le voit ici. 147475362 puis on cherchera combien de fois le diviseur 362 eft contenu dans le dividende i47475, ce que l'on fera par parties. On dira donc d'abord: les trois premiers chiffres 147 du dividende ne contiennent pas les trois chiffres du divifeur (abstraction faite de la valeur relative de 147, qui, dans l'exemple préfent, exprime des milles, pendant que 362 n'exprime que des unités). Il faut donc prendre les quatre premiers chiffres 1474 du dividende, & chercher combien de fois 362 y eft contenu. Il y eft 4 fois & plus, ce que je trouve en cherchant feulement combien de fois les deux premiers chiffres 14 du dividende contiennent 3, premier chiffre du divifeur. Je multiplie le divifeur 362 par le quotient trouvé 4, pour favoir fi ce produit 1448, eft plus petit que 1474. Je mets donc 4 au quotient. Je fouftrais enfuite 1448 de 1474. Il me reste 26; & la premiere partie de la divifion eft faire. J'abaiffe à côté du refte 26 le cinquieme chiffre 7 que je marque d'un point, & le fecond membre de la divifion confifte à divifer 267 par 362: la divifion n'eft pas poffible, parce que 267 ne contient pas même une fois 362; je pofe donc o au quotient, & la feconde partie de la divifion eft faite. Enfuite j'abaiffe à côté de 267 le dernier chiffre 5, & le troisieme membre de la divifion confifte à diviser 2675 par 362. Je dis donc, en 26 combien de fois 3? 8 fois; je multiplie 362 par 8, & je trouve le produit 2896, lequel étant plus grand que le dividende 2675, me fait connoître que 8 eft trop grand. Je le diminue donc d'une unité, & après avoir multiplié 362 par 7, je vois que le produit 2534 peut être fouftrait de 2675. Souf traction faite, il refte 141: & parce qu'il n'y a plus de chiffres à abaiffer, la divifion eft finie. Ainfi le quotient eft 407+. Voyez le détail du calcul dans l'Exemple ci-joint. 147475 S362 1448 407 2675 2534 141 Autre Exemple. On demande le quotient de 790758 divifé par 394 Je prends 790 pour premier membre de divifion, & après avoir mis un point fous le o, je demande combien de fois 7 contient 3. Il le contient deux fois avec un refte: mais avant de mettre 2 au quotient, je multiplie 394 par 2, afin de voir fi le produit pourra fe fouftraire de 790. Je trouve que le résultat de cette multipli cation ne donne que 788: ainfi je mets 2 au quotient. Puis je fouftrais 788 de 790; il refte 2, à côté duquel j'abaiffe le quatrieme chiffre 7, & j'ai 27 à divifer par 394. La division ne peut fe faire, & je mets o au quo tient. J'abaiffe un nouveau chiffre, ce qui me donne 275, nombre plus foible encore que le divifeur 394. Je pofe donc un fecond o au quotient. Abaiffant enfin le 8, je cherche combien de fois 2758 contient 394, ou plutôt combien de fois 27 contient 3. Au premier afpect, il femble que l'on doit mettre 9 au quotient: mais fi on effaye de multiplier 394 par 9, on trouvera 3546, qui ne peut être fouftrait de 2758. En multipliant de même 394 par 8, on trouvera 3152, nombre encore trop fort: mais en ne multipliant le divifeur que par 7, le produit 2758, pourra fe fouftraire du dernier membre de divifion, & il ne reftera rien. Le quotient demandé eft donc 2007, fans refte. 42. La preuve de l'exactitude de ces opérations fe fait en ajoutant le dernier refte de la divifion au produit du divifeur par le quotient. Leur fomme doit égaler le dividende. Car s'il eft vrai, par exemple, que 362 foit contenu 407 fois dans 147475, avec le refte 141, ne faut-il pas néceffairement que 362×407+141=147475? 43. On peut auffi s'affurer qu'une divifion est exacte en fupprimant les 9 contenus, 1°. dans le diviseur, 2°. dans le quotient, 3°. dans le produit de leurs reftes, 4°. dans le dividende. Car après ces fouftractions, les deux derniers reftes doivent être égaux comme dans la multiplication. Obfervez feulement que lorfque la division n'a pu se faire fans refte, il faut ajouter les chiffres de ce refte comme des unités fimples, au produit du refte du diviseur par celui du quotient, & ôter de cette fomme tous les 9 qu'elle con tient. Vérifions l'avant-dernier quotient par cette méthode. Le refte du divifeur 362 eft 2; celui du quotient 407 est 2 auffi. Leur produit eft 4. Le refte 141 donne 6, que j'ajoute à 4. La fomme eft 10. J'en ôte 9; refte I, qui doit refter auffi du dividende 147475, fi l'opération eft bonne; c'est effectivement ce qui reste. 2 I 2 I 44. REMARQUES. I. Au lieu de demander combien de fois tout le divifeur eft contenu dans tout le dividende, on demande feulement combien de fois le premier chiffre à gauche du divifeur eft contenu dans le premier, ou dans les deux premiers chiffres à gauche du dividende. C'est que le produit de ce premier chiffre du di viseur par le quotient, décide communément du nombre de fois que tout le divifeur eft contenu dans le dividende. II. Je dis communément; car il arrive assez fouvent que ce produit peut être fouftrait du premier ou des deux premiers chiffres du dividende, & que lorfqu'on vient à comparer le produit total du divifeur par le même quotient, avec la partie correfpondante du dividende, la soustraction n'eft plus poffible. III. Cela arrive fur-tout, lorfque le fecond chiffre du divifeur eft au-deffus de 5. Mais alors, on regarde ce que le produit de ce fecond chiffre par celui que l'on veut mettre au quotient, feroit refluer d'unités fur le produit du premier chiffre par ce même quotient, & on reconnoît auffi-tôt le chiffre qu'il convient d'employer. IV. Quand le dividende & le diviseur font terminés par des zéros, on peut effacer le même nombre de zéros dans l'un & dans l'autre, & faire le refte de la divifion fuivant les Regles précédentes. Ainfi ayant à divifer 417000 par 2500, je divife feulement 4170 par 25, & le quotient est 1662. Pour divifer 43495000 par 2850000, je divife feulement 43495 par 2850; & j'ai 15-24%. De même le quotient de 100000 divifé par 1700 eft 58. 2850 V. Quand le divifeur feul eft terminé par des zéros, on abrege la divifion, en féparant à la fin du dividende autant de chiffres qu'il y a de zéros à la fin du diviseur; on divife enfuite les autres par les chiffres reftants du divifeur; on joint le refte de la divifion, s'il s'en trouve, à la gauche des chiffres qu'on a féparés, & on en fait une fraction: Par exemple, ayant à divifer 238873 par 3600, je divife 2388 par 36, je trouve le quotient 66 & un refte 12: je dis donc que le quotient cherché eft 66 23. Le quotient de 324755 divifé par 300, eft 1082 155. Le quotient de 843554 divifé par 1000, cft 843 1000. VI. On a dû voir par ce qui précede, que la divifion eft l'opération inverfe de la multiplication, & que par conféquent ces deux regles peuvent fe fervir mutuellement de preuve. 1273 554 VII. Ainfi pour apprendre en peu de tems la pratique de la divifion, commencez par multiplier un nombre par un autre. Divifez enfuite leur produit par l'un des deux (par le plus grand ordinairement, pour avoir plutôt fait ) : vous trouverez toujours l'autre pour quotient, fans refte. Vous faurez donc à chaque fois quel chiffre il faut mettre au quotient, & par-là vous acquerrez promptement la facilité de divifer tous les autres nombres. VIII. Lorsqu'on a pris au hazard un dividende & un divifeur, il y a tout le divifeur moins 1 contre 1 à parier, que la division ne se fera pas fans refte. par IX. Le quotient doit avoir autant de chiffres qu'il y a de membres de divifion: or le nombre de ces membres eft toujours déterminé celui des points que l'on met fous chacun de leurs derniers chiffres. On peut donc, dès le premier membre de la divifion, favoir le nombre de chiffres que le quotient doit avoir. |