56, il faut retrancher le logarithme de 56, qui eft 1,748188, du logarithme de 7336, qui eft 3,865459: & la différence 2,117271 eft un logarithme, qui répond dans les Tables à 131. Donc 131 eft le quotient de 7336 divifé par 56.

293.3°, Que pour faire une regle de trois par les logarithmes, il faut ajouter ensemble les logarithmes des termes qu'il eût fallu multiplier, & de la fomme retrancher le logarithme du nombre par lequel il eût fallu divifer le produit ; le refte eft le logarithme du terme cherché. Par exemple, foit la proportion 2843: 8529: 3147: x. Il faudroit pour avoir la valeur de x, multiplier 3147 par 8529, & divifer leur produit 26840763 par 28433 mais par les logarithmes, il fuffit d'ajouter enfemble ceux de 8529 & de 3147, qui font 3,93090 & 3,49790, & d'ôter 3,45378 logarithme de 2843, de la fomme 7,42880; le refte 3,97502 eft le logarithme de x, lequel répond dans les tables à 9441.

294.4°, Que pour élever une quantité à une puissance quelconque, il faut en ajouter le logarithme à lui-même autant de fois qu'on auroit multiplié cette quantité; c'està-dire, qu'il faut multiplier fon logarithme par l'expofant de la puiffance. Ainfi pour élever 8 à la quatrieme puifsance, il faut multiplier fon logarithme 0,90309 par 4, & le produit 3,61236 eft le logarithme de 4096, quatrieme puiffance de 8.

295. Qu'enfin, fi on divife le logarithme d'une quantité donnée par l'expofant de la racine qu'on en veut extraire, le quotient fera le logarithme de cette racine; ainfi pour extraire la racine cubique de 6859, divisez fon logarithme 3,83626 par 3 & le quotient 1,27875 fera le logarithme de 19, qui eft la racine cherchée. Mais on peut démontrer généralement toutes ces propriétés du calcul logarithmique : & c'eft ce que nous allons faire dans le Chapitre fuivant.

Des propriétés des Logarithmes en général.

296. Sort a un nombre plus grand que l'anité; foit m l'expofant de la puiffance à laquelle il faut élever a pour avoir un nombre donné b, enforte que l'on ait ab. On eft convenu d'appeller m le logarithme de b, & de l'écrire ainsi, m=Lb.

que

Suppofant, par exemple a= 10, & b= 100, il faut m=2 pour que l'on ait ab, & pour que 2 foit dans cette fuppofition, le logarithme de 100. Tel eft, comme on l'a vu (289), le fyftême des Tables ordi

naires.

297. Il fuit de-là que les logarithmes ordinaires fone les expofants des puissances auxquelles il faudroit élever 10, pour avoir les nombres qui répondent à ces logarithmes.

Et puifque d'un côté, tous les nombres peuvent être regardés comme étant différentes puiffances de 10, & que de l'autre le produit ou le quotient des puiffances fe trouve én ajoutant ou en fouftrayant leurs expofants, il eft clair que la fomme ou la différence des logarithmes de deux nombres doit répondre dans les Tables au nombre qui eft le produit ou le quotient des deux autres. Nous avons déja déduit de ce principe les propriétés du calcul logarithmique, dans le difcours qui eft à la fuite des Tables déja cirées. Voici une autre maniere de les démontrer.

=

bc

298. Si ab, il eft évident que La"=Lb; & fi a"=c, on aura de même La" — Le; donc beat" × a"=a"+", & Lbc — La”+” —m+n=Lb+ Lc. C'est-à-dire, que le logarithme d'un produit quelconque réfulte de la fomme des logarithmes de fes facteurs. Voilà donc toutes les multiplications réduites à de fimples additions.

Soit p le produit; F, f les facteurs, & nous aurons gé néralement Lp LF Lf; d'où LF Lp - Lf; c'està dire, qu'étant donnés le produit & un de fes facteurs on trouvera le logarithme de l'autre facteur, en ôtant le

logarithme du facteur connu de celui du produit; ce qui ramene toutes les divifions à de fimples fouf

tractions.

De ce que Lp LF+Lf, il fuit que dans le cas où F=f, on a Lp ⇒ LF2 = 2 LF, & par conféquent LF3 =3LF, LF*= 4 LF, ou en général, LFm LF. Donc pour élever un nombre à une puiffance quelconque, il fuffit de multiplier le logarithme de ce nombre par l'expofant de la puiffance propofée. Le logarithme qui en réfulte eft celui de la puiffance que l'on cherche.

Et comme les racines ne font que des puiffances fractionnaires (159), il eft clair qu'en multipliant le logarithme d'un nombre par la fraction indiquée, ou ce qui revient au même, en divifant ce logarithme par l'expofant de la racine, on aura toujours le logarithme de cette racine. Voici quelques exemples des cas les plus ordinaires.

L

ab+bc

m+n

LanLx — zLr.

=Lb + L (a + c) — L (m -f n).

LV (x2 + y2 ) =÷L (x2+ y2).

a-x

L (a2

x2)= L (a + x) + L (a—x).

LV (a2 — x2) — ¦ L (a + x) + ÷ L (a — x) •

L La

*1·3a2 + la2 + bl3 =d3 +ďa2+ La2 + 523 = 623 + 22a +42a =
la2+5L3 La2+5(3
= 6£3+6La = 6(L3+La) = 6 (L3×α) = 6L3a = L (3a)6.
LEÇONS ÉLÉMENTAIRES

200

V (a2-x2)

L

(a + x)2

m

n

m

η

— — L (a — x) — 1⁄2 L (a✈✈x).

L*3a2 + Laa +5L3=6L3a=L(3a)6.

Du Calcul des Logarithmes par les Séries.

199. Les premiers Calculateurs des Tables avoient déja fini leurs calculs, lorfqu'on inventa des méthodes pour les fimplifier. Mais fi ces méthodes vinrent un peu tard, elles ne mériterent pas moins d'être accueillies pour la rapidité de leur marche. On en jugera mieux par les détails qui fuivent.

Etant donné un nombre quelconque, trouver fon logarithme. SOLUTION. Soit 1 + x le nombre donné . . . . soit (1+x)TM 1+ { .... Soit enfin L ( 1 + x ) = Ax + Bx2 + Cx3 + Dx♣ +&c; on aura donc auffi L (1+z) Az + Bz2 + Cz3 + Dz⭑ + &c. Mais comme on a d'un côté l'équation (1+x)TM

m.m-I

qui donne z = mx +

2

m.m-1.m-2
2.3

x3 + &c,

& que l'on a d'un autre côté, m L( 1 + x ) = E ( 1 + z), on trou

mАx + mBx2 + mCx3 + &c = Az + Bq2 + Cz3 + &c. Subftituant donc la valeur de z dans le fecond membre, l'équation deviendra

+ &c2

Réduifant & comparant les termes homogenes (276) vous aurez 1o
B—— A... 2° . . . C = { A ... 3° ... D—— A ; & ainfi des
autres, enforte que toute réduction faite, vous trouverez que
L(1 + x)= A ( x − ¦ x2 + } x3 — — x4 + } x3 — ÷ xo +&c`).
300. Remarquez maintenant que la quantité A eft indéterminée, &
que par conféquent le même nombre i +x peut avoir une infinité
de logarithmes différents. Mais comme le plus fimple & le plus natu-
rel de tous les fyftêmes logarithmiques, eft celui où l'on fuppofe
A=1 on a donné le nom de logarithmes naturels à ceux qui ont

ર

été calculés d'après cette fuppofition. Ce fut fur cette efpece de logarithmes que tomba d'abord le Géomètre Écoffois, quoiqu'en fuivant une route bien différente. On peut voir dans fon Ouvrage ( Miri fici Logarithmorum Canonis Defcriptio) comment il y parvint. Ces Logarithmes s'appellent auffi Logarithmes Hyperboliques, à caufe du rapport qu'ils ont avec l'Hyperbole Equilatére, comme nous le dirons en fon lieu.

301. Cela pofé, il eft évident que tous les fyftêmes poffibles de logarithmes peuvent être ramenés à celui des logarithmes naturels, puifque dans tout fyftême, le logarithme de 1+x eft égal au produit de fon logarithme naturel par la quantité conftante A que l'on appelle le Module, & que nous déterminerons bientôt. Ainfi toute la difficulté du calcul des logarithmes fe réduit à calculer les logarithmes naturels ou hyperboliques. Or voici comment on peut faciliter le calcul de ces derniers.

302. Reprenons l'équation L (1+x)= A (x— — x2 + ÷ x3 — - 1 x+&c) qui en fuppofant A=1, devient L(1+x) = x − {x2 +} x3 -&c; & ajoutons de part & d'autre La, nous aurons L(a+ax) = La+x · 1/2 x2 + 1 x 3 &c. Soit axy, ou

y

x= ; on aura L (a+y)=La+

a

Faisant donc y négative, nous aurons L ( a − y) = Le—2—

(忠)

y

a

L(ay) ou

(

y2

I+ +
3a2 5a4

toujours convergente, parce qu'il faut que y foit plus petite que a pour

303. Appliquons maintenant cette férie au calcul des logarithmes,

cherche le logarithme du nombre m, on eft cenfé avoir celui de m-1; on aura donc celui de m par une férie très-convergente, dans les cas fur-tout où m fera un nombre un peu grand. On peut en juger par le cas le moins favorable, en calculant le logarithme hy