FIG. 119. Log cof BC.... 81° 13′ = 9.183834 Ce qui donne 83° 22′, & non 96° 38', puifque BC & B font de 624. Si au lieu de connoître l'hypothénuse, on eût connu le côté adjacent AB, avec le même angle B, & que l'on eût cherché le côté oppofé AC, il eût fallu alors employer la proportion fuivante : R:fin AB:: tang B: tang AC qui donne . . . . Log fin AB 79° =9.991947 Log tang B. 37.199.88210f Log tang AC .... D'où on eût conclu que la valeur de A est de 36° 48′, comme nous 625. Cherchons maintenant l'hypothénuse BC, en supposant connnes les deux mêmes quantités AB & B. Ni la premiere, ni la feconde des proportions énoncées ci-deffus (622) ne peut être appliquée immédiatement au triangle ABC: mais dans le triangle complémentaire CDE, on connoît D & DE; on a donc ......R: fin DE: : tang D: tang CE ; & en substituant, on trouve.. R: cof B:: cot AB: cot B C. Log cof B 37° 19′ = 9.900529. ... Log cot AB... 79° = 9.288652. Donc BC eft de 81° 13', puifque B & AB font de même efpece. R: cofAB::fin B: cof C Log cof AB 79° = 9.280599. Log fin B 37° 19' 9.782630. =9.063229. L'angle C eft donc de 83° 22′, ou fi on veut pouffer l'exactitude julqu'aux fecondes, de 83° 21' 33". Cette petite différence vient de ce que le côté AB eft fuppofé ici de 79°, au lieu que nous avons déja trouvé 79° 0' 20" pour fa valeur. 626. Après avoir déterminé, dans deux cas différents, les trois Sparties inconnues du triangle rectangle ABC, il nous refte à examiner Les cas où cette détermination eft impoffible. Et d'abord, fi on fuppofe connus le côté AB & l'angle oppose C, il eft clair que l'on ne peut connoître de quelle efpece eft l'hypothénufe: FIG. car alors la premiere proportion donne fin C: fin AB:: R: fin BC. Mais ce dernier finus appartenant indifféremment à une hypothénufe moindre que 90°, ou à fon fupplément, il faudroit favoir de quelle efpece font les deux angles obliques, pour se déterminer dans le choix. Faute de cette connoiffance, le cas eft douteux: auffi eft-il marqué comme tel, dans la quatrieme colonne de la Table. On éprouve le même embarras, quand il s'agit de trouver la valeur du côté A C, les mêmes chofes étant données. En effet, par la feconde proportion (622) on a tang C: tang AB:: R: fin AC; mais rien n'indique, dans ce cas-là, de quelle efpece eft le côté A C. Même difficulté pour l'angle B, dont la valeur fe déduit de la premiere proportion (622), appliquée d'abord au triangle BFG, & tranfportée enfuite au triangle ABC. Car on a, dans le triangle BFG,/ fin BF: R::fin FG: fin B; ce qui donne, dans le triangle ABC, cof AB: R:: cofC : fin B, fans que l'on puiffe favoir de quelle efpece eft l'angle B. Voilà donc un premier cas dont les variétés offrent trois folutions ambiguës. Un autre cas parfaitement femblable, celui où l'on fuppofe connus le côté A C & l'angle oppofé B, en offre trois autres. En général, toutes les fois que dans un triangle fphérique rectangle on ne connoîtra qu'un des angles obliques, & le côté qui lui eft oppofé, la valeur des trois autres parties ne pourra être déterminée. 627. Il y a donc fix folutions imparfaites, parmi les trente Problêmes qu'offre à réfoudre tout triangle fphérique rectangle. Au refte, on pourroit réduire à feize ces trente queftions, en fupprimant celles qui font abfolument femblables: mais on eft bien aife de trouver dans une Table, la proportion dont on a befoin, fans qu'il y ait aucun changement à faire, Passons maintenant à la résolution des triangle's obliquangles. Réfolution des Triangles fphériques obliquangles. 628. Elle eft fufceptible d'autant de variétés qu'il y a de combinaifons différentes entre les fix parties d'un triangle, prifes quatre à quatre. Or il y a quinze de ces combinaifons (313), & chacune a trois cas différents. Il y a donc 45 problêmes à réfoudre, pour les triangles obliquangles. Mais comme la réfolution des uns entraîne souvent celle des autres, on les a réduits aux douze fuivants. 119 FIG. 120. 115. & 629. Dans un triangle fphérique obliquangle ABC, étant donnés. deux angles, B & A, & le côté oppofé à l'angle A, trouver le côté AC opposé à l'autre angle. Le calcul donnera 77° 5', ou 102° 55', fans que l'on puiffe fe décider entre ces deux résultats, à moins que l'on ne fache d'ailleurs de quelle espece doit être le côté cherché. I I. 630. Etant donnés deux angles A & B, avec le côté BC opposé à l'angle A, trouver le troifieme angle. Abaiffez un arc perpendiculaire CD, & vous aurez dans le triangle BCD (620) R: cof BC 116. Puis (616) cof B: cof A Ajoutant donc ces deux angles, ou fouftrayant l'un de l'autre, fuivant B=82° 36' . BC 59° 40′, & vous II° = 9.703317. Log tang B =10.886467. 14° 25' (608) L'angle ACD eft donc de 67° 39', ou de 112° 21'; ce qui donne 82° 4', où 126° 46', pour l'angle cherché A BC, fans qu'il y ait moyen de déterminer par les quantités connues la valeur qui doit être préférée. I I I. 631. Etant donnés deux angles A & B avec le côté opposé BC, comme dans le problême précédent, trouver le côté AB compris entre ces deux angles. L'arc perpendiculaire CD forme deux triangles rectangles ACD & DCB, dont le dernier donne (617) R: cof B:: tang BC: tang BD. D'ailleurs on a (619) tang :: fin BD: fin A D. 115 & A: tang B On aura donc AB=AD+DB, felon que les angles donnés 116. feront de même ou de différente efpece. Le côté A D eft donc de 64° 25', ou de 115o 35'; & comme dans cet exemple, les angles A & B font de même efpece, il faut ajouter les deux fegments BD & AD; par conféquent le côté A B doit être de 76° 50', ou de 128°. I V. 632. Etant donnés deux angles A & C, avec le côté fur lequel cas angles font formés, trouver le troifieme angle B. On a d'abord (620) R: cof AC:: tang A: cot ACD. L'angle B CD fe trouve en fouftrayant A CD de AC B, lorfque l'arc V. 633. Etant donnés, comme ci-deffus, les deux angles A & C, avec le côté compris AC, trouver l'un des deux autres côtés, BC par exemple. R: cof AC:: tang A: cot ACD. (618) cof BCD: cof ACD:: tang AC: tang BC. V I. 634. On fuppofe connus deux côtés quelconques, AC & BC par 120 exemple, avec un des angles oppofés à ces côtés, tel que l'angle A, trouver l'angle B oppofé à l'autre côté. Ce problême fe réfout par la proporrion fi connue.... fin BC: fin AC::fin A: fin B. Et fi on donne aux côtés connus & à l'angle A, les mêmes valeurs que ci-dessus, on trouvera celle de l'angle B, par le calcul suivant, L'angle B eft donc de 82° 36', comme nous l'avons fuppofé, ou de 97° 24' comme nous aurions pû le fuppofer auffi. Ce problême rentre évidemment dans le premier, ils ne différent entre eux que par une inversion de termes, dans la proportion qui les réfout l'un & l'autre. VII. 635. Les mêmes chofes étant données, on demande le troifieme 115. côté AB & 116. 108. AD. R: cof A:: tang AC : tang Par la premiere de ces deux proportions on connoît AD, par la feconde on connoît B D: ainfi on aura AB= ADBD, fuivant la pofition de l'arc perpendiculaire. Si on eût rapporté au triangle fupplémentaire les quantités connues dans le triangle ABC, on eût eu fimplement à réfoudre ce problême (629)... Connoître le troifieme angle, quand on connoît les deux autres & un des côtés qui leur font oppofés. Car ce problême une fois réfolu on eût trouvé la valeur du côté cherché AB, en prenant fupplément de ce troifieme angle. VIII. 636. Dans la même hypothèse, trouver l'angle C, compris 115 les deux côtés connus AC & BC. &. 116. R: cofAC:: tang A : cot ACD. tang BC: tang AC:: cofACD: cof BCD; le d'où l'on tire ACB=ACD+BCD, fuivant que les côtés AC & BC font de même ou de différente espece. Le triangle fupplémentaire eft également propre à réfoudre ce pro blême, en le rappellant au troifieme. 637. Etant donnés deux côtés A C & AB, avec l'angle A compris entre ces côtés, trouver l'autre côté BC. R: cofA:: tang AC: tang AD. cof AD: cofBD:: cof AC: cof BC. |