FIG.

384. D'où on peut conclure, 1°, que les angles cor10. refpondants NFB, NGD font égaux, ainfi que NFA, NGC.

2o, Que les angles alternes-externes CGQ, NFB font égaux.

Réciproquement, fi les angles alternes-internes AFG, FGD font égaux, les lignes Å B, CD font paralleles. On en trouvera aifément la démonftration.

Si les angles correfpondants, ou les angles alternesexternes étoient égaux, les angles alternes-internes le feroient. Donc les lignes feroient encore paralleles.

385. Cela pofé, il eft facile de mener d'un point donné G la parallele GD à la ligne A B.

On décrira du centre G & d'un intervalle quelconque GF un arc indéfini F L M, enfuite du point d'interfection F pris pour centre & du même intervalle F G, on décrira l'arc GK. On prendra FL-GK, & la ligne GL menée par les points G & L fera la parallele demandée, puifque les angles alternes-internes AFG & FGD feront égaux.

De l'égalité des angles correfpondants, il fuit 1°, que fi deux angles BAC, NLM ont leurs côtés A B, LN, & AC, LM paralleles, ces deux angles font égaux. Car fi l'on prolonge NL jufqu'à la rencontre D de la ligne AC, on aura NLM NDC BAC.

2°, Que pour mener une perpendiculaire AF à l'extrémité A de la ligne A B (374), on peut mener d'abord la perpendiculaire CD fur la ligne AB, & mener enfuite par le point A la ligne A F parallele à DC. Elle fera la perpen

diculaire demandée. Car FAB=DCB.

386. 3, Que deux paralleles FG, IL qui traverfent un cercle coupent fur fa circonférence deux arcs égaux FI, LG. Car on mene le rayon CM perpendiculaire fur FG, il fera auffi perpendiculaire fur IL, à caufe des angles correfpondants CDF, CHI. Or (375) FIM=MLG, & IM ML, donc FIM-IM MLG ML, ou FIGL.

Il en feroit de même fi une de ces paralleles étoit tam

gente, ou fi elles l'étoient toutes deux. Jufqu'ici nous FIC. n'avons confidéré que deux paralleles; s'il y en avoit un plus grand nombre, elles auroient les mêmes propriétés.

De la mefure des Angles.

387. Si tous les angles avoient leur fommet au centre d'un cercle, leur mefure feroit toujours l'arc entier compris entre leurs côtés: mais on en rencontre fouvent dont le fommet eft à la circonférence, & dont on a besoin de connoître la grandeur. Quelquefois auffi on en trouve qui ont leur fommet au dehors du cercle, ou au-dedans, mais non au centre;il s'agit de déterminer leur mefure dans tous les

cas.

388. Propofons-nous d'abord de mefurer l'angle BAD 13: formé par la tangente AB & par la corde AD. (On le nomme angle du fegment).

Par le centre C je mene le diamètre HCG parallele à AD, & le rayon CF perpendiculaire fur AD, enfin le rayon CA au point A de contact. Cela pofé, BAC fera. un angle droit ainfi que F CG. On aura donc FCG= BAC, dont la mefure eft l'arc F A G: or l'angle ACG= l'angle DAC (383) dont la mesure eft l'arc A G; donc BAC-DAC, ou BAD a pour mefure FAGAG=FA AFD; donc l'angle du fegment BAD a pour mesure la moitié de l'arc foutendu par la corde AD. 389. Il fuit de-là que l'angle inferit DAK compris entre deux cordes DA, AK, a pour mefure la moitié de l'arc DK compris entre fes côtés. Car BAK a pour mesure AK, & BAD a pour mefure AD. Donc BAK-BAD, ou DAK a pour mefure A K—÷AD=÷DK. Donc 1o, l'angle central DCK eft double de l'angle inscrit DAK appuyé fur le même arc DK.

2°, Tout angle infcrit appuyé fur le diamètre eft un angle 14. droit, & tous les angles infcrits appuyés fur le même arc dans le même cercle, font égaux.

Il eft aifé, d'après cela, de mener d'un point donné A

&

15.

FIG. hors d'un cercle une tangente à la circonférence de ce cer

cle. En effet fi on mene du point A au centre C la droite 16. CA, & fi après avoir divifé cette droite en deux parties égales au point B, on décrit du rayon BC & du point B comme centre une circonférence, elle coupera le cercle donné aux points M & M', de forte que fi par ces points & par le point A on mene les lignes MA, AM', elles feront tangentes aux points M & M'.

17.

18.

18.

Car fi on mene CM, l'angle CAM fera droit. Donc la ligne MA eft perpendiculaire à CM & par conféquent tangente en M(380). On voit donc que ce problême a deux folutions, puifqu'il eft toujours poffible de mener du même point A hors d'une circonférence deux tangentes AM, AM' à cette circonférence.

390. Propofons-nous maintenant de mefurer l'angle excentrique BAD dont le fommet A eft au-dedans du cercle,

Je fuppofe d'abord que l'angle BAD eft aigu, & ayant prolongé BA & AD jufqu'en G & en F, je mene GE parallele à AD. Cela pofé; on aura BAD BGE BD+ DE BD + FG. Si l'angle excentrique eft obtus comme BAF, on aura BAF

-

BAD=

180° BFGDC BD — FG = BF+GD. Donc l'angle excentrique a pour mesure la moitié de l'arc compris entre fes côtés, plus la moitié de l'arc compris entre ces mêmes côtés prolongés.

391. Soit l'angle circonfcrit BAD dont le fommet A eft hors du cercle, & dont les côtés AB, AD aboutiffent à deux points de la circonférence, on aura pour fa mesure la moitié de la différence des arcs convexe & concave interceptés par fes côtés; c'est-à-dire que F'angle B A D aura pour mefure l'arc (BD — GI).

Car fi on mene GE parallele à AD, on aura BAD = BGE = 1 BE — BD — ED — BD — GI. Car ED=GI (386).

=

Si la fécante AB devient la tangente AF, on aura FAB = 1⁄2 FB ➡ FG; donc fi AM eft l'autre tangente menée du point A, on aura de même FAM (FBM — FGM).

DES FIGURES.

392. On appelle Figure tout efpace terminé de tout côté par des lignes.

Si ces lignes font droites, la figure qu'elles forment eft rediligne, elles font courbes, la figure fe nomme curvi

ligne. Elles font dans les deux cas les côtés de la figure, & FIG. leur fomme en eft le contour ou le perimetre. L'ensemble forme ce que l'on appelle un polygone.

Nous ne parlerons parlerons ici que des figures rectilignes. Or il eft aifé de voir qu'il faut au moins trois lignes droites pour renfermer un espace. Ainfi le premier & le plus fimple de tous les polygones eft le triangle, ou une figure de trois angles & de trois côtés.

Après le triangle vient le quadrilatere, ou une figure de quatre côtés; enfuite le pentagone, de cinq, l'hexagone de 6, l'heptagone de 7, l'octogone de 8... le décagone de 10.. le dodecagone de 12... le pentédécagone de 15, &c. Nous infifterons principalement fur le triangle, parce que les au tres polygones s'y rapportent facilement.

Du Triangle.

393. UN triangle dont les trois côtés font égaux, fe nomme équilatéral. S'il n'a que deux côtés égaux, il fe nomme ifofcele. Enfin fi tous fes côtés font inégaux, il fe nomme fcalene.

Un triangle qui a un angle droit fe nomme rectangle, & le côté oppofé à l'angle droit fe nomme hypoténuse. Le côté oppofé à un angle quelconque d'un triangle fe nomme la Bafe de cet angle.

Deux côtés quelconques d'un triangle font une ligne brifée. Leur fomme eft donc plus grande que le troifieme côté.

Si on fait paffer une circonférence par les fommets 19; A, B, C des trois angles d'un triangle ABC, ce triangle fe trouvera infcrit dans la circonférence ABC. Or (377) on peut faire paffer une circonférence par trois points de cette efpece; il eft donc toujours poffible d'infcrire un triangle donné dans un cercle.

394. Cela pofé, l'angle A B C A C (389), l'angle ACB a pour mefure AB, & l'angle BAC a pour mefure BC; donc ABC+ACB+ BACABC=

FIG. 180°. Donc la fomme des trois angles d'un triangle quel→ 19. conque est égale à 180°.

20.

395. Delà on peut conclure 1°, que fi on prolonge un côté quelconque AC, l'angle extérieur BAF eft égal à la fomme des deux angles intérieurs oppofés ABC, ACB. Car la fomme de ces deux angles l'angle BAC=180°; de même l'angle FAB+ BAC=180°; donc &c.

396. 2°. Que l'un quelconque des angles d'un triangle eft le fupplément de la fomme des deux autres, & que par conféquent fi on connoît deux angles d'un triangle, ou feulement leur fomme, on aura le troifieme, en ôtant cette fomme de 180°.

3°, Qu'un triangle quelconque ne peut avoir qu'un feul angle droit ou qu'un feul angle obtus; auxquels cas les deux autres font néceffairement aigus.

4°, Que dans un triangle rectangle, l'un des angles aigus eft complément de l'autre ; d'où il eft facile de conclure la valeur de l'un, quand on connoît celle de l'autre.

5°, Que dans un triangle quelconque les côtés oppofés aux angles égaux font égaux, & réciproquement. Car les cordes égales AC, BC foutendent des arcs égaux, & réciproquement.

6°, Que dans un triangle quelconque le plus grand angle eft oppofé au plus grand côté, le plus petit angle au plus petit côté, & réciproquement. Il ne faut pas croire cependant que les cordes croiffent dans le même rapport que les angles, enforte qu'un angle double par exemple foit oppofé à une corde double. Nous verrons dans la Trigonométrie le rapport de leurs accroiffements.

7°, Que dans un triangle ifofcele un feul des angles étant connu, les deux autres le font immédiatement. Car fi on connoît l'angle A ou fon égal C, on aura l'angle B= 180°-2 A. Si on donne au contraire l'angle B, on aura A=C=90°-B.

8°. Que les angles oppofés aux côtés égaux dans les triangles ifofceles font toujours aigus.

9°, Que chaque angle d'un triangle équilatéral — 60°.