de DEF, & à plus forte raifon que toute autre obli- FIG. que DA.

On doit donc regarder la perpendiculaire menée d'un point donné fur une ligne droite comme la vraie mesure de la diftance de ce point à la ligne dont il s'agit. 373. D'après ce que nous venons de dire, il eft facile de réfoudre les problêmes fuivants.

I. Divifer la ligne donnée DC en deux parties 6 égales.

Je décris des points D & C pris pour centres, & du même rayon D G deux arcs de cercle qui fe coupent aux points G&H, & par ces deux points d'interfection, je mene GFH, qui divifera la ligne DC en deux égale ment au point F. Ce problême eft d'un grand ufage. II. Mener d'un point donné G hors d'une droite AB une perpendiculaire GF fur cette ligne.

décris du centre G un arc DC qui coupe la ligne AB aux points D&C. Je divife enfuite DC en deux parties égales DF & FC, & par les points F & G je mene FG qui fera la perpendiculaire demandée. Car deux de fes points, favoir F & G font chacun à égale distance des deux points D & C de la ligne AB. Donc(371)FG eft perpendiculaire à AB. 374. Comme il n'y a qu'un feul point F qui foit le milieu de la ligne DC, & qu'on ne peut mener d'un point à un autre qu'une feule ligne droite, on en doit conclure que d'un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une feule perpendiculaire à cette droite.

III. Mener par un point donné F de la ligne AB une perpendiculaire à cette ligne.

Je prends d'abord DFFC, enfuite des centres D&C, & du même intervalle DG, je décris deux ares qui fe coupent en G, & ayant mené FG, je dis qu'elle fera la perpendi culaire cherchée. Car deux de fes points sont chacun à égale distance de D & de C.

Il est donc évident que d'un point pris fur une ligne, on ne peut élever qu'une feule perpendiculaire à cette ligne. Si le point donné F étoit à l'extrémité de la ligne AB,

R

FIG. on prolongeroit cette ligne, & on éleveroit la perpendicu laire, comme il vient d'être dit. Mais fi on ne pouvoit pas prolonger la ligne donnée, on fe ferviroit d'une méthode que nous indiquerons bientôt.

7.

Des Lignes perpendiculaires confidérées dans le Cercle.

375. Soir le rayon CM perpendiculaire à la corde FG; il eft clair que le point C est également éloigné de F & de G, & par conféquent que tout autre point du rayon CM eft également éloigné de F & de G; on a donc FD=DG, & FM MG. L'arc FIM eft donc égal à l'arc MLG, ou l'angle FCM=l'angle MCG; c'est-à-dire que tout rayon ou diamètre perpendiculaire à une corde, coupe en deux parties égales cette corde & l'arc qu'elle foutend.

Réciproquement, fi la corde FG eft divifée en deux également par le rayon CM, ce rayon fera perpendiculaire à la corde FG, & divifera en deux également l'arc FMG ou l'angle FCG: en effet ce rayon a deux points C & D également éloignés de F & de G; donc il eft perpendiculaire à FG, & par conféquent MF=MG.

Si la corde FG eft divifée en deux également & perpendiculairement par la ligne DM, il n'eft pas difficile de démontrer que cette ligne paffe néceffairement par le centre C, puifque le point D de la perpendiculaire DM étant à égale diftance de F & de G, tous fes autres points doivent avoir la même propriété. Le centre C est dans ce cas; donc la perpendiculaire DM doit passer par le centre.

376. De-là il fuit que de ces trois chofes, être perpendiculaire à une corde, lå divifer en deux également, paffer par le centre, deux étant pofées, la troifieme fuit nécessairement. Pour faire quelque application de ces principes, propo6. fons-nous de divifer l'arc DMC en deux également.

On menera la corde DC, & on divifera cette corde en deux également & perpendiculairement par la ligne GM qui coupera l'arc DMC en deux parties égales au point M.

Donc s'il falloit divifer l'angle DGC en deux parties FIG, égales, on décriroit du fommet G comme centre, & d'un 6. intervalle quelconque GD l'arc DMC. On diviferoit enfuite cet arc en deux également au point M, & ayant mené MG, il est évident que cette ligne diviferoit en deux également l'angle DGC.

Si on divife de la même maniere l'angle DGM en deux parties égales, on aura le quart de l'angle DGC, enfuite le huitieme, le feizieme, &c. Il eft donc facile de divifer par la Géométrie élémentaire un angle quelconque en 2, 4, 8, 16, 32, &c, parties égales. Mais lorsqu'il s'agit de divifer un angle en 3,5,7,9, &c parties égales, c'eft un problême dont la difficulté ne peut être appréciée que par ceux qui font déja avancés dans l'étude de la Géométrie. 377. Soit propofé maintenant de faire paffer une circon- 8. férence par trois points A, B, D qui ne foient pas en ligne droite. Ayant mené AB & BD, on divisera ces deux lignes en deux également & perpendiculairement par FL & GI, dont le point de concours C fera le centre du cercle cherché. Car on aura, par la conftruction, ACCB, & CB CD: donc AC-CD: & par conféquent fi du rayon CA on décrit la circonférence ABDA, elle paffera par les trois points A, B, D.

378. De-là il fuit que trois points A, B, D qui ne font pas en ligne droite déterminent la pofition d'un cercle. Il eft donc impoffible que deux circonférences de cercle fe coupent en plus de deux points. Car fi elles fe coupoient en trois, elles ne feroient plus qu'une feule & même circon

férence.

Les trois points A, B, D ne peuvent jamais être fupe pofés en ligne droite, parce que fi l'on pouvoit faire paffer une circonférence par trois points en ligne droite, il feroit poffible de mener plufieurs perpendiculaires d'un même point fur une droite; ce qui eft impoffible (374).

Si l'on vouloit trouver le centre d'une circonférence, ou d'un arc de cercle donné, on prendroit à volonté dans cette

FIG. circonférence ou dans cet arc, trois points que l'on joindroit par deux cordes ; & l'on diviferoit ces cordes comme ci-deflus. Le, centre cherché fe trouvera toujours au point de concours des deux lignes de divifion.

7.

9.

Des Tangentes.

379. UNE droite MT qui n'a qu'un feul point M de commun avec la circonférence F MG fe nomme Tangente, & le point commun M fe nomme point de Contact.

Menons du centre C au point de contact M le rayon CM; ce rayon fera plus court que toute autre ligne COK menée du centre C à quelque point de la ligne MT. Donc il mefurera la diftance du centre C à la ligne MT. Donc (372) il fera perpendiculaire à cette ligne; donc tout rayon ou diamètre qui aboutit au point de contact, eft perpendiculaire à la tangente qui fe termine au même point.

Réciproquement, une droite quelconque MT perpendiculaire à l'extrémité M du rayon CM eft tangente en ce point M: car MT étant perpendiculaire au rayon CM, tous les autres points de la droite MT font plus éloignés du centre C que le point M. Donc ils font tous hors du cercle, à l'exception du point M, qui feul eft commun à cette ligne & à la circonférence:

380. Il est donc facile de mener une tangente à un point quelconque M pris fur une circonférence donnée: car ayant mené le rayon CM, on eft sûr que la perpendiculaire à l'extrémité du rayon eft tangente au cercle.

D'ailleurs il est évident qu'une droite MT ne peut toucher qu'en un feul point M la circonférence donnée. Car fi elle touchoit cette circonférence en plufieurs points, on pourroit mener autant de perpendiculaires différentes du centre C fur la ligne MT, ce qui eft impoffible.

381. Si deux, ou un plus grand nombre de cercles fe touchent en un point, foit en dehors foit en dedans,

la ligne qui paffe par leurs centres paffe auffi par leur point FIG.

de contact.

Car la même tangente TM eft perpendiculaire aux rayons CM, AM. Donc ces rayons ne font qu'une feule ligne droite qui aboutit aux deux centres, & qui paffe nécessairement par le point de contact. On a donc ĈA=CM+

AM.

Des Lignes paralleles.

9

382. Deux lignes AB, CD font paralleles lorfque leur 10% distance eft par-tout la même. Par exemple, fi toutes les perpendiculaires EG, FH, &c menées des points E, F &c de la ligne AB fur CD font égales, les lignes AB, CD font paralleles. Mais puifque deux points fuffifent pour déterminer la pofition d'une droite, il fuffit que deux de ces perpendiculaires foient égales, EG par exemple & FH, pour que la droite CD qui paffe par les deux points G & H foit parallele à AB.

De-là il fuit que deux lignes paralleles ne peuvent jamais fe rencontrer à quelque distance qu'on les fuppofe prolongées. 383. Si une ligne quelconque NQ coupe deux paralleles AB, CD, les angles AFG, FGD formés par Pinterfection de cette ligne & des paralleles, font alternes-internes. (On les appelle alternes, parce qu'ils font de différents côtés de la fécante: on les appelle internes, parce qu'ils font en dedans des paralleles). Or prenons les deux arcs indéfinis FLM, GKI décrits des centres G & F, & du même intervalle GF; & prolongeons les perpendiculaires EG, FH jufqu'à ce qu'elles rencontrent les arcs GKI, FLM; nous aurons EG FH; donc 2EG 2FH, ou (376) GIFM: mais les arcs FLM, GKI font décrits du même rayon; donc, puifque leurs cordes font égales, ils font égaux, ainfi que leurs moitiés GK, FL. Donc l'angle AFG qui a pour mesure GK eft égal à l'angle FGD, dont la mefure eft FL; donc toutes les fois qu'une droite quelconque coupe deux paralleles, les angles alternes-internes formés par cette interfection font égaux.