FIG. quelconque AFBC, elle engendrera un folide, appellé Jolide de révolution. Son axe eft la ligne immobile CA. Il fuit de cette defcription qu'un point quelconque B de cette figure trace dans fon mouvement la circonférence d'un cercle dont le rayon BP eft perpendiculaire à l'axe, & dont le centre eft P: ce qui fait voir que toutes les fections faites dans un folidé de révolution par des plans perpendiculaires à fon axe font des cercles. 88. Si le polygone générateur eft un rectangle, il engendrera un cylindre droit. Si ce n'eft qu'un triangle rec86. tangle, le folide de révolution fera un cône droit. Si c'est la moitié d'un polygone d'un grand nombre de côtés, elle produira un fphéroïde. Enfin le solide de révolution fera une Sphere, fi le demi-polygone qui l'engendre est un demi cercle. 513. La Sphere eft donc un folide tel que tous les points. de fa furface font également éloignés d'un point en dedans que l'on nomme centre. D'où il fuit que toute ligne droite qui paffe par fon centre, & qui eft terminée de part & d'autre à fa furface, eft égale à fon axe. On peut donc prendre pour axe de la sphere toute droite qui paffe par fon centre, & qui aboutit des deux côtés à fa furface. Donc toutes les fections faites dans une fphere par des plans qui paffent par fon centre, font des cercles égaux. 514. En général, fi on coupe une fphere par un plan quelconque, la fection fera toujours un cercle. Car fi dụ centre de la fphere on mene un diametre perpendiculaire au plan coupant, on pourra regarder ce diametre comme l'axe, autour duquel la fphere a été engendrée. Or dans ce cas la fection eft un cercle (512). 1 On appelle grands cercles d'une fphere tous ceux dont les plans paffent par fon centre. On appelle petits cercles ceux dont les plans paffent au-deffus ou au-deffous du centre, & il eft évident que plus ces cercles en font éloignés, plus ils font petits. 1 De la mesure des Surfaces des Solides. 515. Nous appellerons furface latérale, ou fimplement furface d'un folide celle de fes faces, fans y comprendre celle des bafes, & nous appellerons furface totale d'un folide celle de fes bafes & de fes faces. Un polyedre étant terminé par des faces planes, il est aifé d'en avoir la furface. C'eft pourquoi nous ne nous y arrêterons pas. FIG. 516. La furface d'un prifme quelconque eft égale à la 91. longueur BC multipliée par le contour GIH de la fection faite dans ce prifme par un plan perpendiculaire à BC. Car la furface du parallelogramme BCED=DEx GI=BCX GI... La furface du parallélogramme ABCF =BCxIH; enfin celle du parallelogramme A FDE= AFXGH BCxGH. Donc la fomme de tous ces parallelogrammes, ou la furface du prifme=BCxGIH. 517. De-là il fuit que la furface d'un prifme droit, & par conféquent celle d'un cylindre droit, eft égale....au produit du contour de fa bafe par fa hauteur, ou par la diftance de fes bafes paralleles. La furface du cylindre oblique A B CD eft donc auffi égale à fa 89. longueur A B multipliée par le contour GMIMG de la fection faite par un plan perpendiculaire à A B. Or il eft aifé de s'affurer que cette fection eft une ellipfe; en effet par un point quelconque P de l'axe GI, faifons paffer un plan parallele à la bale du cylindre, fon interfection avec la furface courbe fera un cercle, & fon interfection avec le plan GMI fera la droite MPM perpendiculaire à l'axe GI. Cela pofé, foit GPx, PM=y, LP=2, GI=a, LK=BC=AD=b. On aura par la propriété du cercle, yybz-z, & à caufe des triangles fembla(ax-xx) équation à bx bles LPG, PKI, {= Donc yy= a bb aa l'ellipfe, dont le grand axe eft b & dont le petit axe eft a. Voyez les Sections coniques. 518. La furface d'une pyramide réguliere eft égale à la moitié du périmetre du polygone qui lui fert de bafe, multipliée par la perpendiculaire menée de fon fommet fur 92. 93. l'an quelconque des côtés de la base, & que l'on nomme Apothême. Cela eft trop évident pour avoir befoin de dé monstration. Il fuit de là que la furface du cône droit est égale au produit de la demi-circonférence de fa base par fon apothême ou par la diftance de fon fommet à l'un quelconque des points de fa base. 519. Suppofons le cône droit ABC coupé par un plan DE parallele à fa base AC, & propofons-nous de mefurer la furface du cône tronqué ACED. Soit A Ca, DE=b, EC refte de l'apothême BC =d; BE=x, on aura x +d:a::x:b; d'où x= i d e-b° Soit exprimé par 1: le rapport du diamètre à la circonférence, on aurab & a, pour les circonférences des ат bafes DE & AC. Donc BCx & BEX --- bx 2 feront les furfaces des cônes droits ABC, BDE; & par conféquent leur différence, ou la furface du cône tronqué(x+d)2 = xx =dx — dx = (a+b). Or = (a+b) 2 bx 2 T 2 T 2 eft la circonférence du cercle qui tient le milieu entre les bafes DE & AC. Donc la furface du cône tronqué eft égale au produit de ce qui refte de l'apothême, par la cir conference moyenne proportionelle arithmétique entre celles des bafes fupérieure & inférieure. $20. Imaginons maintenant que le demi-polygone régulier SAN tourne autour de l'axe SN qui paffe par fon centre C, & cherchons la furface du fphéroïde que ce demi-polygone engendre par fa révolution. Il faut d'abord obferver qu'il y a deux côtés dans ce polygone qui décrivent des cônes: ce font les côtés BS & IN. Le feul côté A E décrit un cylindre: tous les autres, comme BA & IE décrivent des cônes tronqués. Or il fuit de ce qui précede que la furface de l'un quelconque de ces cônes tronqués eft égale au produit du côté générateur (AB, par exemple), par la circonférence du cercle décrit le milieu M de ce côté. 93. Cela pofé, foit CM le rayon du cercle infcrit dans le polygone donné, & foient menées les perpendiculaires BQ, MP, AR, fur l'axe SN, & foit mené BD parallelement à QR; les triangles rectangles ABD, CPM font femblables, puifqu'ils ont leurs côtés homologues perpendiculaires. Donc A B: BD ou QR::CM:PM:: la circonférence qui a pour rayon CM: eft à la circonférence qui a pour rayon PM:: circ CM: circ P M. Donc ABX circ PM, ou la furface du cône tronqué décrit par AB QRx circ C M. = Par un raifonnement femblable, appliqué aux folides décrits par les autres côtés du polygone, on prouve que la furface du fphéroïde eft égale à (SQ+QR+RK+ KL+LN) ou SNx circ CM. Donc la furface d'un Sphéroïde quelconque eft égale au produit de fon axe par la circonférence du cercle auquel il eft circonfcrit. Or la fphere peut être regardée comme un fphéroïde d'une infinité de côtés. Donc la furface de la Sphere eft égale au produit de fon axe par la circonférence de l'un quelconque de fes grands cercles. Et la furface d'une calotte fphérique produite par la régo. volution du demi-segment BCP eft égale à l'épaiffeur CP de cette calotte, multipliée par la circonférence de l'un des grands cercles de la sphere. 521. Donc 1o, la furface de la sphere eft quadruple de celle de l'un quelconque de fes grands cercles, puifqu'un grand cercle n'a pour furface que la moitié de l'axe multipliée par la demi-circonférence. 2o, La furface de la fphere eft égale à la surface convexe du cylindre circonfcrit, puifqu'elles ont toutes deux pour mefure le produit de l'axe EK ou FA, par la circonférence d'un des grands cercles de la fphere, ou par la circonférence qui a pour diamètre A B. 3° La furface de la fphere eft à la furface totale du cylindre circonfcrit: :2: 3. Car les deux bafes du cylin 94 FIG. dre font chacune égales à un grand cercle de la fphere. Donc la furface de la fphere eft à la furface totale du cylindre circonfcrit:::::2:3. 94. 22. Si on conçoit un cône équilatéral DIL circonfcrit à la sphere, fa furface totale fera à celle de la fphere: 9: 4. : Car foit & la furface d'un des grands cercles de la fphere, & a fon $ diamètre, on aura I L = a √ z, & A B2-(a2): IL2 (3a2) : : S : la furface de la bafe du cône 3 S. Or la furface du cône équilatéral eft triple de celle de fa bafe, puifqu'elle est égale à x circ IL + IL 4 ID 2 × circ IL = 3 × IL circ IL. Cette furface eft donc égale à S. D'ailleurs la furface de la sphere eft 4 S. Donc &c. Les furfaces totales de la fphere, du cylindre circonfcrit, & du cône équilatéral circonfcrit; font donc :: 4: 69. D'où il fuit que la furface du cylindre circonfctit eft moyenne proportionelle entre celle de la fphere & celle du cône équilatéral circonfcrit; on trouveroit de la même maniere que la furface de la sphere eft à celle du cylindre infcrit, eft à celle du cône équilatéral infcrit:: 16: 12: 9. Donc la furface totale du cylindre infcrit eft auffi moyenne proportionelle entre celle de la fphere & celle du cône équilatéral inferit. 523. La comparaifon des furfaces de deux folides quelconques eft fort aifée. Car appellant S & s ces furfaces, A & B les facteurs de la premiere, a & b les facteurs de la feconde, on aura toujours S: s::AB: ab. 2 D'où il fuit 1, que fi Aa, on aura Ss :: B: b. 2°, que fi A: a b B, on aura Ss. 3, que fi A: a :: B: S= b, on aura Ss: A2: a2: Bb. Ce dernier cas a lieu dans les folides femblables. On appelle ainfi ceux dont les dimensions homologues font proportionelles. Les fpheres, par exemple, font des folides femblables. Ainfi leurs furfaces font entre elles, comme les quarrés de leurs rayons, ou de leurs diamètres, ou des circonférences de leurs grands cercles, & en général, comme les quarrés de leurs dimenfions homologues. De la mesure des Solides. 524. LA folidité d'un corps eft la portion d'étendue comprife entre fes faces. Ainfi deux cylindres de même |