perbolique de 2? On aura m = 2, & par conféquent L z= 7.36 :)= =0,69314718 &c. Pour :)= =1,60943791. avoir enfuite le logarithme de 5, il n'y aura qu'à fubftituer au lieu de m dans l'équation L m =L(m — - 1) + &c, & on aura L I 2.9 2 I 5.94 Il est donc aifé de trouver par cette méthode les logarithmes des hombres premiers. Or ceux-ci une fois calculés, il est très-facile de trouver ceux de tous les autres nombres. Par exemple, étant donnés fes logarithmes de 2 & de 3, leur fomme donnera le logarithme de 6, (198). Celui de 4 fera le double de celui de 2, comme celui de 9 fera le double du logarithme de 3; & ainfi des autres. 304. Déterminons à préfent le module A pour un autre systême logarithmique, pour celui des Tables, par exemple, dans lequel a= 10, & dans lequel par conféquent L 101, car le logarithme de la bafe logarithmique eft toujours l'unité. Il faudra d'abord prendre le logarithme hyperbolique de 10 en ajoutant ceux de 5 & de 2 ; on aura 2,30258509. Ensuite (301), logarithme ordinaire de 10, ou 1A (2,30258509 &c); d'où l'on tire auffi-tôt A= I 2,30258509 &c. leur du module des Tables. 0,43429448 &c. C'eft la va Il fuit de-là, que pour ramener les logarithmes hyperboliques aux togarithmes tabulaires, il faut multiplier les premiers par la fraction 0,43429443 &c. و Et réciproquement, pour changer les logarithmes des Tables en logarithmes hyperboliques il faut multiplier les premiers par 2,30258509. Si on les multiplioit par 3,3219277, on auroit des logarithmes correfpondants à la fuppofition a = 2. 305. On détermineroit de la même maniere le module A dans tout autre fyftême. Celui des Tables (autrement appellé celui de Briggs, parce que Briggs en calcula le premier les logarithmes) fert pour les calculs de la Trigonométrie. Celui des logarithmes hyperboliques eft d'un grand ufage dans le calcul intégral. Le nombre déterminé a eft la bafe logarithmique de chaque fyftême. Ainfi 10 eft la bafe du fyftême ordinaire. Celle du fyftême de Nepper eft 2,71828183 comme nous le verrons bientôt. En général, la base d'un fyftême quelconque de logarithmes eft toujours le nombre dont le logarithme eft 1. 306. Etant donné un logarithme, trouver à quel nombre il répond. SOLUTION. Si le logarithme donné eft du nombre des logarithmes ordinaires, on commence par le réduire aux hyperboliques, après quoi la difficulté ne confifte plus qu'à trouver le nombre qui répond à un logarithme hyperbolique donné. Soit donc ce logarithme, foit 1 + x le nombre cherché, & on aura par ce qui précede, z=x-x2 + ¦ x3 — ¦ x4 + &c. II s'agit de trouver (284) la valeur de x en z Pour cela je fuppofe.....x= Az + B22 + Cz3 + Dza + &c ; Ce qui donne ... 'Az + B22 + Cz3 + Dz4 &c &c + 2 +A3+A2B 2 3 2 3.4 2.3.4.5 + + Donc enfin 1 + x, ou le nombre cherché = 1 +z+ 22+ → 2.3 &c. En général, un nombre quelconque n=1+ La 2. 3.4 L'n L3n + + 2 Lon & par conféquent propre à réfoudre généralement la question propofée. 307. Appliquons-la à la recherche de la bafe des logarithmes hyperboliques, c'est-à-dire, cherchons quel eft le nombre dont le logarithme hyperbolique eft 1. Icin=1+1+ + + &c; donc n=2,71828183. Ce nombre fert très-fou vent dans le calcul intégral. Le voilà calculé d'avance, De l'ufage des Logarithmes dans la réfolution de plufieurs Equations. 308. SOUVENT il arrive qu'une équation échappe à toutes les regles de l'Algèbre ordinaire, & qu'elle fe réfout avec la plus grande facilité par le moyen des logarithmes. En voici plufieurs exemples avec quelques applications. I. Soit propofé de trouver la valeur de x dans l'équation ax = b, On a (298) La ou x La Lb, donc x = *f*-2. Nous aurons d'abord, n Lb Lb-mx Lex Lf-p Lf; puis .....(mLc+Lf) x2 (nLbp Lf) x = -aLb, ou x2 Lc" f — x L b" fo=— L ba, qui fe réfout par la méthode du second degré (201). 309. II. Suppofons qu'il y ait cent mille habitans dans une province, & que la population y augmente tous les ans de la trentieme partie ; on demande quel fera le nombre des habitans de cette province au bout d'un fiecle ? Ce problême & les suivants sont tirés d'un des meilleurs Ouvrages que nous connoiffions. Il a pour titre Introductio in Analyfin infinitorum, & pour Auteur, M. Euler, ce Géomètre úi savant & fi modefte! 2 Soit n=100000. C'est le nombre donné des habitants, lequel par la condition du problême fera n+n, ou n (1 +) à la fin de la premiere année. Il deviendra n (3) à la fin de la feconde; n (1)3 à la fin de la troifieme, & ainfi de fuite jufqu'au bout du fiecle où fon expreffion feran ()100, ou 100000 (31). On aura donc =x, nombre que l'on cherche. 100000 (1)100 Mais s'il falloit élever à la centieme puiffance par des multiplications fucceffives, on fent bien que le calcul feroit d'une extrême lon◄ gueur au lieu qu'en fe fervant des logarithmes, on aura tout de fuite.... L 100000 + 100 L = Lx; puis.... L = L 3 1 L30 (par des tables qui ayent dix décimales, celles d'Ulacq, par exemple) 0,014240439; donc 100 L 1,4240439. D'ailleurs L.1000005; donc L x = 6,4240439, & x = 2654874. Il y auroit donc, après 100 ans, deux millions fix cents cinquante-quatre mille huit-cents foixante-quatorze habitants dans cette province. La Terre n'ayant été repeuplée après le Déluge que par les trois enfants de Noé & par leurs trois femmes, on demande dans quel rapport la population auroit dû croître chaque année, pour qu'il y eût un million d'hommes au bout de 200 ans. Enfin x 16 environ. Il eût donc fallu que le genre humain fe fût accrû tous les ans de, ce que la fanté robufte, & les longs jours de nos premiers Peres rendent assez vraisemblable. Cherchons maintenant la quantité dont il faudroit qu'un peuple s'accrût tous les ans, pour être deux fois plus nombreux à la fin de chaque fiecle. I Soit n le nombre de ceux qui compofent ce peuple; foit la quan tité que nous cherchons; on aura pour chaque époque féculaire, l'é=2n, qui donne... quation n (+4) 10 1+x L x ajoute ce refpectable Auteur, on doit regarder comme bien ridicules les objections de ces incrédules, qui nient que la Terre ait pû être peuplée en auffi peu de temps par un feul homme. Suppofons enfin qu'un certain nombre d'hommes augmente tous les ans de la centieme partie, combien faudra-t-il d'années pour que ce nombre foit dix fois plus grand? Appellant z ce nombre d'hommes, x le nombre cherché d'années, on aura au bout de x années, n (101) = 10 n, ou (101)*10, qui donne x = L10 231. Donc il 43214 fois plus d'habitans à chaque époque de 231 années. INTRODUCTION A LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS fe 310.Les plus célebres Analistes se sont occupés fucces- cines exactes, au moins des racines très-approchées de toutes les équations. Nous allons faire connoître quelques-unes de ces regles, après avoir fait fur la nature des équations en général les remarques fuivantes. 311. Il eft clair qu'en transposant tous les termes d'une équation dans un feul membre, ces termes fe détruiront mutuellement. Ainfi toute équation peut être réduite à n'avoir que zéro dans un de fes deux membres. Si on a, par exemple, x2+a2 = 2ax, on peut en déduire x2, —2ax+a2=o. Or dans cet état, le premier membre peut être regardé comme le produit de xa par xa; & puifque ce premier membre fe réduit à zéro, il faut bien que xa, ou, ce qui revient au même, que x- a O. pour Mais parce que c'eft ici un quarré parfait, un de fes facteurs ne peut être égal à zéro que l'autre ne le foit auffi: au lieu que fi l'on eût eu x2 ax ·bx+ab: =0, un feul des facteurs, x—a, x—b, égalé à zéro, eût fuffi réduire à zéro le premier membre. Suppofer tout à la fois les deux facteurs égaux à zéro, ce feroit regarder a & b comme néceffairement égaux entre eux, ce qui n'eft pas. 312. Toute équation tranfpofée peut donc être confidérée comme le produit de plufieurs facteurs égaux ou inégaux. Lorfqu'ils font tous égaux, ils fe réduifent tous à zéro, & quand ils font inégaux, un feul doit être égal à zéro. Cherchons d'après cela le produit des quatre facteurs x-a, x-b, xc, xd, en fuppofant que l'un d'eux, n'importe lequel, foit égal à zéro. Nous trouverons, × |