changera en une autre de cette forme, x++ px2 + qx+r= 0. Enfuite, on regardera la transformée comme le produit de deux équations du fecond degré chacune, telles que x2 +z+y=o, & x3 zx+fo. On fuppofe que , y, & f font des indéterminées. D'ailleurs le fecond terme de ces deux équations est le même aux fignes près, afin que leur produit puisse donner une équation qui n'ait pas de fecond terme. Ce produit donne en effet ..

Or de cette équation comparée terme à terme avec x2 + px2 +qx+ro, on tire p=S-q2 + y . . . q = (S—y) z fy; ce qui donne 1°, + y = p + {2

=

2, Donc s=

p+ {2 + 9

féquent fy our=

2

22

2o, f― y

; & par con

; d'où l'on tire zo + 2 p ¿a

+ (p2 — 4r) z2 —q2=o, équation du fixieme degré, mais qui n'ą d'autre difficulté que celle du troifieme, en faisant q2 =u. On appelle cette équation la Réduite, & fes racines étant une fois trouvées, on ne tarde pas à connoître celles de la proposée x4 + px2 + &ç. Effectivement, fi dans les équations x2+x+y=o.

&

-x+f=o, on fubftitue pour f&y leurs valeurs en z, & qu'enfuite

on refolve ces équations, on aura pour la premiere, x=

N ( ~ { {2 — { p +), & pour la feconde, xz ±

2

aura x=±±V ( - { {2 • { p), d'où l'on tire les quatre

ཐ?

valeurs cherchées de x, dans lesquelles il n'y a plus qu'à substituer la valeur de que donne la Réduite. Ces quatre valeurs font

D'où il fuit, en général, que les racines d'une équation du quatrieme degré font toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires, ou que deux étant réelles, les deux autres font imaginaires. Il ne peut jamais y avoir un nombre impair des unes ni des autres (331).

343. Soit, pour abréger, a={{ ... b = √ (-4x2 - P- — )... ૧

22

V

22

c=V (-4x2-÷p+2), & nous aurons x=a+b... x = a-b. x=-a+c, x = -α-c ou bien en tranfpofant, x-α- b =0,x a+b=0,x+a― c = 0, x + a + c = 0. Multipliant ces quatre facteurs les uns par les autres, nous trouverons...

2a2x2 + 2 ac2x + a4 = 0;

62

équation qu'il eft aifé de comparer avec x1 + px2+qx+r=0, & qui donne p- 2a2 — b2 - c2.

9=2ac2 · 2 ab2 . . . r = aa·

a2 b2 a2c2 + b2 c2. Subftituant ces valeurs de p,

duite + &c, elle deviendra

2° 4a2q + + 8a2b2x2 + 8a2b2c2 =

Չ r dans la Ré

262 262

40264

4a2c4

Or les trois facteurs de cette derniere équation font 2-4a2. z2—b2 — 2bc- - c2 · · · · z2 — b2 +2bcc. D'où il fuit,

...

1o, Que la Réduite confidérée comme une équation du troifieme degré n'a qu'une racine réelle, toutes les fois que l'une des deux quantités b&c eft imaginaire, ou ce qui revient au même, toutes les fois que l'équation x++px2+qx+ro a deux racines réelles & deux imaginaires. On peut done avoir dans ce cas la folution exacte de la Réduite, & par conféquent celle de la propofée.

344. 2°, Que fib & c font toutes deux réelles ou toutes deux imaginaires, c'est-à-dire, fi la proposée x2 + px2 + &c, a fes racines ou toutes quatre réelles, ou toutes quatre imaginaires, alors la Réduite confidérée encore comme du troifieme degré eft dans le cas irréductible; elle a fes trois racines réelles. Et fi ces trois racines font toutes pofitives, l'équation propofée a fes quatre racines réelles. Car alors, 2a, bc, b -cfont des quantités réelles. Soit donc la premiere M, la feconde N, & la troifieme P, on aura 26 = N+P, & 26=N—P. Donc za +26M+N+P.... 24 — 26

2a+26=N-PM... •••. — 24 — 20=PNM, & puifque za + 2b, 2a 2b, 2a+2c, -2a2c font les quatre valeurs de 2 x, il cft clair que les quatre valeurs de x font

toutes réelles dans ce cas.

M

Mais fi la Réduite n'a qu'une de ces racines pofitives, toutes celles de la propofée font imaginaires. Suppofons en effet qne 4a foit la feule racine pofitive de la Réduite, nous aurons 24 = quantité pofitive, b + c = NVT, & b— c = Pvi: d'où b = P √ + Nvi, & c = NVP V-1. Donc puifque b & c entrent { dans les quatre valeurs de X ces quatre valeurs doivent être ima¬ ginaires.

Si l'une des deux autres racines de la Réduite eût été supposée pofitive, 2a eût été imaginaire, & par conféquent les quatre valeurs de x qui renferment toutes la quantité a euffent encore été imaginaires. La réfolution des équations du quatrieme degré a donc alors le même inconvénient que la réfolution des équations du troifieme degré dans le cas irréductible.

Pour faire quelque application de ces principes, cherchons les racines de l'équation x-3x2-42x-400. On a p=-3, q=-42, r=-40, ce qui change la Réduite en z6-67a + 16972 - 1764=0. Or cette équation traitée à la maniere de celles du troifieme degré, en faifant zu 2 devient u3 + 157u- 1442 = 0, & comme celle-ci n'a qu'une racine réelle, j'en conclus que la propofée en a deux, & que les deux autres font imaginaires. Pour les trouver, je réfous d'abord l'équation u3+157u-1442=0, & j'ai u=7. Donc V (u + 2)2 ou 3=+3.

En fubftituant l'une de ces deux valeurs dans la formule géné

rale x = ± ÷ ¿±√ (-; x2 - } p ), je trouve les quatre valeurs

22

fuivantes, x4, x— — 1, x = + √ ST. Ce font les quatre racines cherchées. La méthode des diviseurs auroit donné le même réfultat.

S'il falloit trouver les racines de x4 + 3x2 + 2x· So, je ferois d'abord p=3,9=2, r=-5, & la Réduite +2p24+ &c fe chan geroit en 26 +62a + 2982 — 4 = o. Je ferois enfuite q2 —— 2, ce qui transformeroit la Réduite en u3+ 174 46: = 0, équation qui n'ayant qu'une racine réelle, m'apprendroit que la propofée en a deux, & que les deux autres font imaginaires. Je les chercherois donc en réfolvant cette équation u3 174-46, par la formule générale du troisieme degré. Cette formule donne u = √ (23 + ÷ V 4792) +

3

3

√ ( 23 - } √ }, 4799). Donc ±√ (4-2), ou z =±..

3

3

− 2 + √ (23 + √ }. 4799) + ↓ (23 — } V }. 4799) }. Et fubftituant cette valeur de z dans la formule générale &=±±

ip

√ ( − ÷ 1a — ‡p ± 2) je trouve pour les quatre racines de la propo

fée.....x=

3

3

[éc... * = + ÷ V { = 2 + √ / (23 + V÷.4799)+√(23-V¦.4799)}

=

Ꮴ

3

I

3

√ [-2+ √ (23+ ÷ V + ·4799) +√ (23 − ¦ ▼ ¦ · 4799). expreffion fort compliquée, dans laquelle pourtant les deux racines imaginaires fe connoiffent facilement. Il ne faut, pour les avoir, que

prendre le figne — dans la quantité V-2+( 23 + &c. ) √(23+ 345. Remarquez que fi les quatre racines d'une équation du quatrieme degré étoient réelles, on les trouveroit fans peine toutes les fois que la Réduite auroit un nombre entier pour l'une de fes racines. Il n'y auroit alors qu'à fe fervir de la méthode qui nous a fait trouver les trois racines réelles d'une équation du troifieme degré dans le cas irréductible, lorfque l'une de ces racines étoit un nombre entier. EXEMPLE. On demande les quatre racines réelles de l'équation x 25x2+60x360. En comparant terme à terme les coefficients de cette équation à ceux de l'équation générale x px2 &c, on a p == 259=60,r=— -36, ce qui change la Réduite en 2650x++76922—36000. Je fais q2=

u+50

& non z2=u+

3

3

11500. Je réfous cette

afin d'éviter les fractions. J'ai u3 transformée (338). Ses racines font u—25, u — — 2, 4 —— -23. Donc

± √ (+50) ou z =±5, ou bien ±4, ou encore ± 3, Et fi je

3

fubftitue l'une quelconque de ces valeurs de z dans la formule x =+ そ

} { ± √ ( − } { 2 — { p +), je trouverai également les quatre

On a fix différentes valeurs de , & la raifon en eft bien fimple, C'eft qu'une équation du quatrieme degré pouvant être regardée comme le produit des quatre facteurs, (x++ a) (x + b) (x + c) (x + d), elle eft divifible par fix facteurs du fecond degré. Voici ces facteurs, (x+a) (x +b), (x + a) (x+r. c), (x + a) (x + d), (x + b) (x+c), (x+b) (x + d), (x + c) (x+ d). Et comme ils ont cha cun un fecond terme dont le coefficient eft généralement représenté par, il eft clair que q doit avoir fix différentes valeurs. Voilà pour quoi l'équation en cft du fixieme degré, enz

Mais parce que la propofée manque de fecond terme; il faut bien que fi une des valeurs de eft exprimée par g une autre le foit par-g. Donc 2-g' doit être un des facteurs de la Réduite. Donc files quatre autres valeurs de font exprimées par h, -h, i, -i, la Réduite doit avoir, q2 h2, & q'i au nombre de fes facteurs. Non-feulement donc elle doit être du fixieme degré ; mais encore elle doit avoir toutes fes puiffances paires, comme elle les a en effet. Autre Ex. On voudroit avoir les quatre racines de l'équation xa— 20x2-12x + 13 = 0 qui donne p=- 20,9=- • 12, r = 13, & pour Réduite, 2 — 4024 + 348 z2-1440. Soit donc q2 = la transformée fera u3 - 1668u - 6608=0, dont les racines

u+40

3

font u=

tion z=+

{=

4, u = 2 + 6 √ 46. Subftituant ces valeurs de u dans l'équa, on aura +2√3,{=(14+2 √46)

3

& fubftituant celle des valeurs de que l'on voudra, la premiere par exemple, dans la formule x =+z+&c, on trouvera x= + √ (7 + √3), x = √ 3 - √ (7 + v 3), x = - √ ; + √ (7 - √ 3), * = − √3 √(7-√3).

Des Equations plus élevées que celles du quatrieme degré.

346. APRÈS avoir réfolu les équations du troifieme & du qua trieme degré, il nous refteroit à indiquer les moyens de réfoudre celles des degrés plus élevés. Mais les méthodes générales ne s'étendent pas fi loin; ce qui joint aux exceptions nombreuses du cas irréductible fait prefque défefpérer de la perfection de cette théorie. Voici cépendant deux méthodes qui peuvent être de quelque utilité.

La premiere sert à trouver les équations plus fimples dont une équation compofée eft le produit. Si une équation du fixieme degré, par exemple, eft le produit de deux équations du troifieme, cette méthode apprendra à trouver ces deux équations. On appelle Réductibles toutes les équations qui peuvent être ainfi décompofées en d'autres équations plus fimples. Celles qui échappent à cette décompofition, s'appellent Irréductibles. Quand on en trouve, il faut avoir recours a la feconde méthode qui apprend à trouver des racines approchées. Les Analyftes l'ont retournée de bien des façons, & il faut avouer que leurs travaux fur les approximations ont eu beaucoup de fuccès. 347. PREMIERE METHODE. Pour favoir fi une équation propofée + bxTM-2 + &c. .....+wo peut être divifée fans refte par une équation du degré n, on fuppofera que la proposée_est le produit de ces deux équations, x+Ax2-1+ Bx2-2+ &c. ..+T=0, 8. xmon + px_no! + qx? m_n-2 + &c. . . . +to dont tous les coeficients font indéterminés. On prendra enfuite le produit de ces deux équations qui en donneront une du degré m dont on com

2-12