verfes propriétés des nombres, on va plus directement au fait, en fe fervant de la méthode générale, fondée fur ce principe, que pour réduire à l'expreffion la plus fimple une fraction quelconque, il faut divifer fes deux termes par leur plus grand divifeur commun. Or pour trouver le plus grand commun divifeur poffible de deux nombres quelconques, divifez le plus grand par le plus petit; & fi la divifion fe fait fans refte, le plus petit nombre eft le plus grand divifeur cherché. Si après la divifion, il fe trouve un refte, divifez le plus petit nombre donné, par ce refte; & fi la divifion fe fait fans un nouveau refte, le premier refte eft le plus grand divifeur cherché. S'il fe trouve un fecond refte, divifez le premier par le fecond, & fi la divifion fe fait fans troifieme reste, le fecond eft alors le plus grand commun divifeur que vous puiffiez trouver. En général, le refte qui divife exactement le reste précédent, eft le plus grand divifeur cherché. 91 EXEMPLE. On veut réduire la fraction à l'expreffion 294 la plus fimple qu'il foit poffible. Pour cela 1o, divisez 294 par 91; vous trouverez 3 pour quotient, 273 pour produit, & 21 pour refte. 2o. Divifez 91 par ce premier refte 21: le quotient fera 4, le produit 84, & le fecond refte, 7. 3°. Divifez le premier refte 21 par le nombre 7, & vous aurez 3 pour quotient exact. D'où vous conclurez que 7 eft le plus grand commun divifeur de 294 & de 91. 4 2 294 4°. Divifant donc ces deux nombres par 7, vous aurez, fous l'expreffion la plus fimple, la fraction 13. 57. Reprenons ces diverfes opérations, & faifons voir, 1°. que 7 eft un divifeur commun des nombres propofés; 2°. qu'il eft le plus grand de tous leurs divifeurs communs. Puifque 7 divife 21, il doit divifer 21×4= & par conféquent 84+7=91. Mais s'il divife 91, il doit divifer auffi 91x3=273, & par conféquent 273 +21 294. Il est donc divifeur commun des deux nombres propofés 84, Il est auffi le plus grand de tous leurs divifeurs communs: car tout autre nombre qui diviferoit 91 & 294, devroit divifer 21 qui refte de 294 après en avoir soustrait 91x3=273: il devroit également divifer 7, refte de 91 après en avoir fouftrait 21 x 4 = 84. Or un nombre plus grand que 7 ne peut être un divifeur exact de 7. 58. Pour démontrer cette regle d'une maniere générale, il faut obferver que deux quantités ne font divifibles fans refte par un même nombre, que lorfqu'elles font des produits exacts de ce nombre. La plus grande quantité eft produite par ce nombre pris plus de fois que dans la plus petite quantité: Or deux quantités, A & B étant ainfi compofées, fi ayant ôté la plus petite B de la plus grande A, autant de fois qu'il eft poffible, par exemple trois fois, il n'y a pas de refte, il eft clair que A eft compofé de B pris trois fois, que B eft compofé de B pris une fois, & que par conféquent B eft, dans ce cas, le plus grand commun divifeur des quantités A & B. 2o. Mais fi ayant retranché B de A autant de fois qu'il eft poffible (c'est-à-dire, trois fois dans cet exemple) il fe trouve un refte C; alors A-C eft une quantité compofée de B pris trois fois juftes; ou A C=3 B; par conféquent fi C eft contenu un certain nombre de fois jufte, , par exemple, 4 fois dans B, il fera auffi contenu un nombre jufte de fois dans A-C. Il eft clair en effet qu'on aura B=4C, & A-C-3 B deviendra A—C—3×4 C, d'où l'on tire A-13 C. Il faut donc ôter C de B autant de fois qu'il eft poffible, & fi cela se fait sans refte, C eft la quantité qui a fervi à compofer les quantités A & B. 3°. Mais fi ayant ôté C de B autant de fois qu'il eft poffible, par exemple 4 fois, il fe trouve un refte D: alors B-D eft une quantité compofée de C pris jufte 4 fois, ou B-D 4 C. Donc fiD eft contenu un certain nombre de fois jufte, par exemple 3 fois dans C, il fera juftement auffi dans A & dans B, il fera le nombre qui aura fervi à compofer les quantités A & B. Car on aura C3 D. Donc dans l'équation B-D=4C, on aura B-D=4×3 D, & par conféquent B=13 D; & l'équation A C3 B, deviendra A 3 D= 3 × 13 D. Donc En continuant ce raifonnement, on verra que le dernier refte qui se peut retrancher un certain nombre de fois jufte du refte précédent, eft la quantité qui a fervi à former les deux quantités A & B, & par conféquent qu'il eft leur plus grand commun divifeur. Il eft évident auffi que c'eft la même chofe de divifer une quantité par une autre, que d'en retrancher cette autre, autant de fois qu'il eft poffible. 59. Quand la fraction ne fe peut réduire à une expreffion plus fimple, ces divifions donnent enfin l'unité pour dernier refte. Car l'unité eft un divifeur commun à tous les nom C bres. Il eft fâcheux cependant de ne pouvoir reconnoître qu'une fraction eft irréductible, qu'après avoir fait tous les frais de calcul néceffaires pour s'en affurer. Pour fe rendre familiere la pratique de cette regle, il n'y a qu'à multiplier fucceffivement par un même nombre les deux termes de quelques fractions irréductibles. On verra que le plus grand divifeur commun des fractions provenues de ces multiplications, fera toujours le nombre par lequel on aura multiplié. Par exemple, les deux termes de la fraction multipliés par 84 donnent. Et pour ramener cette derniere fraction à la premiere, il n'y aura qu'à divifer d'abord 252 par 168, enfuite 168 par 84, refte de la premiere divifion. On trouvera que la feconde divifion fe fait exactement, & par conféquent que le plus grand commun divifeur cherché est 84. Voici quelques fractions toutes réduites.... 60. Pour ajouter enfemble des fractions, réduisez-les au même dénominateur, & de la fomme de tous les numérateurs des fractions réduites, faites-en le numérateur d'une nouvelle fraction qui ait le dénominateur commun. Ainfi pour ajouter les fractions &, réduisez-les à celles-ci &; leur fomme eft. 6 Pour ajouter ensemble les fractions,,, je les réduis à celles-ci (52),,; la fomme des numérateurs eft ci 46, j'ai donc & en réduifant à l'expreffion la plus fimple, 1. 249 S'il y a des nombres entiers joints aux fractions, il faut ajouter leur fomme à celle des fractions, ainfi 4+2 ... · 3+4=82/. De la Souftraction des Fractions. 61.POUR fouftraire une fraction d'une autre, réduisez-les au même dénominateur, prenez la différence entre les deux numérateurs, & faites-en le numérateur d'une nouvelle fraction qui ait le dénominateur commun. 8 Voulez-vous, par exemple, fouftraire de ? réduifez ces fractions à celles-ci, il eft clair que la différence eft. ; S'il y a des nombres entiers joints aux fractions, il faut les fouftraire à l'ordinaire, & joindre leur différence à la nouvelle fraction; ainfi pour ôter 3 de 44, il faut écrire 1, ou 1. 62. Mais fi la fraction à fouftraire eft plus grande que celle dont on fouftrait, ou fi l'on a une fraction à fouftraire d'un entier, alors il faut réduire en fraction une unité de ce nombre entier. Par exemple, pour ôter 3de 6, je réduis la quantité 6 à 5, & réduifant & au même dénominateur, j'ai & ; j'ôte de, restent ; j'ôte 3 de 5, & j'ai 2 pour refte; enforte que la différence cherchée eft 2 8 12 4 3 4 7 1 2 De même, pour ôter de 4, je réduis 4 à cette expreffion; 3 de forte que retranchant de 3, reftent 3+ Pour ôter de 2, je réduis 2 à 1, & la différence eft 3 De la Multiplication des Fractions. 63. Le multiplicateur d'une fraction peut être un nombre entier, ou un nombre fractionaire. Dans le premier cas, on multiplie le numérateur feul par l'entier; & on divife le produit par le dénominateur de la fraction. Ainfi Dans le fecond cas, on multiplie les deux numérateurs l'un par l'autre, & on divife leur produit par celui des deux dénominateurs. C'eft ainfi qu'en multipliant par, on trouve pour produit. La raifon de cette double Regle eft très-facile à comprendre. Car en fe rappellant le Principe de la multiplication en général, on verra que le produit doit toujours contenir le multiplicande, comme le multiplicateur contient l'unité (24). Or dans le premier cas, le multiplicateur 5 contient cinq fois l'unité. Il faut donc que le produit contienne cinq fois auffi le multiplicande, & par conféquent que le produit foit 10 Par la même raison, il faut dans le fecond cas, que le produit ne foit que les 2 du multiplicande, puifque le multiplicateur n'eft que les de l'unité. Or les de font: le quart de en effet eft; donc le quart de eŃt = 4: 1⁄2 → donc les trois quarts de font = 28 5.3 7.4 4 7 7.4 Autrement. Si au lieu de ne multiplier que par, on avoit eu à les multiplier par 3, il eût fallu, fuivant la premiere Regle, écrire pour produit. Donc en les multipliant par un nombre quatre fois plus petit que 3, ou par 1, on doit avoir un produit quatre fois moindre que 5; on doit donc avoir 15 28 Exemples. §. 9 = 4/5 = 5 1 • • • • 36 = 11.36 18 I -19:12 = 12 = 9. 2.12 que 64. Toute fraction proprement dite étant moindre l'unité, le produit de deux fractions de cette efpece, doit être moindre que le multiplicande, dans le même rapport le multiplicateur est moindre l'unité. C'est pourquoi, par exemple, multiplié par donne pour produit, que &c. que 65. Si le multiplicande & le multiplicateur étoient des |