4°, Un plan qui coupe deux ou plufieurs plans paral- FIG. leles fait avec eux des angles correfpondants égaux, &c,&c.

501. Si un plan coupe deux ou plufieurs plans paralleles, les lignes droites qui naîtront de leurs interfections feront toutes paralleles. Car fi elles ne l'étoient pas, elles fe rencontreroient en les prolongeant. Les plans dans lefquels elles font, fe rencontreroient donc auffi. Ils ne feroient donc pas paralleles.

502. Si le plan CG eft perpendiculaire au plan PQ, 83. & fi l'on mene d'un point quelconque B du plan CG la perpendiculaire BA fur la commune interfection CF, je dis que BA fera perpendiculaire au plan PQ.

Car fi dans le plan PQ on mene DA perpendiculaire à CA, l'angle B A D fera droit à caufe des plans perpendiculaires. Donc BA fera perpendiculaire aux deux droites CA & AD, & par conféquent (499) à leur plan P Q.

503. Si deux plans DH, CG font perpendiculaires à un troifieme plan PQ, leur interfection BA fera auffi perpendiculaire à ce troifieme plan. Car B A eft alors perpendiculaire aux deux droites CA, A D. Donc elle est perpendiculaire à leur plan PQ.

Des Lignes droites coupées par des Plans paralleles.

504. Si d'un même point A on mene à travers deux 84. plans paralleles PQ, pq tant de droites que l'on voudra, AdD, AfF, &c, i°, toutes ces droites feront coupées proportionellement; 2°, les figures DFGEH, dfg ch feront femblables.

Car fi on fait paffer un plan par les trois points A, D, F, fes interfections avec les plans paralleles PQ, pq feront (501) les droites paralleles DF, df. Donc les triangles ADF, Adf feront femblables. On prouvera la même chofe des triangles AFG & Afg, AEG & Aeg, &c; d'out il fuit que AD: Ad:: DF: df:: AF: Af::FG:fg:: AG: Ag, &c :: les perpendiculaires AB & Ab menées du

鬻

même point A fur les deux plans q. Donc 1°, toutes les droites AD, AF, AG, &c font coupées proportionellement par les plans PQ, p q.

2°, Puifque DF:df::AF: Af::FG:fg, &c, on a DF:df::FG:fg::EG:eg, &c : or fi on mene DG, dg, on prouvera comme ci-deffus que les triangles A DG, Adg font femblables. Donc AD: Ad::DG:dg:: DF: df::FG:fg; les triangles DFG, dfg ont donc tous leurs côtés homologues proportionels, & font par conféquent femblables. D'où il fuit que les angles F, f font égaux. On prouvera la même chofe des angles G &g, E & e, &c. Donc tous les angles de la figure DFGEH font refpectivement égaux à ceux de la figure dfgeh. D'ailleurs tous leurs côtés homologues font proportionels.

Donc elles font femblables.

505. De ce que l'angle F eft égal à l'angle f, il fuit que fi deux angles DFG, dfg ont leurs côtés refpectiveinent paralleles, ils feront égaux quoique fitués dans différents plans, ce que nous avons déja démontré pour le cas où ces angles font dans le même plan.

Si les lignes Ad D, AfF, &c au lieu de partir d'un même point A étoient paralleles, il eft clair que toutes les lignes dD, fF, gG, &c feroient égales entre elles, & les figures DFGEH, dfg eh feroient égales & fem

blables.

:

2

De ce que les figures DFGEH, dfgeh font femblables, il fuit que leurs furfaces font entre elles :: DF': df: AD Ad':: le quarré BA' de la diftance du point A au plan PQ eft au quarré b A' de la diftance du même point A au plan pq. Or le rapport de A B à Ab est conftant pour un même point A. Donc quel que foit le nombre des droites AD, A F, &c, les furfaces des figures DFGEH, dfgeh feront entre elles dans le rapport conftant de AB à Ab, & leurs périmetres feront aufli dans la raifon conftante de A B à Ab..

2

S'il y avoit un plus grand nombre de plans paralleles, ils auroient tous les mêmes propriétés.:

FIG.

TROISIEME PARTIE

DES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.

506. On appelle Solide tout ce qui réunit les trois di

menfions de l'étendue. Or pour former un folide, on peut fuppofer que plufieurs plans foient tellement unis par leurs angles, qu'ils enferment de tout côté un certain efpace; alors on aura un Polyedre dont les faces feront: les plans qui concourent à le former, & dont les angles folides réfulteront du concours des angles plans.

T

Si le polyedre n'a que quatre faces planes, on le nomme Tetraedre. S'il en a fix, c'eft un Hexaedre, &c, &c. Lorfque tous les angles d'un polyedre font égaux, & que toutes fes faces font des plans égaux & femblables, ce polyedre eft régulier.

507. On mefure les angles folides en prenant la fomme 85. des angles plans qui les forment. L'angle folide B, par exemple, a pour mefure la fomme des degrés des angles plans ABC, CBD, DBE, EBA.

Or il eft aifé de voir qu'il faut au moins trois angles plans pour former un angle folide, & que la fomme de deux quelconques de ces angles eft toujours plus grande que le troifieme.

508. D'où il fuit qu'un angle folide eft moindre que 360°. Car foit la pyramide quadrangulaire BACDE, dont les faces font les quatre triangles A BE, EBD, &c, & dont la bafe eft le quadrilatere ACDE. Il est clair que les deux angles AEB+DEB font plus grands que l'angle A E D avec lequel ils forment l'angle folide E; donc leur fupplément eft moindre que celui de l'angle AED. Par la même raifon, le fupplément des deux anglés. EAB CAB eft moindre que celui de l'angle CAE, & ainfi de fuite. Donc la fomme des fuppléments des

huit angles inférieurs des faces de la pyramide, laquelle fomme eft l'angle folide B, eft moindre que la fomme des fuppléments des quatre angles de la base, qui est de 360°. L'angle folide eft donc moindre que 360°.

509. Et par conféquent, il ne peut y avoir que cinq Polyedres réguliers, favoir, trois dont les faces foient des triangles équilaté raux; un dont les faces foient des quarrés, & un dont les faces foient des Pentagones réguliers.

Car puifqu'il faut au moins trois angles pour former un angle folide, & qu'un angle folide ne peut être de 360 degrés, il eft clair qu'il n'y a que cinq cas où on puiffe faire un angle folide avec des plans de Polygones réguliers. 1°, L'angle d'un triangle équilatéral étant de 60 degrés, trois de ces angles font un angle folide de 180 degrés; & par conféquent quatre triangles de cette espece peuvent faire un Tétraedre. 2, Quatre triangles équilatéraux joints enfemble, peuvent faire un angle folide de 240 degrés, & former un corps régulier à huit faces, appellé Octaedre. 3, Cinq de ces triangles joints enfemble peuvent former un angle de 300°, & par conféquent on en peut compofer un corps régulier à 20 faces, appellé Icofaedre; mais fix triangles équilatéraux joints enfemble feroient 360°. 4°, Chaque angle d'un quarré valant 90°, trois de ces angles feront un angle folide de 170, & par conféquent on en pourra compofer un corps régulier à fix faces, appellé Hexaedre; mais quatre de ces angles feroient 360°, ce qui ne peut faire un angle folide. 5. Chaque angle du Pentagone régulier valant 108°, trois de ces angles joints enfemble pourront faire un angle folide de 324°; & on en pourra faire un corps régulier à douze faces, appellé Dodecaedre; mais fi on joignoit quatre de ces angles, on auroit 432°, angle solide impoffible. Enfin l'angle de l'hexagone régulier étant de 120°, fi on en ajoute trois enfemble, la fomme 360° montre qu'on ne peut faire d'angles folides, ni par conféquent de corps régulier avec des hexagones, & à plus forte raifon n'en pourra-t-on pas faire avec des Heptagones,, des Octogones, &c; done il ne peut y avoir que cinq corps réguliers.

510. Comme il faut au moins trois angles plans pour former un angle folide, & qu'alors même ces angles laiffent un vuide à la bafe, il faut un autre plan pour le fermer. C'eft pourquoi de tous les polyedres, le plus fimple eft la pyramide triangulaire, ou le tétraedre.

Si au lieu dun triangle ou d'un quadrilatere, on fuppofe que la bafe d'une pyramide eft un polygone d'un plus grand nombre de côtés, les faces de cette pyramide fe multiplieront dans le même rapport, jufqu'à ce que la

base étant devenue un cercle, la pyramide alors devienne FIG. un Cône.

Si la perpendiculaire abaiffée du fommet de la pyramide fur fa bafe paffe par le centre de cette bafe, la pyramide eft droite. Il en eft de même pour le cône: on l'appelle droit ou oblique, felon que la perpendicu- 86. laire, menée de fon fommet paffe ou ne paffe point par le centre de sa base.

511. Autre maniere de concevoir la formation des folides. Si la bafe ADHC monte parallèlement à elle- 87. même le long de GD ou AB, la fomme de tous les éléments égaux à cette bafe forme un folide que l'on pelle Prifme. Il eft droit ou oblique, fuivant que DG eft perpendiculaire ou incliné fur la base.

ap

Le prifme eft donc un folide terminé par des bafes égales & paralleles, & par des faces qui font des parallelogrammes. Sa groffeur eft donc uniforme. On l'appelle prifme triangulaire, lorfque le polygone générateur eft un triangle; prifme quadrangulaire, lorfqu'il a pour bafe un quadrilatere : & fi ce quadrilatere eft un parallelogramme, le prifme alors fe nomme Parallelepipede.

Ce fera un parallelepipede rectangle, toutes les fois que la bafe fera un rectangle, & que de plus la ligne le long de laquelle fe fait le mouvement fera perpendiculaire à cette bafe.

Si la bafe étoit un quarré, dont le côté fût égal à la ligne de hauteur, le prifme engendré par fon mouvement feroit un hexaedre régulier, que l'on appelle auffi cube. Le cube est donc un prifme à fix faces toutes égales & toutes quarrées. Un dez à jouer, par exemple, est un cube.

Lorfque le polygone générateur eft un cercle, le prifme devient rond, & on l'appelle cylindre. 11 eft droit ou oblique felon la pofition de la ligne de mouvement ou de fes côtés par rapport à la bafe.

512. Troifieme maniere de former des folides, Si au

91.

87.

96;

tour d'une ligne immobile C A, on fait tourner une figure 90..