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+Vq, l'expreffion

✓ (p2 -9) doit être auffi commensurable.

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Mais il faut pour cela, que (pq) z foit un cube parfait ; il faut done ༢ quet, toutes les fois que p fera un cube parfait; ou s'il ne l'eft pas, il faut que l'on prenne pour un nombre propre à le rendre tel,

↓ (p2 − q) {

=a; nous aurons x2-y=a:

3

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2

3

Soit pour abréger, & puifque d'un côté l'équation (x + √ y) √ z=V (p+ √q) étané élevée à fon cube, donne x2+3xyz + 3x2z √ y + yz √y=p+ Vq, & que d'un autre côté, l'équation x2 ya donne y = -a, on trouvera i°, que x +3xyz=p, d'oùì x3 + zxy =2; 1o, qu'en fubftituant ici la valeur de y, on a 4x3-3 a *

P

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Il ne s'agit plus maintenant que de trouver les divifeurs commenfurables de cette derniere équation. Elle doit en avoir fi p+q a une racine cubique exacte. On connoîtra donc x, ce qui déterminera aussitôt la valeur de y; & comme z est déja connue, la racine que l'on cherche fe trouvera toute connue.

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APPLICATIONS. I°. Quelle est la racine cube de 10+ 6 √ 3. ? On a p10, q 108. Donc p2 -q=-8, cube parfait; donc z=1, a = − 2, & l'équation 4x3-3 ax-o, devient 4x3 +6x-10=0. Or *-1 eft un diviseur commenfurable de cette derniere équation ; on a

3

donc = 1, d'où y = x2 - a = 3, & √ (10 + 6 ▼ 3) = 1 + √ 3.

II°. Quelle eft la racine cube de 8 +4 √ 5?... Ici p=8, q = 80, donc p-q-16 qui n'eft pas un cube. Pour qu'il le devienne, on 3 √ (p2 - q) z

=-i=a=x2-y. Alors

fuppofera z=4, ce qui donnera l'équation 4x3 - 3 ax - L=0, fe change en celle-ci, 4x3+3*−z

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zo, dont le divifeur 2x-1; donne x, & par conféquent y=4.

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336. Nous remarquerons ici qu'une quantité quelconque a toujours trois racines cubiques. Cela fuit de ce que la valeur de x fe tire d'une équation du troifieme degré, 4x3-3ax- Po, & de ce que la valeur de y dépend de celle de x. Sur quoi il faut obferver faut obferver que fi la quantité propofée eft réelle, elle a une feule racine cube réelle, & que fi elle eft imaginaire, fes trois racines cubes le font auffi.

Dans la premiere application, par exemple, que nous venons de faire, nous avons trouvé que +V 3 étoit la racine cube exacte & réelle de 10+5 V 3. S'il falloit maintenant trouver les deux racines imaginaires, je chercherois les trois racines de l'équation 4x3 + 6x 10=0, qui font (318) x=1, x=-÷V=T. Ces trois valeurs de donneroient y=3, &y== {√-1; d'où je conclurois que les trois racines cubes cherchées font 1+V3, − {± { V-1+ √ ( +2 V − 1) =

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337. Il ne feroit guere plus difficile d'extraire les trois racines cubes des quantités en partie commenfurables & en partie imaginaires. Soit, par exemple, la quantité 10+9 V-3, qui donne p-10, q - 243, & p2 — q = 343, cube parfait; donc z=1, & a=

3.

343 7.

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équation donne x = 2

y= 3,y

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V-3 font donc 2√3,

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a=

— 21x+10=o. Cette derniere x=- , & par conféquent

4. Les trois racines cubes de

x=

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,

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10+9

-4, p2

Soit encore 11-2 V-T qui donne p11, q: ·9 = 125,3=1 5, & 4x3-15x+11=0. De la derniere équation on tirera x=1, x = ± √ 3. Donc y=-4, y=-2√3 Donc (-11-2 V-1)=1+2 V-1, ou — ± √ ; + {√ (-Z + √ 3).

Pour extraire des racines plus élevées, dans le même genre, on fuivroit à peu-près le même procédé.

Réfolution des Equations du troifieme degré.

338. POUR réfoudre une équation du troifieme degré, on commencera par en faire évanouir le fecond terme, ce qui la réduira à une équation de cette forme, x3 +px+9=0. On supposera enfuite x y+, & on déterminera les valeurs de ces nouvelles inconnues, de la maniere fuivante.

Par la substitution de y + à la place de x dans l'équation x3 +px. +qo, elle deviendra y3 + 3y2z + 3yz2 + z3 + py+p? + o; & fi on fuppofe, comme on en eft bien le maître, que y3 + 23 +9 o, il ne reftera que 3 y2 + 3y1⁄22 +py +PZ => ou même que 3y+po (en divifant par y+), ce qui donne

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Subftituons cette valeur de y dans y3 +g3+q=0; nous au 2P30: équation du fixieme degré, mais qui fe réfout par les méthodes du fecond (332), & qui

rons q3

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=

Maintenant, de y3+q3+q=o, on peut tirer y3 — — 23 — q =− } q = √ ( ¦ q2 + i ;p3). Donc y=√[-q+V ({ q2 + ÷ p3) ]•

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3

Donc y + ou x = √ [

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3

3

3

2

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1

√ [ — { q ± √ ( / q2 + 27 p3 ) ] = √ [ — { 9 + √ ( q2 + 1⁄2 7 p3 ) ] +

3

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2.7

√ [ — { q — V ( q2+p3)]. Car la premiere expreffion se réduit la feconde, dans les deux cas du figne +.

pas

339. A la vue de cette valeur générale de x, on ne croiroit d'abord qu'il fût poffible d'en tirer trois racines pour l'équation x +p+q=0. Mais fi l'on divife cette équation par le facteur fuppofé, x-y-, on verra que le quotient eft une équation du fecond degré, laquelle à fon tour fe décomposera facilement en fes deux facteurs.

Soit en effet fubftitué dans l'équation x+px+q=0,- 3YC au lieu de p, (puisqu'on a trouvé y =); & — y3 — q3 au lieu de q, (puifqu'on a fuppofé y3 + z3+q=0). Soit auffi fubftitué dans la valeur générale de x, y au lieu de √ [- ÷ 9+ √ (4 q2 + 1⁄2 p3 ) ];

27

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& au lieu de V [-q-√ (÷q3 + p3) ]. L'équation deviendra x33 y z x — y3 — z3 o; & fon premier facteur fera x—y —z.

Divifons à préfent l'équation par ce facteur. Nous trouverons pour quotient exact, x+xy + xz + y2 —yz+zo, équation du fecond degré, qui donnera pour les deux autres valeurs de l'inconnue +√-3-1 ・)y-(· ) { ; & par conféquent x = ( ± √

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Or cette derniere formule donne deux valeurs imaginaires de x, toutes les fois que ( — q2 + 1⁄2 p3) eft une quantité réelle. Reste donc à favoir ce que deviennent ces valeurs, lorfque V (q2 + 17 p3) eft imaginaire, ou, ce qui revient au même, lorfquep eft négatif & plus grand que q2.

Je fuppofe, pour abréger, que fq, & que g V-1 représente V(92 + p3); on aura,

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(f+8 V-†) †, ou x = − 2 ƒ3 (1+

3

82 10g+

9f2

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+

1548

243f4 6561f6 c.), expreffion qui ne contient aucun terme imaginaire.

+

Et fi nous reprenons les deux autres valeurs de x=(-1)

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2

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2

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27f2 243₤4 6561 fo preffion qui n'a point de terme imaginaire.

), autre ex

2

Donc lorfque p eft négatif & plus grand que q2, les trois valeurs de x font réelles.

Il n'y a guere d'effort que l'on n'ait fait pour déterminer ces trois valeurs réelles, autrement que par des féries: mais on n'a pu en venir à bout. La difficulté attachée à ce cas, lui a fait donner le nom de cas trréductible.

dre

340. Si p eft pofitif, ou fi étant régatif, il eft tel que p3 foit moinqueq, alors une des trois valeurs de x eft réelle, & les deux autres font imaginaires. Ainfi toute équation du troifieme degré a au moins une racine réelle.

Appliquons maintenant ces principes à un ou deux exemples, & d'abord propofons-nous de trouver les trois racines de l'équation y3 3y2+12y

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Je fais y=x+1, & le fecond terme difparoît dans la transformée x2+9x+6=0, qui étant comparée à x3 +p x+9=0, donne 6. Et parce quep fe trouve ici pofitif, j'en conclus que trois racines que je cherche, une feule eft réelle. Pour la trouver, je fubftitue les valeurs de p & de q dans la formule générale x= √ (- 19+ √ &c). & j'ai x = √ 3 — ↓ 9 = √, (1-3). Donc +1 ou y = 1 + √ 3 (1 − 3). C'est la valeur réelle de y. Il eft aifé de trouver fes deux valeurs imaginaires.

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Propofons-nous enfuite l'équation x33x180, qui donne p=-3, &q=- 18. Or quoique p foit négatif ici, il eft tel cependant que p3 eft moindre que q2. La propofée a donc une racine réelle & deux imaginaires. La premiere eft x = √(9+4√5) -+ (9-4 √s) = {} + { √ √ + { ~√53. Les deux autres ne font pas difficiles à trouver.

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Dans ce dernier exemple, il eût été plus fimple de chercher les diwifeurs commenfurables de la propofée x3 3x-189. C'est mê

me, en général, ce que l'on doit faire lorfqu'on a une équation du troifieme degré à réfoudre, fur-tout lorfque cette équation eft dans le cas irréductible. Au défaut de ces divifeurs, on peut avoir recours à une mérhode d'approximation que nous expliquerons bientôt. On peut auffi fe fervir des féries trouvées ci-deffus: mais elles font ordinairement fi peu convergentes, que pour en tirer des valeurs fuffisamment exactes, il faut en calculer un grand nombre de termes, ce qui devient fort long.

341. REMARQUE. Quoique dans le cas irréductible, la valeur de x ait une forme imaginaire, il n'eft pas difficile cependant de trouver fa valeur réelle, lorfqu'elle eft un nombre entier. Car l'expreffion géné

2

7

rale de cette valeur étant la formule x = √ [-q+V ( ` q2 + 1⁄2 1⁄2 p' )} + √ ( − i q − à ✓ ( 4 q2 + = p2)], il eft néceffaire qu'elle fe réduife a un nombre entier, lorfqu'une des valeurs de x eft un nombre entier. Or elle ne peut s'y réduire qu'autant que-9+ ✓ ( — q2 + — p3 · ) eft un cube parfait, dont la racine eft compofée d'une partie réelle que j'appelle m, & d'une partie imaginaire n. C'est donc à dire que ↓ [ − i q + √ ( — q2 + — p3 ) ] = m +n, & que par conféquent

3

3

✓ [ - { q - √ ( q2 + — p3) } = m—n. Donc x=2 m.

4

Donc lorfque dans le cas irréductible une des valeurs de x eft un nombre entier, on trouvera exactement cette valeur en doublant la partie réelle de la racine cube de-{ q + V ( — q2 + p3). Et parce que — — q + ✔ ( ÷ q+p3) a trois racines cubes (337), il est clair que pour avoir les trois valeurs de x dans ce cas, il fuffit de prendre le double des trois parties réelles de ces racines. Soit pris pour exemble, x3 ·39x· 70=0, qui étant comparée 9, donne P =- 39, 9- 70- Donc 9 + √ / / 9 2 + 27 p2 = 35+18 V-3. Mais 35 +18 V-3 a pour fes trois racines cubes-1+2 V-3... + √ √ - 3 . . . — { + √3; } { 2 dont les parties réelles font

à x3 + px +

I 2

x font donc

2,

Soit encore x3

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2

+7,

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I

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7

7

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17x-4=0; d'où p—17, 9 = 4, & - 9 + V ( — q2 + —7p3) = 2 +v-.Les trois racines cubes de cette derniere quantité font-2+V-... 1 + √ 3 + √ ( - +1 + I { V;)... 1 - 2 vs + √(-4! - Vs). Donc les trois racines cherchées font -4,25,2 — V. D'où l'on voit qu'il eft inutile de chercher les parties imaginaires des trois racines cubes de — {q + √ (4 q* p), quand on en connoît les parties réelles.

Réfolution des Equations du quatrieme degré.

342. UNE équation du quatrieme degré étant propofée à réfoudre, an commencera par en faire évanouir le fecond terme, ce qui la

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