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TERMES NEGATIFS.

TERMES POSITIFS.

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90°

m

564. Il en eft de même pour tang & pour cot m On peut donc par le moyen de ces féries calculer les finus & les tangentes de tous les arcs; il n'y a qu'à fubftituer les valeurs convenables de m. Par exemple, pour calculer le finus de l'arc de 30°, on fera m=3, & on aura.....

Sin 30°

= 0,523 598 775 598 299
+0,000 327953 194 428
+0,000 000 008 151 256
+0,000 000 000 000 03.6
+ 0,523 926 736 944 019

0,023 924 596 203 935
0,000 002 140 719 769

0,000 000 000 020 31S

0,023 926 736 944 019

Donc fin 30°

leurs (541).

O ,5; comme on le fait d'ail

Au refte, comme il fuffit de calculer les finus jufqu'à 30° pour avoir tous les autres, la fraction-fera toujours plus petite que enforte que la férie égale à fin

m

Y

90°

m

fera très-convergente. Veut-on, par exemple, avoir le finus de 9°? On fera m=10, & on trouvera auffitôt.... fin 9° 0,156434465040231.

Si on propofoit de trouver le finus d'un arc d'un certain nombre de degrés, avec des minutes, des fecondes, &c; il eft clair qu'on pourroit le trouver par la même méthode. 565. Les finus que l'on a par ce calcul conviennent à un cercle dont le rayon i, & par conféquent pour avoir ceux qui conviendroient à un cercle dont le rayon feroit a, il faudroit multiplier les premieres par a.

Dans les Tables ordinaires, on fuppofe que le rayon = 10 000 000 000, & pour faciliter le calcul, on y a mis les logarithmes des finus, cofinus, tangentes, cotangentes, depuis 1' jufqu'à 90°, en exceptant ceux des arcs où il entre des fecondes, parce qu'il eft facile d'en trouver les finus, cofinus, &c, comme on peut le voir dans les Tables déja citées (290).

566. Quant aux fécantes & cofécantes, on n'en a point fait de Tables particulieres, parce que leur ufage eft peu fréquent, & qu'il eft aifé d'ailleurs de les calculer par moyen des formules fec a

le

I

cof a › & cofec a —

deviennent pour le rayon R des Tables, sec a=

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fin a

1

fin a'

qui

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cofec a = d'où l'on tire Log. fec a 2 LRL cof a = 20.0000000-L cof a, & L cofec a = 20.0000000-L fin a.

567. Après avoir réfolu généralement ce problême : étant donné un arc, trouver fon finus, fon cofinus, fa tangente, &c, il nous refte à donner la folution du problême inverfe: étant donné le finus, ou le cofinus, la tangente ou la cotangente d'un arc, trouver la longueur de cet arc.

Si l'on donne le cofinus ou la cotangente, on a immédiatement le finus & la tangente. Ainfi le problème fe réduit à trouver la longueur d'un arc dont on donne le finus ou la tangente. Or 1°, fi l'on remonte à la valeur de fin a, on en déduira par la

méthode inverfe des féries (284), a = fin a+

fin a
3

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2.3

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+ &c.

2. 4.6.7

2.4.6.8 9

2o. Si l'on nomme t la tangente de l'arc a, on aura (562) t =

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+ &c. Soit a = A ¿ + B t2 + Ċ ¿3 + &c, fubftituant & déterminant les inconnues A, B, C, &c, A

2.3.4

on aura en

1, B =

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7

+ &c.

568. Ces deux féries donnent donc la folution du problême propofé. Appliquons-les maintenant à la recherche du rapport du diametre à la circonférence.

Si on fait fin a=1⁄2, on aura la longueur de l'arc de 30° ={+ + &c. Cette quantité

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+ 2.3.23 2.4.5

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multipliée par 6 donneroit la demi-circonférence, & par conféquent le rapport cherché; mais comme cette férie, toute convergente qu'elle eft, eft affez longue à calculer, il vaut mieux fe fervir de la feconde qui donne, en fuppofant l'arc a de 45° +-+-+ &c. Et parce que la marche de celle-ci eft encore trop lente, on a imaginé un moyen plus expéditif pour avoir la longueur de ce même arc de 45°.

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569. Ce moyen confifte à décompofer l'arc de 45° en deux autres arcs que nous appellerons a & b, & à chercher féparément leur longueur. Or dans cette fuppofition, tang (a+b)=1=

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La fomme des arcs a & b, ou le quart de la demi-circonférence fera donc .....

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d'où l'on tire 3, 1415926535897932 &c; & le rapport du diametre à la circonférence, comme on l'a donné (484).

les

des

570. Avant de terminer cette matiere, nous remarquerons que formules déja trouvées pour les valeurs de tang n A, fin nA, &c. peuvent fervir à trouver les finus, cofinus, tangentes, cotangentes arcs multiples. Car faifant fin as, cofa=c, tang at, on aura la Table fuivante..

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571. On peut auffi par le moyen des mêmes formules trouver les équations qui fervent à divifer un arc ou un angle quelconque en un nombre donné de parties égales, Car alors fin (nA) eft connu, & on cherche fin A. Soit donc fin (nA)=b, fin A=x, & cof A=; ou aura cette équation à réfoudre .... b = nq”-ı x

A:

n.n-1.1-2

2. .3

n. n-1. n-2. n-3.1-4

n- x5

&c. Ainfi en don-

2 3.4.5

{"-3x3 + nant à n les valeurs fucceffives 2 3 • 4, 5, &c, les équations fuivantes ferviront à divifer un arc en autant de parties égales.

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572. Pour faire quelque application de ces principes, nous allons donner la méthode de réfoudre par approximation toute équation du troifieme degré dans le cas irréductible.

Selon ce que nous venons de voir, fi a eft un arc dont le finus b, on aura fina, ou x, en réfolvant cette équation x3-x+=o, & lorfque le rayon du cercle, au lieu d'être on aura x3 · 4 r2 x + 1 b r2 = c.

1, fera=r,

Obfervons maintenant que les ates 180° - a, (180° +a) ont le même finus que l'arc a, enforte que pour les divifer en trois parties égales, on a la même équation, x3 1⁄2 r2 x + 1 br2 réfoudre; d'où il fuit que les trois racines de cette équation, font.

fina, fin

180° a

3

- fin

180° + a
3

x3

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ou finža, fin (60° — } @),

- fin (60° + a). Cela pofé, foit l'équation à réfoudre x3- px+q=0, (fi elle étoit x3 px 9=0, il feroit facile de la ramener à la forme précédente, en faisant x=-y); en comparant cette équation à x3 − 1⁄2 r2x + ÷ br2 = o, on a r2 = p, 4 br2 = 9, d'où l'on tire r = 2 √ } p, b = 22. Donc fi l'on décrit un cercle dont le rayon

39

P

foit 2 VP, l'arc de ce cercle qui aura pour finus 22, étant nommé

P

a, on aura fina, fin ( 60° — — a ), — fin ( 60° + — a ), pour les trois valeurs de x. Mais tout finus doit être plus petit que le rayon; il faut donc que 2 Vip surpasse 31, ou que p3 foit plus grand que q2. D'où

39 P

il fuit que toutes les équations du troifieme degré dans le cas irréductible font réfolubles par cette méthode.

573. Repréfentons par R le rayon des Tables, & nous aurons Rx39 V3 Rx39V3 pour le finus tabulaire de l'arc a, ou fin a =

2 Pvp 2 pvp Or a étant connu, fina, fin (60° + 4) · fin (60° + ¦ a ) le feront auffi, & par conféquent les trois racines de la propofée, feront (en ramenant ces finus à ceux qui conviennent au rayon z vp), 2 √ 1⁄2 P ; fin ( 60° — a), x =

x=

2 †P fina,

R

fin (60° +a).

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Ex. I. Soit l'équation x3-3x+1=o qui donne p = 3, 9 = 1 ; d'ow

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