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DES FRACTION S.

De la nature des Fracions en général, de leur valeur & de leur comparaison.

45.UNE Quantité quelconque eft divisible en deux moi

tiés, en trois tiers, en quatre quarts, en cinq cinquiemes &c; donc fi on ne prend qu'une moitié, ou qu'un ou deux tiers, ou qu'un, ou deux ou trois quarts, &c, on n'aura qu'une portion plus ou moins grande de la quantité dont il s'agit. C'eft cette portion que l'on désigne en général par le mot fraction.

46. L'idée de fraction comprend donc l'efpece & le nombre de parties que l'on veut prendre pour avoir une portion plus ou moins grande de telle ou telle quantité. Ainfi fignifie que l'unité étant divifée en 3 parties égales, on en a pris une: la fraction exprime que l'unité étant divifée en parties égales, on en a pris 4, &c.

Le nombre ou terme fupérieur s'appelle le numérateur dè la fraction, & l'inférieur s'appelle le dénominateur; ainfi dans la fraction, le numérateur eft 4, & le dénominateur eft 5.

47. Une fraction proprement dite eft donc une quantité moindre que l'unité, parce que fon numérateur eft plus petit que fon dénominateur. Cependant, il n'est pas rare de trouver des expreffions en forme de fractions, dont le numérateur est égal, ou même plus grand que le dénominateur. Or quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à l'unité; par ex. 4 fignifiant que l'unité eft divifée en 4 parties égales, & que l'on prend à la fois ces 4 parties, il eft clair qu'on a l'unité entiere. Ainfi 1... 2 = 1; &c. Et quand le numérateur fürpaffe le dénominateur, la valeur de la frac

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99

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tion furpaffe l'unité : ainfi = 3 ../27... 1035+, &c.

48. Il n'eft pas toujours aifé de diftinguer au premier coup d'œil quelle eft la plus grande de deux fractions, à moins qu'elles n'ayent un même numérateur, ou un même dénominateur. On ne voit pas tout de fuite, par exemple, quelle eft la plus grande de ces deux fractions...,. Mais, 1. fi elles ont un même numérateur, celle qui a un dénominateur plus petit eft la plus grande: ainfi il eft clair la fraction eft plus grande que la fraction; la fraction eft plus grande que, &c.

que

2°. Si deux fractions ont le même dénominateur, alors la plus grande eft celle qui a le plus grand numérateur. Il est évident, par exemple, que font plus que, & que & valent plus que

49. Si une quantité eft double, triple, ou centuple d'une autre, la moitié de la premiere quantité fera évidemment double, triple, ou centuple de la moitié de la feconde quantité. Le tiers, le quart, le millieme, ou telle autre partie que l'on voudra de la premiere, fera également double, triple ou centuple du tiers, du quart, du millieme, & en général de la partie correfpondante de la feconde. D'où il fuit que les parties femblables de deux ou de plufieurs quantités ont toujours entre elles le même rapport que ces quantités.

foit

50. La valeur d'une fraction ne change donc pas, que l'on divife, foit que l'on multiplie fes deux termes par un même nombre; & par conféquent il y a une infinité de fractions de même valeur, quoique exprimées en termes différents.

Exemples., comme il est évident. La feconde fraction vient des deux termes de la premiere, divifés l'un & l'autre par deux. On a divifé ceux de la seconde par 3, & ceux de la troifieme par 6, ce qui a donné la fraction, visiblement égale à celles qui la précedent. On feroit parvenu immédiatement à ce dernier réfultat, en divifant les deux termes de la premiere fraction par 36.

Pareillement ===

210

45

210
315

=&c: mais quand il s'agit d'évaluer une fraction, on fent bien que cela eft plus aife dans les petits nombres que dans les grands;, par exemple, d'une quantité quelconque, ont une valeur plus décidée que de la même quantité. D'où il fuit qu'une méthode qui apprendroit à trouver, dans tous les cas qui en font fufceptibles, l'expreffion la plus fimple d'une fraction, feroit infailliblement fort utile. On l'a trouvée, cette méthode; & nous allons l'expliquer en parlant du calcul des fractions.

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Du Calcul des Fractions; & d'abord de quelques opérations préliminaires.

OUTRE

UTRE les quatre Regles ordinaires que nous avons développées dans le calcul des Nombres entiers, il y en a quelques autres qui font particulieres aux fractions. Elles confiftent 1°. à transformer tel nombre entier que l'on veut, en fraction; 2°. (& celle-ci eft la plus ufitée, ) à réduire plufieurs fractions au même dénominateur; 3°. à réduire une fraction quelconque à la plus fimple expreffion. On fentira bientôt l'utilité de ces Regles.

51. Transformer les entiers en Fractions. On peut donner à un nombre entier la forme d'une fraction, en lui donnant I pour dénominateur; ainfi 6 mis en forme de fraction est... 8=, &c.

On peut auffi le préfenter fous une forme fractionaire qui ait un dénominateur à volonté. Pour cet effet on multiplie le nombre entier par le dénominateur qu'on a choisi, le produit eft le numérateur de la fraction; ainfi pour réduire 6 à une fraction dont le dénominateur foit 7, on écrit 42. Or comme en faisant la divifion de 42 par 7, on a 6 au quotient, il eft clair que 42 & 6 font deux expreffions équivalentes.

S'il falloit réduire en une fraction feule un nombre entier joint à une fraction, on multiplieroit le nombre entier par le dénominateur de la fraction, on ajouteroit le numérateur à ce produit, & de la fomme on feroit le numérateur de la fraction cherchée; ainfi 6 fe réduit à la fraction 27.. 3fe réduit à 2.

52. Réduire plufieurs Fractions au même dénominateur.

Multipliez le numérateur, puis le dénominateur de chaque fraction, par chacun des dénominateurs de toutes les autres fractions. Vous aurez d'autres fractions refpectivement égales aux premieres & qui auront toutes le même dénominateur.

Voulez-vous, par exemple, réduire & au même dénominateur? multipliez les deux termes de la fraction par 4, vous aurez; multipliez enfuite les deux termes de la fraction par 2, vous aurez : les deux nouvelles fractions feront donc & /.

Pareillement pour réduire les fractions,,, au même dénominateur, on multipliera les deux termes de la frac tion par 7, puis par 4, & on aura

2X7X4

3×7×4

St. Multipliant de même ceux de la fraction par 3, puis par 4,

on trouvera

5×3×4 60

7×3×4

7

Multipliant enfin ceux de la

fraction par 7, les produits feront

3×3×7

4×3×7
60 63
84 84 84

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les trois fractions réduites font 34, 4, 4, & chacune eft refpectivement égale à celle dont elle tire fa premiere origine.

53. On pourroit réduire par la même méthode tant de fractions qu'on voudroit au même numérateur, en multipliant les deux termes de chacune par chaque numérateur des autres. Ainfi les trois fractions 3, 4, 4, se réduisent à celles-ci, 49, 41, 40: mais cette réduc tion au même numérateur trouve rarement fon application.

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54. Pour réduire une Fraction à l'expreffion la plus fimple. Il faut examiner d'abord, fi le numérateur eft plus grand que le dénominateur; car alors, il faut divifer le numéra

3.... se

teur par le dénominateur: ainsi se réduit à 3.... réduit à 23.

Il faut voir enfuite, fi le numérateur & le dénominateur ne pourroient pas être divifés tous deux fans refte par un même nombre; car alors, l'expreffion deviendroit plus fimple, fans changer de valeur. Elle deviendra d'autant plus fimple, que fes deux termes feront divifés par un plus

grand nombre.

Il arrive fouvent que cette réduction eft impoffible; mais comme il eft rare que l'on puiffe juger du premier abord, fi elle eft poffible ou non, on peut s'en affurer au moyen de certaines propriétés des nombres, dont nous ne rapporterons que les principales.

55. I. Tout nombre pair eft divifible par 2: ainfi tant que les termes d'une fraction feront des nombres pairs, ils pourront toujours être réduits à leur moitié. La frac tion 111, par exemple, fe réduit à, en divifant quatre fois par 2.

128

II. Tout nombre terminé par o, eft divifible par 5 & par 10. Ainfi la fraction 20 fe réduit à 2.

III. Tout nombre terminé par 5, eft divifible par 5. Ainfi fe réduifent à De même 11; se réduisent

à 24

120

215

IV. Tout nombre tel que la fomme de fes chiffres eft un multiple de 3, eft divifible par 3. Ainfi la fraction; eft divifible par 3, & fe réduit d'abord à 25, puis à 2. Et fi de plus le nombre divifible par 3 eft pair, on peut alors le divifer par 6. On peut le divifer par 9, lorfque la fomme de fes chiffres eft multiple de 9 (31).

par

V. Quand le nombre qu'expriment les deux derniers chiffres d'un nombre eft divifible par 4, le nombre lui-même peut fe divifer 4: la fraction 14 peut donc fe réduire d'abord à 16, puis à, après quoi elle eft irréductible. La fraction 2064 39 peut fe réduire de même à

774

240

enfuite à, puis à, & enfin à VI. Tout nombre eft divifible par 8, lorfque la partie de ce nombre exprimée par les trois derniers chiffres eft divifible par 8. Ainfi

888

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56. Au lieu d'effayer les unes après les autres ces di

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