'on

Cette fuppofition eft très-permife, puifque les quantités A, B, C, &c. font fufceptibles de toutes les va

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