*

On prouve de même que les points È & D font refpectivement les pôles des arcs CA & CB.

Cela pofé, foient prolongés ces deux arcs CA & C B jusqu'à la rencontre de l'arc DE: on aura EG 90°, ainfi que DH; donc EG+ DH, ou ce qui revient au même, EG+DG+GH, ou bien encore, ED+GH=180°. L'arc E D eft donc le fupplément de l'arc GH, & par conféquent, de l'angle C dont G H eft la mefure (591).

On prouveroit de la même maniere que les arcs EF & DF font les fuppléments refpectifs des angles A & B.

Prolongeons maintenant l'arc GC jufqu'à la rencontre de l'arc EF; nous verrons que G I fera la mesure de l'angle E, & que la partie AC en fera le fupplément, puifque GC+AI ou GI+A Ċ = 180°. L'arc AB fera de même le fupplément de l'angle F, & l'arc BC fera le fupplément de l'angle D; d'où nous pouvons généralement conclure que fi des trois angles d'un triangle fphérique quelconque, pris pour pôles, on décrit trois arcs dont la rencontre forme un nouveau triangle Sphérique, les angles & les côtés de ce dernier triangle feront réciproquement les fuppléments des côtés & des angles qui leur font oppofes dans le premier.

Ainfi l'angle E du triangle extérieur + l'arc AC qui lui est oppose dans le triangle intérieur, ont 180° pour mefure: & réciproquement l'arc DE du triangle extérieur l'angle C qui lui eft opposé dans le triangle intérieur, ont auffi pour mesure 180°, &c.

599. Ce triangle extérieur D E F s'appelle le Triangle fupplémentaire du triangle ABC. On en fait un grand ufage dans la Trigonométrie fphérique; & nous allons nous-mêmes l'appliquer à la recherche de la limite en moins, pour la valeur des trois angles A, B, C.

Ces trois angles ont pour fuppléments refpectifs les trois côtés du triangle fupplémentaire. Ils forment donc avec eux la valeur de fix angles droits. Or la fomme de ces trois côtés eft toujours moindre que quatre angles droits (596). Donc la fomme des trois angles A, B, C eft néceflairement plus grande que 180°.

600. Il réfulte de là 1o, que la fomme des angles d'un triangle sphérique peut varier depuis 180° jufqu'à 540, exclufivement. Et que par conféquent il n'eft pas poffible de déduire la valeur du troifieme angle, de celles des deux autres, comme cela fe pratique pour les triangles rectilignes.

Il réfulte 2o, que les trois angles d'un triangle fphérique peuvent être droits, ou même obtus, & à plus forte raifon aigus, pourvu que *. dans ce dernier cas, leur fomme furpaffe au moins 180°.

601. S'il falloit juger du rapport de deux triangles fphériques dont les trois angles feroient refpectivement égaux, on auroit recours à leurs triangles fupplémentaires, & on diroit. Les côtés de ces derniers triangles ne peuvent qu'être égaux, chacun à chacun, puifqu'ils font les fuppléments refpectifs d'angles égaux. Or cette égalité des trois côtés entraîne celle des trois angles (404). Les deux triangles fupplémen

taires font donc parfaitement égaux: leurs angles ont donc des fupplé- FIG. ments égaux. Mais ces fuppléments font les côtés mêmes des triangles propofés. Donc deux triangles Sphériques font égaux, toutes les fois que leurs trois angles font refpectivement égaux.

C'est une propriété remarquable des triangles fphériques; elle n'a pas fieu, comme on le fait, dans les triangles rectilignes, dont on ne peut jamais, en pareil cas, conclure autre chofe que la fimilitude.

D'ailleurs l'égalité entre deux triangles fphériques a lieu encore, foit forfque deux côtés refpectivement égaux forment un angle égal dans chaque triangle, foit lorfque deux angles de l'un, égaux à deux angles de l'autre, font formés fur un côté égal. Il est aifé de le démontrer de la même maniere que pour les triangles rectilignes.

602. Soit maintenant le triangle iphérique CAB, dont je fuppofe 109: que les côtés C A & C B font égaux. Je voudrois favoir fi les angles oppolés à ces côtés font égaux ?

Je prends CD CE, & je mene les arcs BD & AE; ce qui me donne d'abord deux triangles CA E, CBD parfaitement égaux. L'arċ A E eft donc égal à l'arc BD; d'où je conclus l'égalité de deux autres triangles, favoir ABE & ABD. L'angle A & l'angle B font donc* égaux; & par conféquent, dans tout triangle sphérique, les côtés égaux font oppofès à des angles égaux.

La propofition inverfé fe démontre par le triangle fupplémentaire. 110. 603. Si on vouloit prouver que dans un triangle (phérique ABC, un plus grand angle eft toujours oppofé à un plus grand côté, on pourroit dire.... Soit A plus grand que B; je puis mener un arc DA qui faffe l'angle D A B égal à l'angle B : j'aurai donc un triangle ifofcele A B D. L'arc B CD fera donc égal à A D + DC: mais AD+DC eft vifiblement plus grand que AC; donc l'arc BC oppofé à l'angle A, est plus grand que l'arc AC oppofé à l'angle B.

Au moyen du triangle fupplémentaire, la propofition inverfe n'a aucune difficulté.

604. Soit maintenant le triangle fphérique ABC que l'on fuppofe 111. rectangle en A : il peut arriver que l'angle B foit oppofé à un arc qui ait moins de 90°, tel que l'arc A C, ou qui foit de 90°, tel que AD, ou qui ait plus de 90°, comme l'arc A E. On demande de quelle efpccè fera l'angle B dans ces trois cas? Sera-t-il aigu, droit, ou obtus?

Puisque l'arc AD est de 90°, & que de plus il eft perpendiculaire fut l'arc A B, on ne peut douter que le point D ne foit le pôle de A B; donc en abaiffant de ce point l'arc DB, on aura un angle droit DBA. L'angle C B A fera donc aigu, & l'angle EBA fera obtus. L'angle B eft donc de même efpece que le côté qui lui eft oppofé. Il en eft de même de l'angle C.

605. Pour diftinguet ces angles de celui que l'on a fuppofé droit, on les appelle les angles obliques. On peut donc dire que dans tout triangle Sphérique rectangle, chacun des angles obliques eft de même espece que le côté qui lui eft oppofé.

FIG.

Cette dénomination d'angles obliques n'empêche pourtant pas qu'ils ne puiffent être droits auffi-bien que l'angle A. Ils peuvent même être III. obtus; mais on eft convenu de les défigner ainfi, pour abréger le difcours; & on appelle hypothénufe, le côté oppofé à celui des angles droits que l'on confidere comme tel. Ainfi BC eft l'hypothénufe du triangle BA ̊C.

112.

113.

606. Comme les deux côtés de l'angle droit peuvent être de même efpece, ou d'efpece différente, il eft bon de favoir d'avance de quelle efpece doit être l'hypothénufe dans chacun de ces deux cas.

Suppofons donc d'abord que A C & A B aient chacun moins de 90°; l'angle ACB fera donc aigu, & par conféquent fon fupplément BCD fera obtus. Le côté B D oppofé à ce fupplément, dans le triangle DBC, fera donc plus grand que le côté B C oppofé à l'angle CDB (603). lequel doit être aigu par la même raifon que l'angle ACB.. Or le côté BD n'eft que de 90°; donc l'hypothénufe B C doit alors avoir moins de 90°.

il

Suppofons enfuite que AC & AB aient plus de 90° chacun, & menons un arc B D qui coupe l'arc AC de maniere que AD foit de 90°. Cet arc BD fera auffi de 90°. Mais l'angle C eft obtus; l'angle ADB l'eft de même; fon fupplément B D C eft donc aigu; & comme tel, doit être oppofé, dans le triangle BCD, à un côté moindre que celui qui eft oppofé à l'angle C... L'hypothénufe B C eft donc alors moindre que B D; c'est-à-dire, qu'elle a, dans ce fecond cas comme dans le premier, moins de 90°.

Refte à favoir, ce qu'elle aura dans la fuppofition que les deux côtés de l'angle droit aient l'un plus de 90°, & l'autre moins.

Soit, par exemple, A B plus grand que le quart de cercle AD; foit AC plus petit que AD: on aura l'arc CD de 90°, & l'angle C D A fera aigu; CDB fera donc obtus ; & par conféquent l'arc BC qui lui est oppofé, fera plus grand que C D. Il aura donc plus de 90°.

607. Il fuit de la que fi les deux côtés de l'angle droit d'un triangle Sphérique rectangle font de même efpece, l'hypothénufe a moins de 90°, &que toutes les fois qu'ils font de différente espece, l'hypothénuse a plus

de 90°.

Et comme les angles obliques font toujours de même espece que les côtés qui leur font oppofés, on voit bien qu'ils peuvent également fervir à faire connoître de quelle efpece eft l'hypothénufe.

608. Comme auffi l'hypothénufe peut fervir, à fon tour, à déterminer de quelle efpece font les côtés de l'angle droit & les angles obliques. Car, par exemple, fi l'hypothénufe & un des côtés font de même efpece, l'autre côté a moirs de 90°; & toutes les fois que l'hypothénufe & un des côtés font de différente cfpece, l'autre côté a plus de 90°.

Obfervez cependant que dans le cas où un des côtés de l'angle droit feroit de 90°, l'hypothénufe auroit auffi 90°; & qu'il peut arriver alors que l'autre côté foit de 90° comme le premier. Dans ce cas-là, les trois angles font droits, cela eft évident. Il peut arriver auffi que cet autre

côté ait plus ou moins de 90°. Nous allons expliquer la maniere de ré- FIG. foudre les triangles fphériques dans ces différents cas.

609. On fait par la Trigonométrie rectiligne que les finus des angles font proportionels aux côtés oppofés à ces mêmes angles. Mais comme dans les triangles fphériques, les côtés font des arcs de cercle, cette proportion ne peut avoir lieu. Il faut donc tâcher d'en fubftituer une au tre qui convienne à ces fortes de triangles.

Principes & Proportions pour la réfolution des Triangles
Sphériques.

610. Je fuppofe que le triangle A B C foit rectangle en A, & que 114. les côtés B A & B C foient prolongés, jufqu'à ce qu'ils aient 90°, l'un en H, l'autre en F.

L'arc F H fera la mesure de l'angle B; FG en fera le finus; FE, ou HE, ou BE fera le rayon de la fphere; C D le finus de l'hypothénufe BC, & CI le finus de l'arc perpendiculaire CA.

Or en menant la ligne DI, on voit que le triangle CDI, rectangle en I, est semblable au triangle FG E, rectangle en G : on a donc. FE: CD::FG: CL.

c'eft-à-dire, que le rayon eft au finus de l'hypothénufe, comme le
finus de l'angle B eft au finus de l'arc oppofé CA. On prouveroit de
même que le rayon
eft au finus de l'hypothénufe, comme le finus de
T'angle C eft au finus de l'arc oppofé AB. On a donc généralement ce
premier principe de folution...

611. Dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon eft au finus de l'hypothénufe, comme le finus d'un des angles obliques eft au finus du côté qui lui eft oppofé.

612. Si le triangle ABC eft obliquangle, on aura, en abaissant un arc perpendiculaire CD, les deux proportions suivantes :

R: fin AC::fin A : fin CD.

R: fin BC:: fin B: fin CD.

Donc fin A: fin B:: fin BC: fin AC ; & par conféquent, dans un triangle fphérique quelconque, les finus des angles font proportionels aux finus des côtés oppofés.

613. Soit maintenant le triangle ABC, rectangle en A, dont les côtés B C & A C foient prolongés jufqu'à 90°, l'un en D, l'autre en E: fi on mene l'arc DE, on aura le triangle CDE, rectangle en E, dont les quatre parties CE, CD, DE & D, feront les complémens refpectifs des quatre BC, AC, B &AB du triangle ABC: (la démonftration en eft facile.) De-là vient le nom de triangles complémentaires pour les triangles ainfi formés. Or dans le triangle complémentaire CDE, on a

iis.

&

116,

FIG.

115.

R: fin CD :: fin D : fin CE;

ou bien . . . . . R:cofAC:: cofAB: cosBC.

Donc, dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon eft au cofinus d'un des côtés de l'angle droit, comme le cofinus de l'autre côté eft au cofinus de l'hypothénufe.

Et par conféquent, si un triangle sphérique obliquangle eft partagé en deux triangles rectangles par un arc perpendiculaire fur la bafe, on aura toujours les cofinus des fegments de la bafe, proportionels aux cofinus des deux côtés adjacents.

En forte que dans le triangle A B C, par exemple, après avoir décrit l'arc perpendiculaire CD, on auroit

cof AC: cofBC:: cofAD: cofB D;

Or cette proportion en donne une autre, que voici : tof AC+ cofBC: cofBC-cof AC:: cof AD+ cofBD: cofBD-cofAD. De celle-là on peut en tirer une troifieme qui eft (556).

AC+BC

BC-AC

AD+BD

BD-AD

116.

117.

.115.

&

[116.

118.

2

tangentes

Mais AD+DB=A B, toutes les fois que l'arc perpendiculaire tombe
en dedans du triangle; on a donc alors, par la substitution des
aux cotangentes, une derniere proportion qui eft d'un fréquent ufage,
& que l'on peut énoncer de la maniere fuivante.

614. Dans tout triangle sphérique obliquangle, fur la bafe duquel on a abaissé un arc perpendiculaire qui tombe en dedans du triangle, la tangente de la demi-bafe eft à la tangente de la demi-fomme des deux autres côtés, comme la tangente de la demi-différence de ces côtés eft à la tangente de la demi-différence des fegments de la bafe.

Remarquez que fi l'arc tomboit en dehors, on auroit AD—BD= AB; & qu'il faudroit fimplement fubftituer alors la tangente de la demi-fomme des fegments à la tangente de leur demi- différence. 615. Revenons maintenant au triangle complémentaire CDE, qui donne R: fin CD::fin C : fin DE.

Donc... R cof AC::fin C: cofB;

C'eft-à-dire, que dans tout triangle fphérique rectangle, le rayon eft au cofinus d'un des côtés de l'angle droit, comme le finus de l'angle oblique oppofé à l'autre côté, eft au cofinus de l'autre angle oblique.

616. Et par conféquent, fi on abaiffe un arc perpendiculaire fur la bafe d'un triangle obliquangle, les finus des angles du fommet feront proportionels aux cofinus des angles de la bafe.

Dans le triangle obliquangle A CB, on a donc

fin ACD: fin BCD:: cof A: cof B.

617. Soit à préfent le triangle ABC rectangle en A, & foient me