FIG. : cot A cof A fin A I tang A Donc cot A x tang A = 1. 100. 548. Soit propofé maintenant de déterminer le finus & le cofinus de la fomme de deux arcs donnés A B & BE. Je nomme s le finus BD de l'arc A B... c fon cofinus CD... s le finus EG de l'arc CEB...d fon cofinus CG.... enfin x le cofinus cherché CF cof (AB+BE), & y le finus EF-fin (AB+BE). Cela pofé, à caufe des triangles femblables CBD, CFH, EGH, on aura CD (c): CF(x):: CB (1): CH= : : BD (s) : FH = * *. x C C Enfuite CD (c) : EG (s') :: BD (s): GH (d) :: C s′s = CB(1): EH (y). Donc sscc-x, & s' — cy -SX. La premiere équation donne x = cc'ss', & fubf Sinc fin a cof(c-a)+cof a fin (c-a). cofa Or en traitant fin (c-a) & cof (ca) comme des inconnues, on trouve fin (ca) = finc cof fin a cofc....& cof (ca) = cofc cof a Donc en général.... b) fin a fin c. Sin (a—b)=fin a cof b―fin b cof a. Cof (a cof a cofb+fin a fin b.. En faisant ab, on a fin 2 a= 2 fin a cofa, & cof 2 as : cofa - fin' a = 2 cof2 a- 1 (en mettant pour fin' a, fa valeur I- cof2 a). Il est donc bien facile d'avoir le finus & le cofinus du double d'un arc dont on connoît déja le finus & le cofinus, 3 On trouve avec la même facilité le finus & le cofinus de la moitié de cet arc. Car fi on fait 2a=c, c cofc, & cofc + 1 = 2 cof2 on aura fin c 2 fin * fin c √2 (1+cosc) 1+ cof c 2 1 - cof1⁄2 c 2 (1+ cofc) ), & fin a a cofcou fin÷c= I- - cofe 2 -). Mais comme ces formules fuppofent que les finus & cofinus font déja connus, il faut, avant d'aller plus loin apprendre à les connoître. 550. Et d'abord, il eft clair que fi on calcule les finus de tous les arcs compris dans un quart de cercle, depuis l'arc de 1" jufqu'à l'arc de 90°, on connoîtra tous les finus, depuis celui de 1", jufqu'à celui de 180° (542). Or depuis 180° jufqu'à 360°, les finus font les mêmes que depuis o° jufqu'à 180, au figne près qui eft négatif. Donc le calcul des finus fe réduit à celui des finus d'un quart de cercle. Il eft clair enfuite que les cofinus peuvent aifément fe déterminer par la formule.... la formule. ... cofa=√(1 — fin2 a). Occupons-nous donc feulement du calcul des finus. On fait (485) que le rayon étant I, l'arc de 90° eft repréfenté par 1,570796326794896, &c; donc l'arc de 1" eft de 0,000004848 &c parties du rayon; & comme un arc auffi petit ne differe pas fenfiblement de fon finus, on a pris 0,000004848 &c, pour finus de l'arc de 1". On a doublé, triplé cette fraction, & on a eu les finus de 2", de 3", &c. On auroit pu calculer le finus de 2", puis celui de 3" &c, par les formules fin 2 a⇒ 2 fin a cofa, & fin (a+b)=fin a cof b+fin b cofa: mais on a trouvé que. la différence entre des arcs auffi petits & leurs finus étoit trop infenfible, pour ne pas prendre chacun de ces arcs au lieu de fon finus refpectif. & En s'élevant ainfi des ccondes jufqu'aux minutes, en continuant le calcu! depuis les minutes jufqu'aux de grés, par le moyen des deux formules précédentes, on parvient au finus de 30°. Ce finus devant être égal à la moitié du rayon, on peut vérifier par là les calculs antérieurs; & on fe trouve avoir tous les finus depuis celui d'une feconde jufqu'à celui de 30°. Mais pour ne pas trop groffir le volume des Tables, on n'y fait entrer que les finus des minutes & des degrés. (I 551. Suppofons maintenant que a= 30°, on aura fin (30°+b)=fin 30° cof b + cof 30° fin b. Or fin 30° = = .... & cof 30° =√(1 − ) = 3. Donc fin (30° + b) == fin by 3+ cofb.... & fin (30° —b) == cofb — = fin by 3. Donc fin (30°+b)= fin (30° — b) + fin by 3. Il fuit de là que connoiffant tous les finus depuis oo jusqu'à 30°, on a facilement tous ceux qui font depuis 300 jufqu'à 60°. = 552. Cela pofé, foit a= 60°, on aura fin ( 60° + b) = = cof b√ 3 + = fin b... . & fin ( 60° — b) = cofb V3 — fin b. Donc fin (60° + b) = fin (60° - b) +fin b. Par exemple, fin 66°=fin 54° + fin 6°, Connoiffant donc les finus des arcs qui font entre 30° & 60°, on aura tout de fuite ceux qui font depuis 60° jufqu'à 90°; ce qui complétera ce genre de calcul. 553. Reprenons les deux formules....fin (a + b) = fin a cof bfin b cof a.... fin (ab) = fin a cof bfin b cofa, & ajoutons-les enfemble; nous aurons Sin a cof bfin (a+b) + fin ( a − b ). En fouftrayant la feconde de la premiere, nous trou verons • • • Sin b cof a fin (a + b) — — fin (a—b) Faifant les mêmes opérations fur les deux autres for.. mules.... cof (a+b) = cof a cof b— fin a fin b.... cof (a - b) = cof a cof b + fin a fin b, on en déduira .. Cofa cofbcof(a + b) + cos(ab) Sina fin bcof (a—b) — cof (a+b) Ces quatre dernieres formules font utiles quand on veut transformer des produits de finus en finus fimples. Les quatre fuivantes fervent à fubftituer à des fommes ހ ou à des différences de finus, des produits d'autres finus afin que le calcul par logarithmes puiffe s'y appliquer. 554. Soit a + b = p. b 9. Donc .... P q, on aura a= Sin p + fin q=2 fin" +" cof?=" 2 2 555. Suppofons dans les deux premieres formales p=90°, & dans les deux dernierès qo, nous aurons.... * 1+fin q = 2 fin (45° + ૩૧) q) cos(45° — — q) = 2 fin2 (45° +9). q) cos (45° + q) = 2 fin2 (45° — — 9) • cos v. q. - — { = 1-cofp=2 fin2p=fin v. p. 556. Divifons maintenant les formules du n° 554; les unes par les autres, nous aurons. |