I, on trouvera Parmi ceux du résultat de x = -b+c en retran▾ chant l'unité de chacun de ces diviseurs. Enfin on trouvera 4-2b+c dans la fuite des diviseurs du résultat de x=— 2, & fi on ôte 4 chacun de ces divifeurs pris en + & en — quelqu'un de leurs reftes repréfentera-2b+c. de Remarquez maintenant que 26+c, b+c, c, bc,-26 +c forment une progreffion arithmétique, & que par conféquent dans les fuites des nombres qui repréfenteront 26 +c, b+c,c, b+c,-2b+c, il ne faudra prendre que des proportionels-arithmétiques. Celui qui répondra à la fuppofition de xo, représentera c; celui qui répondra à x=1 fera b+c; donc fi l'on ôte celui qui repréfente c de celui qui repréfente b+c, on aura la valeur de b, & par-là le facteur xx+ bx + c fera déterminé. Dans l'application de cette méthode, il pourra arriver qu'il y ait des progreffions à rejetter. On faura bientôt à quoi s'en tenir, par une nouvelle fuppofition x === 3 ou 3: car fi de tous les divifeurs pofitifs & négatifs du nouveau résultat on ôte 9, il doit y avoir parmi leurs reftes des nombres propres à continuer les progreffions qu'il faut admettre. Toutes celles qui ne pourront être continuées, font dans le cas d'être exclues. Remarquez feulement que la quantité à retrancher chaque fois des divifeurs eft le quarré de la valeur correfpondante de x. D'après cela, il est aisé de saisir l'efprit de la méthode, & d'en faire des applications. Deux fuffiront. On demande fi l'équation x-3x2 commenfurables du fecond degré ? 12x+5=0, a des facteurs J'écris les fuppofitions dans une premiere colonne, les résultats dans la fuivante; la troifieme eft pour les divifeurs; la quatrieme pour les quarrés à fouftraire; les deux autres font pour les reftes & les progreffions, *= 215|1.3. 5. 154-19,- 9,−7,−5,73,−1, +1, +11|-3 *= 1 91.3. 9. 1-10,- 4,-2,0,+2,+8 Prog. -4 O 1-5 x=-1151.3. 5. 15¦1-16,- 6,-4,-2,0,+2,+4,+14-6 -2 41 2 x=-2|33|1. 11. 334-373-15, -7-5-3-13+7+29-71-31 71-1 Celle des reftes fe forme, comme nous l'avons dit, en retranchant de tous les divifeurs correfpondants pris en+ & en, le quarré de la valeur correfpondante de x. La premiere ligne, par exemple, fe for me en difant, 15-4=- 19.... -4= 9... 3 4=7. ...-I- -4: 5. Voilà tous les reftes des divifeurs de 15 pris en --. Pour les trouver quand on prend ces divifeurs en +, il n'y a qu'à dire, + 1 +3-4=-...+s *4=++354 +11. Les lignes fuivantes fe forment -- .... de même. Il n'y a que la quantité à retrancher, qui varie dans cha cune. entre 5 Comparons maintenant les reftes de la troifieme ligne qui répond àxo, avec ceux des lignes fupérieures & inférieures, afin de trouver des progreffions. Je vois d'abord que eft moyen proportionel -4&-3 qui font au-deffus, & 6 & 7 qui font dans les deux dernieres lignes. J'écris cette premiere progreffion, & je compare fucceffivement-5 à tous les autres nombres fupérieurs & inférieurs, pour favoir s'il n'y a pas d'autre progreffion. Je n'en trouve point. Je paffe donc à I qui n'en donne qu'une auffi dont la différence eft 1. Enfuite à + I qui en donne une autre dont la différence eft 3. Enfin à + 5 qui en donne une quatrieme. Mais il est bien évident que ces quatre progreffions ne peuvent être admises toutes à la fois, puifque le dernier terme de l'équation n'eft que 5 ( 318 ). 32, Pour en exclure quelqu'une, je fuppofex, & j'ai pour résultat 23, dont les divifeurs font 1 & 23. Souftrayant enfuite de ces divifeurs pris en+ & en - le quarré de 3, je trouve ces quatre reftes, -8, +14, parmi lefquels manquent -2&+2 qui feroient néceffaires pour continuer les deux premieres progreffions. Il faut donc les rejeter. 10, b A l'égard des deux dernieres, on voit qu'elles peuvent être continuées par-8 & par 14. Ainfi je prends dans l'avant-derniere le terme +1 qui répond àxo, pour repréfenter c; & le terme - ? qui répond à x=1, pour représenter b+c. J'en conclus que =-3, & que parconféquent le premier facteur à effayer eft x23x+1. Je l'effaie, & la divifion qui réuffit me donne pour quotient x2+3x+5. Les deux facteurs de l'équation propofée font donc x2 ·3x + 1, & x2 +3x+5, qu'il eft aisé de réfoudre fi l'on veut par les méthodes du fecond degré. Soit pris pour fecond exemple, x 20. Ayant fait à l'ordinaire x = 2, x = 1, x=0, x=—1, x=2, je cherche tous les divifeurs des résultats 30, 15, 2, 3, & 78; le refte s'entend affez par le détail suivant. 2x4x3 1.2.3. 5. 6.10.15.30 x = I X=0 e Reftes. X=-1 3 x=-278 1.2.3.6.13.26.39.78 4 -34,-19,-14,-10,-9,-7,-6,-5,-3,-2,-1,+1,+2,+62+11,+26|— -16, 6, 4,- 2,-0, +2, +4, +14 · 2,- I, I, 4, 2, 0, +2 Des trois progreffions que m'offre cet exemple, je vois qu'il faut res jeter les deux dernieres, en fuppofant x=3: car le résultat 37 n'ayant pour diviseur que 1 & 37, il eft clair qu'en ôtant 9 de ces deux divifears pris pofitivement & négativement, les reftes 46, 10,8, +28 ne permettront de continuer que la premiere progreffion par - 8. J'ai donc 2 pour repréfenter c, &-4 pour repréfenter b+c: d'où je tire b: =2. Ainfi, s'il y a un facteur commenfurable à deux dimenfions dans l'équation propofée, ce doit être x2 - 2x — 2; je tente donc la divifion, & je trouve pour quotient exact̃ x3 + 3× +I. Ces principes fuffifent pour trouver les divifeurs commenfurables du premier & du fecond degré, dans les équations qui ne paffent pas le cinquieme. Celles qui font plus élevées ne font quelquefois divi fibles que par des facteurs du troifieme, quatrieme, &c. Mais nous ne nous arrêterons pas à expliquer la maniere de les trouver, tant à cause de la longueur des calculs, qu'à caufe du peu d'utilité qui en réfulte. Nous ne nous arrêterons pas non plus à expliquer comment on décompofe une équation purement algébrique en fes facteurs de deux ou de plufieurs lettres, du premier ou du fecond degré. Quoique fort ingénieuses, toutes ces méthodes se reffentent pourtant un peu du tâto nement. Maniere de transformer les Equations, & d'en faire évanouir le fecond terme. 321. IL eft fouvent utile de faire fubir aux équations certains chan◄ gements, de fuppofer, par exemple, l'inconnue égale à une autre ins connue une quantité indéterminée. Cette fuppofition facilite en certains cas la refolution des équations. Lorfque, par exemple, elles font affectées de coefficients fractio b naires, comme celle-ci.... x3 + x2 a C d =0 g & que l'on veut ôter toutes ces fractions, il n'y a qu'à supposer x = y m (y étant une nouvelle inconnue, & m une quantité que l'on détermine toujours facilement): en substituant cette valeur à x, l'équation propofée deviendra... + fm3 m2y + ➡o. Or cette derniere équation n'aura plus d par de coefficients fractionaires, fi m eft divifible tout à la fois a par d, & par g; & il le fera, fi on prend pour m leur produit adg, ou même un plus petit nombre que ce produit, quand les nombres a, d, g, ne font pas premiers entre eux. Subftituant donc ad gau bmy2 a lieu de m dans y3 + + &c, on aura l'équation y3 + bdgy +a2cdg'y+a3 d'fgo, où il n'y a plus de fractions. Les racines de cette équation une fois trouvées, celles de x3 + a x2+&c. fe préfenteront d'elles-mêmes, en divifant les premieres par m que nous venons de déterminer. Toute la difficulté confifte donc à trouver ces premieres racines. Pour en faciliter la recherche, on a imaginé de faire évanouir le fecond terme des équations à réfoudre ; & voici comment on fait cette transformation. 322. Soit l'équation générale, x+axm-1 + bxm2 + &c. += o. Je fuppose x = y +ƒ (y étant une autre inconnue, &ƒ une indéterminée à laquelle on donnera telle valeur qu'il conviendra, pour faire évanouir le second terme ). J'ai donc la transformée, Maintenant, pour que le fecond terme de cette équation s'éva nouiffe, il faut que mym-1ƒ±aym-1o. Il faut donc qu'après avoir divisé par mym-1, & transposé, on ait ƒ===。 Ce qui a m nous fait voir d'une maniere générale, que pour faire évanouir le fecond terme d'une équation, il n'y a qu'à fuppofer l'inconnue égale à une autre inconnue moins ou plus le coefficient du fecond terme de cette équation, divifé par le nombre qui en exprime le degré. On met moins, lorfque le fecond terme eft pofitif; & plus, quand il est négatif. y Toute équation du second degré semblable à celle-ci x2 + ax=b, fe réfout promptement par cette transformation, en faisant x = a & en fubftituant. Nous ne nous y arrêterons pas. Soit donc x3 2 6x2+4x-7=0, que l'on voudroit changer en une équation équivalente, dans laquelle il n'y eût plus de fecond terme. Pour cela, je fuppofe xy+y+ 2; & fubftituant, il vient y3 * 8y150, qui n'a pas de fecond terme, c'eft-à-dire, de y' dans cet exemple. Pour transformer x4 + 2x3 40, je fais ≈≈y ➡ = -, & j'ai y *— y2+y—7—o, dont le fecond terme est évanoui. On transformeroit 25+ azt bz2 + cz + d = o, en fuppo ; & ainsi des autres. La même méthode ferviroit à faire évanouir le troifieme terme d'une équation; car en remontant à la transformée générale y +mym-1 ƒ+ &c, il n'y auroit qu'à fuppofer m.m-I + (m −1 ) aym22 ƒ± bym-2 = o. On trouveroit ƒ===± F 26 m2 m. m -). m Mais comme la fubftitution de cette valeur de fintroduiroit des radicaux dans la transformée, on aime mieux ne faire évanouir que le fecond terme. Le calcul deviendroit encore plus compliqué, fi on vouloit faire évanouir le quatrieme ou le cinquieme, &c. Du Calcul des Quantités radicales. 323. A commencer aux équations du fecond degré, les quantités radicales font inévitables dans la réfolution de prefque toutes les équations. Il eft donc à propos d'apprendre à calculer ces quantités, avant que d'aller plus avant dans cette théorie. Quoique l'on appelle en général quantités radicales, toutes les quantités affectées du figne radical, il y en a pourtant beaucoup qui ne font radicales qu'en apparence; ce font des quantités commenfurables, qui peuvent par-là même fubir les extractions de racine indiquées par l'expofant du radical. Or toutes les fois que cette opération eft poffible, il ne faut pas manquer de la faire. C'eft ainfi que les quantités fuivantes √225... Va2 b* ... v x1y9 ✓ x3y... ✓ (1 +49 + 692 +493 + qa ) 3 fe réduisent à celles-ci, ( 157 ). 4 ±15•••±ab2...x2y3...1 +9, ou— 1 —Q. Lerefte des quantités radicales fe partage en deux claffes, dont l'une comprend toutes les quantités incommenfurables; l'autre renferme toutes les quantités imaginaires. Les incommenfurables que l'on appelle auffi quantités irrationelles, ne peuvent jamais être débarraffées du radical qui les affecte, parce qu'il n'eft pas poffible d'avoir leur valeur d'une maniere exacte. Tout ce que l'on peut faire de mieux, c'eft d'approcher de cette valeur, par les méthodes les plus promptes, ou du moins de fimplifier ces quan→ tités, lorfqu'il y a lieu. Par exemple, les quantités fuivantes peuvent être fimplifiées, en |