ax

cines. Si on divife, par exemple, l'équation x + &c ( 312 ) par xa, on trouvera pour quotient 3&c, lequel divifé à fon tour par xb, donnera x2-&c; & ainfi de fuite jufqu'à ce qu'on ait trouvé tous les facteurs de l'équation x+ ax3+ &c.

par

Si on propofoit donc de trouver ceux de l'équation x3 + 3x2 ―25x+21=o, dans laquelle il doit y avoir deux racines pofitives & une négative, au cas toutefois qu'il n'y en ait pas d'imaginaires (316), on commenceroit par chercher tous les divifeurs de 21; & on trouveroit±1, ± 3,±7, ± 21. On effayeroit enfuite la division x+1, qui ne réuffiffant pas, feroit exclure ce divifeur du nombre des facteurs cherchés. On effayeroit donc par x-1, qui divifant fans refte l'équation propofée, feroit regardé comme un de fes facteurs. En tâtonant de même, on trouveroit que x3 & x + 7 font les deux autres facteurs; d'où l'on concluroit que les trois racines font I, 3 &-7, enforte que l'une de ces trois valeurs indifféremment substituée dans l'équation au lieu de x, rendra fon premier membre égal à zéro.

X

La pratique de cette méthode, (appellée communément la méthode des diviseurs) n'a pas été bien longue dans cet exemple, parce que 21 ayant un petit nombre de divifeurs il n'y a pas eu beaucoup de divifions à tenter. Mais lorsque le dernier terme a un grand nombre de diviseurs, cette méthode devient fatiguante. Rebutés de fes longueurs, les Analyftes ont imaginé un expédient affez prompt pour écarter au moins la plupart des divifions inutiles. Nous allons expliquer en quoi il confifte : mais il faut auparavant connoître la maniere de trouver tous les Divi-. feurs d'un nombre.

Soit donc propofé de trouver ceux du nombre 210. . . On voit d'abord que ce nombre peut être divifé exactement par 2, & que le quotient de cette premiere divifion. eft 105, qui étant un nombre impair n'eft pas divisible par 2. Ainfi le nombre propofé 210 ne peut être divifé par 4: mais comme 105 eft divifible par 3 (155), on voit

bien que 210, doit être divifible par 6, qui eft le produit des diviseurs 2 & 6, dont on s'eft fervi.

Le quotient de la feconde divifion eft 35 qui ne peut être divifé ni par 2, ni par 3, mais bien par 5. Ainfi 2.5. ou 10; 3.5, ou 15; 6.5, ou 30 font autant de divifeurs exacts de 210.

Le quotient de la troifieme divifion elt 7 qui n'est divifible que par lui-même. Donc 7 fois 2, 7 fois 3, 7 fois 5,7 fois 6, 7 fois 10, 7 fois 15, & 7 fois 30, font autant de nouveaux divifeurs de 210: lefquels joints à ceux que les opérations précédentes ont fait connoître, compo- . fent la fuite de tous les divifeurs demandés.

La regle pour trouver tous les divifeurs d'un nombre, fe réduit donc à le divifer d'abord par 2, s'il eft pair, ou par 3, ou par 5, ou par 7, ou par quelqu'un des autres nombres premiers, s'il eft impair. Puis on divife ce premier quotient par 2 encore, s'il eft pair, ou par 3, ou par 5, &c, s'il eft impair. Enfuite on multiplie le premier divifeur par le fecond, & on écrit le produit au rang des divifeurs cherchés. Si le fecond quotient eft encore pair, on le divife par 2, & s'il eft impair on effaie de le divifer comme cideffus, par un des autres nombres premiers, en commençant toujours par les plus petits. Après quoi, on multiplie tous les divifeurs déja trouvés par celui dont on vient de faire ufage, & on pourfuit la divifion jufqu'à ce que l'on parvienne enfin à un dernier quotient qui foit l'unité.

Deux exemples fuffiront pour rendre cette méthode familiere. Voici d'abord le détail de celui que nous venons d'expliquer.

Dividendes 210 1. Divifeurs.

17.14.21.35.42.70.105.210.

Ainfi tous les divifeurs de 210 font.... I..2.. 3 ïà 5..6..7..10.. 14. 15. 21..30.35.42.. 70..105..210.

Soit propofé maintenant de trouver les divifeurs de 900.... je difpofe les parties du calcul, comme dans l'exemple précédent, & je trouve

pour divifeurs

I

2.

Le nombre 900 a donc 3.4.5.6.9..10..12..15.. 18..20..25.. 30..36.45.50..60.75.90..100.. 150..

180..225..300..450..900.

On peut trouver par la même méthode tous les divifeurs de 360, & leur grand nombre fera fentir la raifon du partage purement arbitraire que les anciens Géometres ont fait de la circonférence du cercle en 360 degrés (97)

x

319. Cela pofé, foit a l'un des divifeurs du dernier terme, qui étant ajouté à x forme le facteur xa d'une équation quelconque. Il eft certain que fi dans cette équation on fappofe fucceffivement x 1, 1 &c, les résultats que donnera le premier membre par ces différentes fuppofitions, feront fucceffivement divifibles para, par a, par 1 + a', &c, provenus des mêmes fuppofitions faites dans le facteur x + a.

o, x

Or a, a,— a-1a font en progreffion arithmétique. Donc aucun des divifeurs du dernier terme (auquel feul l'équation fe réduit par la fuppofition de xo) ne peut être le nombre cherché a, s'il n'eft moyen proportionel entre deux autres divifeurs des nombres provenus, l'up de la fuppofition x=1, l'autre de la fuppofition x=Et comme la différence de cette progreffion eft 1, il faut que le divifeur qui répond à la fuppofition x=o, furpaffe d'une unité le divifeur cor refpondant à la fuppofition x1, & foit furpaffé à son tour d'une unité par le divifeur qui répond à la fuppofition x=1

Si on fait enfuite, x=2, x = 3, &c, on doit trouver parmi les divifeurs qui en proviendront, des termes qui foient en progreffian arithmétique avec les précédents. Au moyen de cette condition, il eft aifé de connoître les facteurs qui divifent exactement l'équation. On voit bien au refte que chacun des divifeurs du dernier terme doit être pris fucceffivement en + & en-.

Pour faire quelque application de cette méthode, cherchons les racines commenfurables de l'équation 3 + 3x2

Je fuppofe d'abord x = 1; le premier membre fe réduit à 6: six=0, il fe réduit à 10: & fix=- - I le résultat eft 20. Je cherche tous les divifeurs de 6, de 10 & de 20. Enfuite, je regarde fi parmi ceux de 10, il en eft qui étant pris en+où en-, furpaffent d'une unité quelqu'un de ceux du nombré 20, & foient furpaffés à leur tour de la même quantité par quelqu'un de ceux du nombre 6. Je trouve que +2&+ sont ces conditions. Car 3 & 6, divifeurs du nombre 6 furpaffent d'une unité 2 & 5, diviseurs de 10; & ceux-ci furpaffent de la même quantité & 4, divifeurs de 20. Pour plus de clarté, on peut difpofer ainfi les fuppofitions, les résultats, les divifeurs, & les progreffions.

Ces deux progreffions me font déja connoître qu'il feroit inutile de tenter la divifion de l'équation propofée par d'autre facteur que x+2, ou x+5. Elles ne m'apprennent pas cependant fi ces deux facteurs réuffiront. Je ne puis m'en affurer qu'en effayant la divifion, ou en faifant une nouvelle fuppofition, par exemple x=2, laquelle donne 14 pour résultat; d'où je conclus que la premiere progreffion 1, 2, 3 exigeant pour être continuée, que 4 foit un des divifeurs de 14, ce qui n'eft pas, x+2 ne peut être un des facteurs de mon équation. Mais la progreffion 4, 5, 6 exigeant 7 pour être continuée, & 14 étant divisible par 7, je fuis sûr que fi l'équation a un facteur commen furable, elle n'en a point d'autre que x + 5. Je la divife donc par x +5, & la divifion me réuffit. Le quotient x2 -2x+2 n'eft plus que du fecond degré, & fes deux facteurs imaginaires x 1±√-8 fe trouvent tout de fuite en réfolvant l'équation x2Soit pris pour fecond exemple, xa. ·x3- 16x2 + 5.50 75=0 Je fuppofe x1,x=0,x=— 1 & j'écris comme ci-deffus tous les divifeurs des réfultats 36, 75, & 144, provenus de ces trois fuppo fitions.

- 2x + 2 = 0;

·4141-6

Je cherche enfuite parmi les divifeurs de 75, ceux qui furpaffent d'une unité quelqu'un des diviseurs de 144, & qui font furpaffés de la même quantité par quelqu'un de ceux de 36. Les nombres 3 & 5 pris tant en+qu'en ont cette propriété, ce qui forme quatre progreffions, Pour connoître maintenant celles qu'il faut exclure, (car le dernier terme n'étant que-75, il ne peut être le produit de ces quatre nombres), je fuppofe x=2. Le résultat eft 21, qui n'eft pas divifible par 5, comme la premiere progreffion l'exigeroit. Donc x + 3 n'eft pas un des facteurs cherchés.

Pour vérifier les trois autres progreffions, je fuppofe x=—2, ce qui donne résultat 225. Or pour 225 n'eft pas divifible par 7, comme il le faudroit pour continuer la quatrieme progreffion,-4,-5, &-6; on doit donc rejetter x- Mais 225 eft divifible par 5 3, comme la feconde & la troifieme progreffion l'exigent. Les feuks facteurs à effayer font donc x 3, & ≈ + 5.

& par

J'effaie le premier. Il réuffit, & donne pour quotient x3+ 2x210x+25, que j'effaye de divifer par le fecond. La divifion réuffit encore, & le quotient x2 3x+5 n'a plus de facteurs commen

furables.

On voit par ces exemples avec quelle facilité on trouve les facteurs fimples d'une équation numérique, lorfqu'elle en a. La méthode en eft aifée, & quoiqu'elle ne foit pas exempte de tâtonement, elle n'en est pas moins précieufe par tous ceux qu'elle fait éviter.

Si l'équation à réfoudre paffoit le troifieme degré, elle pourroit bien n'être décompofable qu'en facteurs du fecond. Voici en peu de mors la maniere de trouver ces facteurs. On peut la voir bien détaillée dans les éléments d'Algebre de M. Clairaut.

x

2 x

310. Si on représente par xx + bx+c le divifeur à deux dimenfions d'une quantité donnée, il eft clair qu'en faifant fucceffivement 1,x= =0,x=- - 1, x2, les réfultats provenus de cette fubftitution dans la quantité donnée, feront divifibles fucceffivement par 4 +26+c, par 1+b+c, par c, par 1—b+c, & par 4-26c résultats du divifeur x2 + bx + c. Il y aura donc parmi les divifeurs du réfultat de x 2, un nombre qui repréfentera 4+ 26 +c; & fi de chacun de ces divifeurs pris en+ & en --che 4, quelqu'un de leurs reftes repréfentera 26 +c.

, on retran→

Il y aura parmi les divifeurs du résultat de x=1, un nombre qui représentera +b+c. Donc fi on ôte l'unité de tous ces diviseurs pris tant en qu'en, ce fera parmi ces reftes que fe trouvera b + c

Parmi les divifeurs du dernier terme de l'équation auquel elle se ré duit lorfque xo, on trouvera un nombre qui représentera o,