FIG.

66.

67.

68.

Des Figures femblables.

472. DEUX figures font femblables, lorfqu'ayant un égal nombre de côtés, tous les côtés de l'une font proportionels aux côtés homologues de l'autre, & que de plus tous les angles de l'une font refpectivement égaux à ceux de l'autre.

D'où il faut conclure que tous les polygones réguliers d'un égal nombre de côtés font des figures femblables, & que par conféquent les cercles font tous femblables entre eux, puifqu'on peut les regarder comme des polygones réguliers d'une infinité de côtés.

473. Si deux figures ABCDE, abc de font femblables, le contour ou le périmetre de la premiere figure fera au contour de la feconde, comme un côté quelconque A B pris dans la premiere figure eft au côté homologue ab pris dans la feconde, ou comme un nombre quelconque de côtés A B+AE+DE pris dans la premiere, eft au même nombre ab aede de côtés homologues pris dans l'autre.

Car AB: ab: BC: bc::DC:dc::DE: de &c; donc la fomme des antécédents, ou le périmetre de la premiere figure eft à la fomme des conféquents, ou au périmetre de la feconde, comme AB: ab, ou comme AB+AE+DE, &c: abae+de. &c.

De-là il fuit que les contours de deux polygones réguliers ABDEFG, abdefg font entre-eux:: le côté AG: au côté homologue ag :: la portion BAGF du périmetre du premier polygone eft à la portion homologue bagf du fecond. Or fi C eft le centre de ces polygones, à caufe des triangles ifofceles & femblables a Cg, ACG, on aura A Gag::CG: Cg. Donc ABDEFG: abdefg:: BAGF: bagf::CG: Cg.

474. Les circonférences de deux cercles font donc entre elles comme leurs rayons & comme deux arcs quelconques AM, BN compris entre deux rayons CA, CM.

On peut dire aussi que la furface d'un corps eft cette FIG. enveloppe extérieure dont il eft revêtu, & fur laquelle tombent nos regards. Pour en déterminer la grandeur, cherchons d'abord quelle eft en général la mefure naturelle des furfaces, & nous verrons enfuite comment on évalue en particulier celles des différents polygones qui peuvent fervir de faces aux corps.

478. Il faut 1°, que la mefure des furfaces foit ellemême une furface à laquelle on puiffe rapporter celles que l'on veut évaluer. Cette furface primitive eft en quelque forte la bafe de toutes ces évaluations, comme l'unité eft la bafe de tous les calculs des nombres. Il faut 2°, que cette mesure foit la plus fimple de toutes; il faut donc que fa longueur & fa largeur foient égales, & que chacune de ces dimenfions foit repréfentée par l'unité. Or la largeur fe mefure en prenant la diftance des extrémités paralleles, & la mefure de cette distance eft la perpendiculaire qui les joint (372); donc la mesure la plus naturelle des furfaces eft un quarré plus ou moins grand, que l'on prend toujours pour l'unité de furface.

Une furface d'un pouce de long fur un pouce de large, par exemple, eft la mefure commune des furfaces eftimées en pouces quarrés. Ainfi on dit qu'il y a 144 pouces quarrés dans une furface d'un pied de long fur un pied de large, & qu'il y en a 5184 dans une toife quarrée. 479. C'est parce que la mefure commune des furfaces doit toujours être un quarré, que l'on nomme Quadrature l'évaluation d'une furface. Ainfi le problême fi connu de la quadrature du cercle, confifte à trouver un quarré égal renferme en furface à un cercle donné, c'est-à-dire qui précisément autant d'efpace que ce cercle.

En général, lorfqu'on fe propofe de mefurer une furface, il faut chercher combien de fois elle contient le quarré que l'on prend alors pour l'unité. Or cette recherche eft aifée dans toutes les figures rectilignes, comme on va le voir.

Commençons par le quarré ABCD, autre que

celui 70

SECONDE PARTIE

DES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRI E,

476. On appelle Surface, Aire, ou Superficie tout ce que l'on conçoit n'avoir que deux dimensions de l'étendue, la longueur & la largeur.

Suppofons, , par exemple, que ce Livre foit partagé en deux moitiés, & que chacune de ces moitiés foit partagée en deux autres, & ainfi de fuite. Il eft clair que chaque feuillet peut fe divifer de même; & qu'après avoir épuifé tous les procédés des Arts pour divifer & foudivifer un feul de ces feuillets, on conçoit encore poffibles des divifions fans fin, d'où réfulteroient à chaque fois des feuillets de plus en plus minces, quoique toujours égaux en longueur & en largeur au premier.

Mais comme à l'image diftincte des premieres divifions fuccédent des idées confufes du nombre de ces feuillets lequel va toujours croiffant, & de leur épaiffeur qui diminue de plus en plus, tout ce que l'on retire de cette confidération, eft une idée bien imparfaite de ce que l'on appelle infiniment grand & infiniment petit. Il en réfulte cependant d'une maniere fort claire, 1°, qu'à force de divifer & de foudivifer, on approche de plus en plus du terme où le feuillet n'auroit aucune épaiffeur : 2°, que pour atteindre ce terme, il faudroit un nombre vraiment infini de divifions: 3°, que ce nombre eft impoffible, & que par conféquent on n'arrivera jamais à ce terme, quoique l'on en approche de plus en plus.

477. On appelle des Limites ces fortes de quantités vers lefquelles d'autres tendent fans pouvoir jamais y atteindre. Ainfi on peut dire que la furface eft la limite du corps, que la ligne eft la limite de la furface, & que le point eft la limite de la ligne.

On peut dire auffi que la furface d'un corps eft cette FIG. enveloppe extérieure dont il eft revêtu, & fur laquelle tombent nos regards. Pour en déterminer la grandeur, cherchons d'abord quelle eft en général la mesure naturelle des furfaces, & nous verrons enfuite comment on évalue en particulier celles des différents polygones qui peuvent fervir de faces aux corps.

478. Il faut 1°, que la mefure des furfaces foit ellemême une furface à laquelle on puiffe rapporter celles que l'on veut évaluer. Cette furface primitive eft en quelque forte la bafe de toutes ces évaluations, comme l'unité eft la bafe de tous les calculs des nombres. Il faut 2°, que cette mefure foit la plus fimple de toutes; il faut donc que fa longueur & fa largeur foient égales, & que chacune de ces dimenfions foit représentée par l'unité. Or la largeur fe mesure en prenant la distance des extrémités paralleles, & la mefure de cette distance est la perpendiculaire qui les joint (372); donc la mefure la plus naturelle des furfaces eft un quarré plus ou moins grand, que l'on prend toujours pour l'unité de furface.

Une furface d'un pouce de long fur un pouce de large, par exemple, eft la mefure commune des furfaces eftimées en pouces quarrés. Ainfi on dit qu'il y a 144 pouces quarrés dans une furface d'un pied de long fur un pied de large, & qu'il y en a 5184 dans une toife quarrée. 479. parce que la mefure commune des furfaces doit toujours être un quarré, que l'on nomme Quadrature l'évaluation d'une furface. Ainfi le problême fi connu de la quadrature du cercle, confifte à trouver un quarré égal en furface à un cercle donné, c'est-à-dire qui renferme précisément autant d'efpace que ce cercle.

C'eft

En général, lorfqu'on fe propofe de mefurer une furface, il faut chercher combien de fois elle contient le quarré que l'on prend alors pour l'unité. Or cette recherche eft aifée dans toutes les figures rectilignes, comme on va le voir.

Commençons par le quarré ABCD, autre que

celui 70.

FIG. qui lui doit fervir de mefure & que nous représentetons par abcd. Il eft certain que fur la bafe AB on peut mettre autant de quartés égaux au quarré a b c d, que cette base contient de fois le côté ab, ou l'unité de longueur. Donc AB étant la fomme de ces unités, fi on exprime par s la furface du petit quarré, on aura ABxs pour celle de tous les petits quarrés qui peuvent être mis fur AB, & qui forment le rectangle ABFE. Mais n'eft-il pas évident que la furface du quarré total ABCD contient autant de fois celle de ce rectangle, que la ligne AD ou AB contient AE ou ad, unité de largeur? Donc ABCD, ou AC (car on défigne fouvent les quarrés & les rectangles par deux lettres diagonalement oppofées = A B2 xs, & comme s=1, on a ACAB: c'eft-à-dire que pour avoir la furface d'un quarré, il faut multiplier l'unité de furface par le quarré, du nombre des unités fimples contenues dans un de fes côtés, & non par le quarré d'un de fes côtés.

71.

Remarquez en effet que cette derniere expreffion n'eft pas exacte, puifqu'on ne multiplie jamais une ligne par une autre. Mais comme elle eft ufitée, nous nous en fervirons dans le fens que nous venons d'indiquer.

480. Cela pofé, cherchons la mefure de la furface d'un rectangle quelconque ABCD,

Si on décrit fur fon plus grand côté A B le quarré ABEF, ce quarré contiendra autant de rectangles égaux à ABCD, que AF contient de fois A D. II en contiendra donc un nombre exprimé par 2 ou AD; & fi

A F

AD

A B

on appelle x la furface du rectangle, on aura A B

AB

ADx; d'où x=AB × AD; c'est-à-dire que la furface d'un rectangle quelconque est égale au produit de sa base par fa hauteur.

Par exemple, fi un rectangle a 7 pouces de long, für 3 pouces de large, fa furface contient 21 pouces quarrés,