ment 3 fois. Mais cette méthode feroit trop longue, fi les nombres étoient fort grands. On a donc imaginé un moyen de trouver en peu de temps combien de fois une quantité appelée le Dividende, contient une autre quantité appelée le Divifeur. On appelle Quotient le nombre qui exprime combien de fois le dividende contient le divifeur.

Dans cet exemple 12 est le dividende, 4 le diviseur, & 3 le quotient.

34.

Il fuit clairement de ces notions, 1°. Que le dividende contient autant de fois le divifeur, que le quotient

contient l'unité.

35. II°. Que le divifeur pris autant de fois que le quotient contient l'unité, doit être égal au dividende, (car alors c'est remettre le diviseur autant de fois qu'on l'a ôté; ce qui doit rétablir le dividende), ou, ce qui eft la même chofe, le produit du divifeur par le quotient eft égal au dividende.

Donc, pour favoir fi un quotient eft exact, il faut le multiplier par le divifeur, & en comparer le produit avec le dividende.

Or on peut regarder le dividende comme le produit d'une multiplication, dont le divifeur & le quotient font les facteurs. Ainfi divifer le dividende par le divifeur pour avoir un quotient, c'eft la même chofe que de divifer un produit par un de fes facteurs, pour trouver l'autre facteur.

Donc, quand on connoît un produit & un facteur de ce produit, il faut, pour trouver l'autre facteur, diviser le produit par le facteur connu.

36. Cela pofé, parcourons les différents cas de la divifion. Il y en a trois; le premier a lieu, lorfque le dividende & le divifeur font l'un & l'autre des nombres fimples, comme fi on propofoit de divifer 8 par 4.

Le fecond, lorfque le dividende eft un nombre compofé, & que le divifeur est un nombre fimple; 7953, par exemple, à divifer par 3.

Le troifieme cas eft le plus ordinaire, c'eft quand le

B

dividende & le divifeur font tous deux des nombres compofés; par exemple, 147475 à divifer par 362.

Premier Cas de la Divifion.

37. Lorfque le dividende & le divifeur font des nombres fimples, on n'a pas befoin de regles pour trouver le quotient. Par exemple, on voit tout de fuite que le quotient de 8 divifé par 4 eft 2.

Pour abréger, on écrit le divifeur immédiatement audeffous du dividende, & on les fépare par un trait, qui fignifie divifé par : ainsi =2 signifie que 8 divifé par 4 égale 2. De même 3.

3

4

Quand on ne trouve pas un quotient exact; (comme fi on vouloit divifer 9 par 4, où l'on voit que 9 contient 4 plus de 2 fois, mais moins que 3 fois, & qu'ainfi le quotient véritable eft entre 2 & 3): alors on écrit pour quotient le plus petit des deux nombres entre lesquels le vrai quotient doit fe trouver on multiplie ce nombre par le divifeur, on retranche du dividende le produit de cette multiplication, & l'on a un refte qu'on écrit à côté du quotient, en mettant le divifeur au deffous de ce refte, dont on le fépare par un

trait.

Par exemple, il faut dire, 9 contient 4 deux fois & plus, mais non pas trois fois : j'écris donc 2 pour quotient, & je dis... 2×48, enfuite 981, & j'ai 22; ce qui fignifie que 9 divifé par 4, a 2 pour quotient, & qu'il refte encore une des unités de 9 à partager en quatre parties. De même =3... = 2} • • • ;

=1

I

8

3

6

38. REMARQUES. I. La divifion confifte en trois opérations. 1°. On divife le dividende par le divifeur, pour avoir un quotient; 2°. on multiplie le divifeur par le quotient, pour avoir un produit ; 3°. on ôte ce produit du dividende, pour avoir un refte.

II. Si le divifeur eft plus grand que le dividende comme s'il falloit divifer 4 par 7, alors on se contente

d'écrire comme un refte de divifion, & cette expreffion repréfente le quotient.

III. Une quantité qui peut fe divifer exactement & fans refte par une autre, eft multiple de cette autre quantité. Ainfi 8 eft multiple de 4 & de 2.... 12 eft multiple de. 6, de 4, de 3, & de 2. Tout nombre eft multiple de l'unité mais 8 n'eft pas multiple de 7, ni de 6, ni de 5, ni de 3. De même 11, n'eft multiple d'aucun nombre entier plus grand que 1.

:

IV. Tout nombre entier qui n'eft multiple d'aucun autre nombre entier plus grand que l'unité, s'appelle nombre premier. On trouve dans différents Auteurs des Tables de ces nombres. Voici ceux qui font moindres que 500.

1, 2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 19, 13, 29, 31, 37, 41, 43, 47 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, Is1, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397.

401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499.

On peut voir dans le cinquieme Volume des Mémoires de Mathémathique & de Phyfique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, (page 485) la méthode que M. Rallier des Ourmes a donnée pour trouver les nombres premiers. Cette méthode eft fort fimple, quoique

indirecte.

Le célebre Jean Bernoulli en avoit déja indiqué une autre (Tome I. page 90 de fes Ouvrages). Elle eft fondée für la propriété commune à tous les nombres premiers, excepté 2 & 3, de ne différer que d'une unité, de 6 ou de ses multiples; ce qui n'eft pas réciproque.

On a imprimé depuis peu à Berlin des Tables qui contiennent tous les nombres premiers depuis 1 jufqu'à 102000.

Second Cas de la Divifion.

39. Lorfque le dividende eft un nombre compofé, & que le divifeur eft un nombre fimple: 1°. Je cherche combien de

fois le divifeur eft contenu dans le premier chiffre du dividende, en allant de gauche à droite.

2°. J'écris le chiffre qui exprime ce nombre de fois, & par ce chiffre je multiplie le divifeur que l'on place ordinairement fur la droite du dividende.

3. Je fouftrais ce produit du premier chiffre du dividende, & j'abaiffe le fecond chiffre à côté du refte, s'il y en a. Après quoi, je recommence les mêmes opérations, jufqu'à ce que je fois parvenu à divifer fucceffivement tous les chiffres du dividende.

Ainfi pour divifer 7953 par 3, j'écrirai d'abord le divifeur à droite du dividende, comme on le voit ici.

Enfuite je dirai... En 7 combien de fois 3? deux fois. J'écris 2 au quotient. Je multiplie 3 par 2, & je fouftrais le produit 6, de 7; il me refte 1, à côté duquel j'abaiffe 9.

Je dis enfuite... En 19 combien de fois 3? fix fois. Je mets 6 au quotient. Je multiplie 3 par 6, & je fouftrais le produit 18, de 19. Il me refte encore 1, qui, ajouré au chiffre fuivant 5, fait 15.

795353

2651

6

19

18

15 15.

03

3

Le même procédé dans cette troifieme divifion me fait trouver 5 pour quotient, 15 pour produit, o pour refte.

J'abaiffe le 3, & je divife comme à l'ordinaire. Le quotient eft i, le produit 3, le refte o. D'où je conclus que 3 eft contenu 2651 fois exactement dans 7953. Pour m'en affurer, je multiplie 2651 par 3; je retrouve le dividende. L'opération eft donc bonne.

Dans un cas auffi fimple, on a plutôt fait de prendre fur chaque chiffre du dividende la partie défignée par le divifeur. On auroit pu dire, par exemple.... Le tiers de 7 eft 2 avec un refte. Ce refte eft 1, qui ajouté à fait 19. Le tiers de 19 eft 6. Le tiers de 15 eft 5. Celui de 3 eft 1. Donc 2651 eft le tiers cherché de 7953.

9,

Voici quelques autres exemples de cette abréviation. 12538=6269 8764-1752 97593=13941

40. REMARQUES. I. On commence la divifion par la gauche, afin que s'il y a des reftes dans les premiers chiffres, on puiffe les joindre aux chiffres fuivants. En commençant par la droite, on feroit prefque toujours obligé de revenir fur fes-pas.

II. Si le premier chiffre du dividende eft plus petit que le divifeur, il faut chercher combien de fois celui-ci eft contenu dans les deux premiers du dividende.

III. Lorfqu'après une fouftraction il ne refte rien, & que le chiffre abaiffé eft moindre que le divifeur, il faut mettre zéro au quotient, & abaiffer le chiffre fuivant, s'il y en a. On met zéro au quotient, pour conferver la valeur respective des chiffres.

IV. Quand après une foustraction, il se trouve un refte ce refte doit toujours être plus petit que le divifeur. S'il lui étoit même égal, c'eft qu'alors le chiffre mis en dernier lieu au quotient feroit trop petit d'une unité. Il faut donc interrompre le cours d'une divifion, auffi - tôt que l'on trouve un refte qui n'eft pas plus petit que le divifeur. V. A mefure que l'on abaiffe un chiffre, il eft à propos de le marquer par un point: cela fert à reconnoître chaque fois où l'on en eft, & de combien de chiffres le quotient doit être compofé.

VI. On ne peut jamais mettre plus de 9 au quotient parce que l'Arithmétique dont nous nous fervons eft décimale.

Troifieme Cas de la Divifion.

41. Si le dividende & le divifeur font des nombres compofés ; fi on a, par exemple, 147475 à divifer par 362, on commencera par écrire ces deux nombres, comme on