Ce que nous difons des pouces quarrés peut s'appliquer FIG. à toute autre mefure femblable.

481. Il fuit de ce que nous venons de prouver, 1°, 71. que la furface du triangle rectangle ACB eft égale au produit de fa hauteur par la moitié de la bafe. Car ce triangle est la moitié du rectangle ABCD.

2°, Que la furface d'un triangle quelconque ABC eft égale au produit de l'un quelconque AC de fes côtés par la moitié de la perpendiculaire menée de l'angle oppofé B fur cette bafe prolongée, s'il eft néceffaire.

Car le triangle ABD BD× AD, & le triangle CDB=BDxD C. Donc CDB ABD, ou la furface du triangle ABC BD (DC+AD) = BDX AC.

72.

482. Donc la furface d'un parallelogramme quelconque 73. ABDE eft égale au produit de la bafe AE par la diftance des côtés paralleles A È, BD,=AE× BC. Car fi on mene la diagonale BE, le triangle ABE fera égal au triangle BED. Donc la furface du parallelogramme ABDE eft double de celle du triangle AEB.

483. Pour mefurer la furface d'un trapeze quelconque 74 A BCD, foit menée la diagonale A C; on aura A BC= BCXCF & ACD=ADxCF. Donc ABC

AEX BC

2

=

2

+ACD ABCD CFX (BC+AD); c'està-dire que la furface d'un trapeze quelconque eft égale au produit de la demi-fomme de fes bafes par la perpendiculaire qui en mesure la distance.

484. Il est également facile de mefurer la furface d'un polygone quelconque régulier; car fi du centre de ce polygone on imagine des rayons menés à tous fes angles, ces rayons diviferont le polygone en autant de triangles égaux & femblables qu'il a de côtés. Or la furface de l'un quelconque de ces triangles eft égale au produit de la moitié du côté du polygone par le rayon du cercle inferit. Donc la furface d'un polygone régulier quelconque eft égale à la moitié du périmetre, multipliée par le rayon du cercle infcrit.

FIG.

67.

Donc la furface d'une portion BCG de polygone régulier, comprise entre deux rayons CB, CG & les côtés. BA & AG, eft égale à la portion

BA+AG

2

du périmetre, multipliée par le rayon du cercle infcrit.

Donc la furface d'un cercle quelconque eft égale au produit de fa circonférence par la moitié de fon rayon, & par conféquent la furface d'un fecteur quelconque, eft égale au produit de fon rayon, par la moitié de l'arc qui le termine.

Pour avoir la furface ou la quadrature d'un cercle, il faudroit donc connoître le rapport du rayon à la circonférence. Mais on n'a pu le déterminer que par approximation; & on a trouvé que le diametre d'un cercle eft à fa circonférence, à peu-près comme 7 à 22, ou comme 113 à 355, ou plus exactement, comme 1 à 3, 1415926535897932 avec cent onze autres décimales, ce qui fait une approximation prefque infinie. Voyez l'Histoire des Recherches fur la Quadrature du Cercle, & l'Hiftoire des Mathématiques; Ouvrages de M. Montucla, généralement eftimés.

485. Soit le nombre 3, 14159 &c; on aura 1: pour le rapport du diametre à la circonférence. Soit r le rayon d'un cercle quelconque, on aura I: :: 2г: 2r pour la circonférence de ce cercle. Sa furface fera donc r2.

486. Soit propofé maintenant de mefurer la furface d'un polygone quelconque irrégulier.

On le divifera d'abord en triangles; on prendra enfuite la furface de chacun de ces triangles, & la fomme de ces furfaces fera évidemment celle du polygone propofé. Mais s'il s'agiffoit de trouver un feul triangle égal en 75. furface à un polygone donné, (au pentagone ABCDE, par exemple), on meneroit la diagonale CE pour retrancher l'angle D; enfuite par le point D on meneroit DG parallele à cette diagonale, & qui rencontre en Gle côté A E prolongé. Cela pofé, fi on mene CG, le

quadrilatere A BCG fera égal en furface au pentagone EIG ABCDE, puifque le triangle CKD le triangle EKG; 75. ce qui fe prouve par l'égalité des triangles CGE, CDE, dont les bafes & les hauteurs font refpectivement égales, de maniere qu'en retranchant le triangle commun CKE, il refte CKD EKG.

Si on mene à préfent la diagonale CA, & BF parallele à cette diagonale, on prouvera de même que le triangle FCG eft égal en furface au quadrilatere BCGA, & par conféquent au pentagone propofé qui fe trouvera par ce moyen réduit en un triangle de même furface.

Par cette méthode, on peut réduire un polygone quelconque en un triangle de même furface, d'où il fuit qu'on peut trouver la quadrature exacte de toutes les figures rectilignes.

De la comparaifon des Surfaces.

487. Si B repréfente la bafe & H la hauteur d'un triangle quelconque, fa furface, fera SBH: de même, fi on nomme b & h la bafe & la hauteur d'un autre triangle dont la furface eft s, on aura sb h. Donc S: s::BH: bh, d'où il fuit.

I°. Que les furfaces de deux triangles quelconques font entre-elles en raison compofée de leurs bafes & de leurs hauteurs.

II°. Que deux triangles qui ont la même base ou des bafes égales font entre-eux comme leurs hauteurs. Car alors Bb. Donc S: s::H: h.

III. Que deux triangles qui ont des hauteurs égales font comme leurs bafes, puifque H étant égal à h, on

a Ss:: B: b.

IV. Que deux triangles font égaux en furface, lorfque leurs bafes & leurs hauteurs font en raifon inverse. Car fi Bb: h: H, on a bh=BH, & par conféquent

S=5.

V°. Que les furfaces de deux triangles femblables font comme les quarrés de leurs dimenfions homologues. Car dans

FIG

76.

77.

2

ce cas Bb:: H: h; d'ailleurs S:s:: BH:bh. Donc S: s :: B2: b2 :: H: h2, comme le quarré d'une dimension prife dans l'un eft au quarré de la dimenfion homologue de l'autre.

488. De-là il fuit 1°, que la furface du triangle équilatéral circonfcrit eft quadruple de celle du triangle équilatéral infcrit. Car le côté de l'un eft double du côté de l'autre (427).

2o, Que le quarré circonfcrit eft double du quarré infcrit. Car en appellant a le rayon du cercle, leurs côtés font za le quarré de 2 a eft double de celui de a v 2.

,

a v 2. Or 489. Si deux triangles BAC, bac ont chacun un angle égal A, a; je dis que leurs furfaces feront comme les produits des côtés qui entourent l'angle égal dans chacun. Ainfi on aura BAC: bac:: ABxAC:ab xác.

Car fi on mene les perpendiculaires BD, bd fur les côtés AC, b d ac, on aura BAC: bac:: BDx AC: bdxac:: AC:ac x

b d

Or à caufe des triangles femblables ABD, abd, on a BD

a b AD

Donc BAC:bac:: AC:

acxab
A B

: ACX AB: acxab.

BD

Pour faire quelque application de cette propriété, propofons-nous de mener du point donné B la droite B F fur le triangle A CD, de maniere qu'il foit divifé en deux parties AEF, EFDC dont les furfaces foient dans le rapport de m à n.

Puifque AEF: EFDC::m:n, donc AEF+EFDC, ou A CD: AEF: m+n: m. Or ACD: AEF:: ACXAD: AEX AF. Donc m+n:m:: ACXAD: AEXA F. Cela pofé, foit mené BI parallele à AC, & foient nommées les connues BI (a), AI (c), AC (b), AD (d), & l'inconnue AF (x); à caufe des triangles femblables A EF, BIF, on aura FI (x + c): BI (a); : AF(x): AE=

a(m+n)

Donc x= •

bdm+v (b2 d3 m2 + 4abdmc (m + n)] De

ra (m+n)

ces deux valeurs, l'une pofitive, l'autre négative, il n'y a que la

pofitive x =
pofée.

b dm +v &c
za (m + n)

qui foit propre à réfoudre la question pro

Pour favoir ce que l'autre fignifie, il faut obferver que fi AC, AD b, d) étoient toutes deux négatives, c'eft-à-dire devenoient A C', AD', cela ne changeroit rien du tout à l'équation trouvée ci-deffus; d'où il fuit que cette équation doit donner aufli la folution du cas

où il s'agiroit de mener du point B la droite B E'F' qui divife le FIG. triangle A D'C' en deux parties dont le rapport foit. C'est donc 77

AF' que fignifie la valeur négative trouvée ci-dessus. Or A F' eft directement oppofée à A F. On voit donc fe confirmer ce que nous avons déja dit des quantités négatives (470).

Si le point donné B étoit fur le côté AC comme en E, on auroit bdm alors AI (c)=0 & AF: = ; & fi ce point étoit en dea (m+n) dans du triangle ACD, on auroit, en faifant a négatif dans la formule trouvée ci-deffus, la folution de ce cas.

490. Lorfque deux figures font femblables, leurs furfaces font toujours proportionelles aux quarrés de leurs dimenfions homologues.

Car foient A & B les deux dimenfions dont le produit donne la furface S de la premiere figure, & a, b, les deux dimenfions homologues dont le produit donne la furface s de la feconde. On aura S: s::AB: ab. Mais par la nature des figures femblables on a, A: a :: B:b; donc S: s:: A:a:: B: b'. Donc les furfaces des figures femblables font comme les quarrés de leurs dimenfions homologues.

491. De-là il fuit 1°, que les furfaces des cercles font comme les quarrés de leurs rayons, comme les quarrés de leurs diametres, comme les quarrés de leurs circonférences, & en général comme les quarrés de leurs dimenfions homologues.

2°, Qu'une figure quelconque ALMNC conftruite fur 78. l'hypoténufe AC d'un triangle rectangle eft égale à la fomme des deux figures femblables ADFGB, BHIKC conftruites fur les deux autres cotés.

Car ALMNC: ADFGB: BHIKC:: AC: AB2: BC. Donc ALMNC: ADFGB+ BHIKC:: AC2 : AB2 + BC. Or ACAB2+BC'. Donc ALMNC=ADFGB ++BHIKC.

Donc fi fur l'hypoténufe AB on décrit un demi-cercle ACB, il fera égal en furface à la fomme des demi-cercles ACD, CFB conftruits fur les deux autres côtés AC, CB. 79. On aura donc AECGB=ADC+CFB, & en retranchant les parties communes AECA+ CGBC, resteront