PREMIERE PARTIE.

DES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.

FIG. 359. D'UN point A quelconque on peut aller à un autre 1. point B, par une infinité de chemins différents : mais on voit bien qu'il doit y en avoir un plus court que tous les autres; & celui-là, quel qu'il foit, s'appelle la Ligne droite.

360. Donc 1°, La vraie mefure de la diftance d'un point à un autre point, eft toujours la ligne droite qui les joint. Telle eft la ligne A B.

Donc 2°, on ne peut mener qu'une feule ligne droite d'un point à un autre; & par conféquent deux points fuffifent pour déterminer la pofition d'une ligne droite quelconque. Toutes les autres que l'on voudroit mener par les mêmes points, fe confondroient avec la premiere.

Donc 3°, deux lignes droites ne peuvent fe couper qu'en un feul point: elles ne peuvent jamais avoir deux points

'communs.

361. Lorfqu'une ligne droite en rencontre une autre, il en résulte une Ligne brifée. Telles font les lignes ADB & AFB, qui aboutiffent aux mêmes points A & B, que la droite AB. Or cette droite eft plus courte que toute autre ligne qui fe termine aux mêmes points: Donc une ligne droite quelconque menée entre deux points donnés, eft plus courte que toutes les lignes brifées, menées entre les mêmes points.

Donc aufli celles-là font les plus longues parmi les lignes brifées, qui s'éloignent le plus de la ligne droite; & on fent bien qu'il peut y en avoir une infinité,

On peut en décrire de même une infinité d'autres qui changeant, pour ainfi dire, de direction à chaque point, comme les lignes ACB, AMB, aboutiffent pourtant

aux mêmes points A & B. On les appelle des Lignes FIG. courbes, & elles font diverfifiées à l'infini. Mais il en eft I. une plus connue & plus facile à décrire que les autres: c'eft la Courbe circulaire.

362. Soit la droite AC mobile autour du point A. Il eft clair que fi elle fait une révolution entiere, son extrémité C décrira une courbe fermée CEBDC. L'efpace terminé par cette courbe fe nomme Cercle. La courbe qui le termine s'appelle la Circonférence. (Il ne faut pas confondre ces deux chofes).

Le point A eft le centre du cercle. Toute ligne droite menée du centre à un des points de la circonférence fe nomme Rayon ; & tout rayon prolongé en ligne droite au-delà du centre jufqu'à la circonférence, fe nomme Diamètre. Ainfi AB eft un rayon; BD eft un diamètre.

363. Il fuit de la defcription du cercle, 1°, que tous fes rayons font égaux; 2°, que tous fes diamètres le font auffi; 3°, que chaque diamètre divife le cercle & la circonférence en deux parties égales.

Une portion quelconque CEB de circonférence fe nomme Arc de cercle. L'efpace ACEBA renfermé entre l'arc CEB & les deux rayons CA, AB, fe nomme Secteur. L'efpace CEBC compris entre le même arc CEB & la droite CB fe nomme Segment; enfin la droite CB fe nomme la Corde de l'arc CEB.

364. Concluons, 1o, que dans un même cercle le diamètre eft toujours plus grand qu'une corde quelconque. Car fi on mene AC, par exemple, on aura la ligne brifée CAB plus grande que CB: or CAB=DB; ᎠᏴ donc D B CB.

Concluons 2°, que dans un même cercle, les arcs égaux ont des cordes égales, & réciproquement.

3°. Que les plus grands arcs font foutendus par les plus grandes cordes, & que les plus petits arcs font foutendus par les plus petites cordes; ce qui eft réciproque.

Vous obferverez feulement que lorfqu'on parle de l'arc foutendu par une corde, on entend toujours le plus petit

FIG. arc qui eft terminé par cette corde. Ainfi la corde CB fou tend l'arc CEB & non l'arc CDB.

2.

3.

Si les Géomètres divifent la circonférence du cercle en 360 parties égales qu'ils nomment degrés, & s'ils foudivifent enfuite chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 fecondes, &c, c'eft que ces divifions leur ont paru plus commodes à caufe du grand nombre de divifeurs exacts de 360 & de 60.

365. Il fuit de-là que les degrés & les minutes d'un cercle ne font pas des quantités abfolues comme un pied, une toife, &c. Leur grandeur varie dans le même rapport que celle des circonférences auxquelles ils appartiennent, puifqu'ils en font des parties femblables.

Des Angles.

366. Si deux lignes droites A C, & CD fe rencontrent; elles forment l'Angle ACD, qui a fon Sommet au point de rencontre C, & dont les lignes AC, CD font les Côtés. Quand on défigne un angle par trois lettres, on place au fecond rang celle qui eft à fon fommet. Si on ne le défigne que par une feule lettre, c'eft toujours par celle qui eft au fommet).

Décrivons du centre C & d'un rayon quelconque CK l'arc KL, nous aurons une mesure bien naturelle de l'angle ACD; puifque fi l'on conçoit que cet angle augmente en devenant A Cd, ou diminue en devenant ACI, l'arc KL augmentera ou diminuera dans le même rapport. On peut donc dire que la mefure d'un angle qui a fon fommet au centre d'un cercle quelconque est l'arc compris entre fes côtés.

Au refte, quoique l'on puiffe décrire du centre C avec 'des rayons inégaux, une infinité d'arcs de cercle compris entre les mêmes côtés CA, DC, tous ces arcs n'en ont pas moins le même nombre de degrés, parce qu'ils font tous des parties femblables de leurs circonférences. C'est pourquoi, en difant que l'angle ACD a pour mesure

l'arc KL, on entend toujours le nombre de degrés de l'arc KL, & non la longueur abfolue de cet arc.

FIG.

367. Donc la grandeur d'un angle est tout-à-fait in- 3• dépendante de la longueur de fes côtés.

On diftingué trois fortes d'angles, l'angle aigu, l'angle droit, & l'angle obtus. Tout angle qui a pour mesure moins de 90°, eft un angle aigu. Tel eft entre autres l'angle BCd. Tout angle qui a pour mefure 90°, ou le quart de la circonférence, eft un angle droit. Tel eft l'angle ACI. Enfin tout angle qui eft mefuré par un arc de plus de 90°, est un angle obtus. Ainfi l'angle ACD eft un angle obtus.

368. On nomme Complément d'un angle ou d'un arc, ce qui manque à cet angle ou à cet arc pour qu'il foir de 90°. Ainfi le complément d'un arc de 57° 31' eft de 32° 29'.

On nomme Supplément d'un angle ou d'un arc ce qu'il faut ajouter à cet angle ou à cet arc pour avoir 180. Un angle aigu de 35° par exemple, a pour fupplément un angle obtus de 145°, & réciproquement.

369. Il fuit de-là que deux angles font égaux, quand ils ont un même fupplément.

Donc les angles ACD, BCF oppofés au fommet font gaux: car ils ont un même fupplément DCB.

370. Il fuit auffi qu'une droite DC qui tombe fur une autre AB, forme avec elle deux angles ACD & DCB, dont la fomme eft roujours de 180°. On peut donc dire que les deux angles formés par la rencontre de deux lignes, équivalent toujours à deux angles droits.

Et par conféquent la fomme des quatre angles ACD, DCB, BCF, & F C A équivaut à quatre angles droits; ou ce qui revient au même, les angles formés par l'interfection de deux lignes, ont pour mefure 360°.

En général, fi tant de droites ACB, DCI, ECH, que l'on voudra, viennent fe couper en nombre quelcon que au point C, la fomme des angles ACD+DCE+

FIG &c, qu'elles feront toutes enfemble d'un feul côté de A B fera de 180°, & la fomme des angles qu'elles feront tant en deffus qu'en deffous de AB, fera de 360°.

Des Lignes perpendiculaires.

371. ON appelle Lignes perpendiculaires celles qui par 5. leur rencontre forment des angles droits. Ainfi A B eft perpendiculaire à DF, fi l'angle AGD, par ex. eft de 90o.

Si on décrit du centre C & du rayon CD la circonférence DEFGD, l'arc DE fera de 90°, ainsi que l'arc EF. Donc leurs cordes ED, EF feront égales (364). Donc le point E fera à égale distance de D & de F, comme le point C. Ainfi la ligue A B aura deux de fes points également éloignés chacun de D & de F. Tous fes autres points feront donc autant éloignés du point D que du point F (360).

Réciproquement, fi les deux points A, E de la ligne droite A B font chacun également éloignés de D & de F, cette ligne A B fera perpendiculaire à DF. Car deux des points de la ligne A B étant chacun à égale distance de D & de F, tous les autres points de AB ont cette même propriété. Donc DC=CF; par conféquent la ligne A B divife en deux également la ligne DF. De plus ED=EF. Donc les arcs ED, EF font égaux; ils font donc chacun de 90°; donc A B eft perpendiculaire à DF.

Enfin fi AB eft perpendiculaire à DF, & fi d'ailleurs fon point A eft également éloigné des points D & F, tous les autres points de la ligne AB auront la même propriété que le point A; fans quoi cette ligne ne feroit plus perpendiculaire à la ligne D F. Un feul point fuffit donc pour déterminer la pofition d'une perpendiculaire, quand on a déja la ligne fur laquelle on veut la mener.

372. Il est évident que la ligne droite DF eft plus courte que la ligne brifée DEF, & que par conféquent DC, moitié de DF, eft plus courte que DE, moitié

de