638. Les mêmes choses étant connues, trouver l'un des deux autres angles, l'angle B, par exemple.

639. Si les trois côtés font connus, comment trouver un des trois angles, A, par exemple?........ On fait (613) que

Cette premiere proportion fera connoître le segment AD, & la pro portion qui fuit, donnera l'angle A;

tang AC: tang AD::R: cofA.

Reprenant donc les mêmes valeurs que ci-devant, on aura 1°;

co Log tang (AB)....... 38° 25'
Log tang (AC+BC).. 68 22
Log tang (AC-BC).. 8 42

= 0.100692.

10.401838.
9.185174

Log tang (AD-DB)........ = 9.687704.

La demi-différence des deux fegments eft donc de 25° 59′ qui étant ajoutés à la demi-bafe, 38° 25' donnent 64° 24' pour le plus grand fegment AD. Cela pofé, on aura 2o.

Ce Logarithme répond à 61° 24′. L'angle A eft donc de 61° 24'. Nous avons pourtant fuppofé ailleurs (629) qu'il étoit de 61° 25'. D'où peut donc provenir cette petite différence?

Elle provient des quantités négligées dans l'évaluation des logarithmes: car fi on eût calculé jufqu'aux fecondes, on eût trouvé pour la demi-différence des fegments, 25° 58' 30", qui étant ajoutés à 38° 25', euffent donné pour la valeur de AD, 64° 23' 30". Or le logarithme de tang 64° 23′ 30′′ est 10.319394, lequel substitué à 10.319556, donne pour résultat 9.679868, qui répond à 61° 25'.

640. Ce dernier problême peut fe réfoudre par une feule proportion, que l'on trouve démontrée dans plufieurs Traités de Trigonométrie, & dont il eft facile de calculer les termes par logarithmes. Nous ne ferons que l'énoncer.

115

FIG. Le produit des finus des côtés AB & AC qui comprennent l'angle cherché A, eft au produit des finus de ce qui refte de la demi-fomme des trois côtés, quand on en a fouftrait féparément ces mêmes côtés AB & AC, comme le quarré du rayon, est au quarré du sinus de la moitié de l'angle cherché.

12.1.

X I I.

641. Etant donnés les trois angles, trouver un côté, A C, par exemple. Ce problême, réfolu par le triangle fupplémentaire, ne différeroit pas du problême précédent : mais on peut auffi le réfoudre par les deux proportions fuivantes, en fuppofant que l'arc CF coupe en deux parties égales l'angle ACB.

cot (A+B): tang (BA): : tang C: tang DCE.

tang A: cot ACD::R: cofAC.

La premiere donne la valeur de l'angle DCE, qui étant ajouté à l'angle ACE fera connoître l'angle ACD: or celui-ci une fois connu, on trouve bien vîte le côté cherché A C par la feconde proportion. Soit donc A 61° 25' . B=82° 36' ..C= 82° 4'

Ainfi l'angle formé par l'arc perpendiculaire & par celui qui coupe Fangle C en deux parties égales, doit être dans ce cas, de 26° 36' 59": Ajoutant donc cette valeur à la moitié de l'angle C, on aura 67° 38' 59" pour la valeur de l'angle A CD; & la feconde proportion donnera

Le côté A C fera donc de 77° 3' 18".

-- 1.736269.

9.614006.

10.

9.350275.

Nous l'avions déja trouvé de 77° 5' dans la réfolution du premier problême, mais cette différence ne provient que des quantités négligées dans l'évaluation des logarithmes.

642. A cette double folution on pourroit en ajouter une troifieme, déduite de la proportion fuivante.

Le produit des finus des angles A & C eft au produit des cofinus des deux reftes que l'on trouve après avoir fouftrait séparément chacun de ces deux angles, de la demi-fomme des trois angles, comme le quarré du rayon eft au quarré du cofinus du demi-côté A C.

643. Et cette proportion peut également s'appliquer aux triangles rec- FIG. tilignes, parce qu'en fuppofant les triangles fphériques bien petits, leurs côtés font des arcs infenfibles que l'on peut regarder comme des finus ou des tangentes des angles oppofés. Telle eft donc l'analogie de la Trigonométrie fphérique avec la Trigonométrie rectiligne, que la plûpart des formules de la premiere peuvent être appliquées à la feconde, par une fimple fubftitution des côtés, aux finus ou aux tangentes de ces

mêmes côtés.

Vous obferverez cependant que les formules où il entre des cofinus & des cotangentes, ne font pas fufceptibles de cette application; & vous favez bien pourquoi.

644. La théorie que nous venons d'expofer, embraffe générale ment tous les cas des triangles fphériques. Mais le nombre des proportions à retenir, & celui des précautions qu'il faut prendre fuivant les divers cas, n'étant pas réduits au degré de fimplicité que l'on pour roit défirer, plufieurs Géomètres ont travaillé fucceffivement à cette réduction.

Nepper, que l'invention des logarithmes a rendu fi célèbre, n'a pas été le moins heureux dans cette recherche. Deux feules proportions lui fuffifoient pour réfoudre prefque tous les problêmes de trigonomé trie fphérique. On peut voir l'énoncé de ces propofitions dans fon Ou vrage : il y a cépendant une multiplicité de parties adjacentes, & de parties Jéparées, qui jointes à ce qu'il appelle la partie moyenne, entraînent quelque confufion.

D'autres Géomètres ont réduit toute cette théorie à des formules purement analytiques; mais quand même on donneroit la préférence à ces méthodes, on auroit bien de là peine à fe paffer entiérement de celle des anciens Géomètres, à caufe de la clarté qu'y répandent les figures dont on fe fert.

Quelques applications de la Trigonométrie sphérique.

645. Etant donnée la déclinaifon d'un aftre, trouver fon amplitude & fon arc diurne pour un lieu dont la latitude eft connue.

La folution de ce problême fuppofe quelques notions d'Aftronomie : ainfi tout Lecteur qui n'aura pas déja ces notions, peut paffer au' Chapitre fuivant.

Soit HZO la moitié du Méridien du lieu propofé... HAO la moitié 1227 de fon Horizon EAQ la moitié de l'Equateur...... Z le Zénith... P le Pôle Boréal... A le vrai point d'Eft... MN ou EC la déclinaison de l'aftre dont il s'agit... C M c une partie du parallele que cet aftre doit parcourir... PMN un quart de cercle horaire.

Cela pofé, on aura l'arc A M pour l'amplitude ortive, l'arc MC ou NE pour l'arc femi-diurne, & on connoîtra dans le triangle rectan

FIG. gle AMN, le côté M N, l'angle N & l'angle oblique M A N, qui

eft le complément de la latitude donnée.

Ainfi pour connoître AM on fera la proportion fuivante.

fin MAN fin MN: Rfin AM;

& pour avoir AN, on fera cette autre proportion.

tang M AN: tang MN ::R: fin AN.

Appellant donc la latitude L & la déclinaison D, on aura,

tang (90°-L)

tang D tang L.

Ce qui donnera pour l'amplitude cherchée deux folutions, dont la plus petite fera la feule convenable. On aura auffi la valeur de AN, qui étant convertie en temps, à raifon de 150 par heure, fera connoître ce qu'il faut ajouter au quart A E de l'équateur, c'est-à-dire, à fix heures, pour avoir la moitié du temps que cet aftre doit paffer sur l'horizon.

122. Si par hazard on demandoit l'arc femi-diurne d'un aftre dont la déclinaifon fût auftrale, il faudroit alors fouftraire AN de AE, après les avoir réduits en temps.

EXEMPLE I.

La latitude de Paris eft de 48° 50', & on demande quel doit être, par rapport à cette ville, l'arc femi-diurne d'une étoile placée à 25° de déclinaison australe ?

h

= 9.726960.

Ce qui donne 32° 13' 40" pour l'arc A N. Cet arc réduit en temps vaut 2 h8'55", qu'il faut fouftraire de fix heures, pour avoir l'are femi-diurne de 351'5"; d'où on conclud qu'une étoile placée à 25° de déclinaison auftrale, refte fur l'horizon de Paris pendant 7 h 42' To". On trouveroit que fon amplitude eft de 39o 56' 36", vers le pôle antarctique.

Quel eft le plus long jour de l'année pour l'horifon de Paris, & combien ce jour dure-t-il? Le plus long jour eft évidemment celui où le Soleil parcourt le Tropique du Cancer, & comme alors fa déclinaison eft de 23° 28′ 20′′, on a

اور

Ce dernier logarithme répond dans les Tables à 29° 46' 32"; ce qui fait I h 6. Donc l'arc femi-diurne du Solftice d'Été eft de 7 h 591 6"; & par conféquent le plus long jour de l'année pour l'horizon de Paris feroit de 15 h 58' 12", fi la réfraction n'influoit pas dans fa durée. De quelle quantité y influe-t-elle ? c'est ce que nous allons examiner dans l'exemple fuivant.

EXEMPLE III.

On fait que la réfraction fait paroître à l'horizon tous les aftres qui font réellement 32' 20" au-deffous, en comptant ces 32' 20" fur un vertical. Le Soleil paroît donc fe lever, avant qu'il ait atteint l'hori zon, & le foir on le voit encore, quoique déjà au-deffous de ce cercle. Il en résulte par conféquent une augmentation quelconque dans la durée du jour. De combien eft-elle ?

à ce

Soit D m d un demi-cercle tracé parallèlement à l'horizon, à 32' 122. zo" d'intervalle: il eft clair qu'auffitôt que le Soleil eft parvenu parallele en m, la réfraction l'élévera de 32' 20" = mr, & le fera paroître fur l'horizon au point r. Alors fon amplitude apparente fera Ar c'est-à-dire, que fon amplitude vraie fera augmentée de la tité M r, en vertu de la réfraction.

quan

3

D'ailleurs, puifque le Soleil paroît être à l'horizon, dès qu'il est en m, l'arc femi-diurne eft représenté par En; ainfi le prolongement du jour eft exprimé par Nn, qu'il s'agit de calculer.

Comme le triangle Mrm eft très-petit, on peut le résoudre par la Trigonométrie rectiligne, qui donne M m =

m r

cofPMO

cofPO. Sin MPO=cof L. Sin ang. hor; donc Mm=

On a d'ailleurs la proportion fuivante;

Donc N n =

mr

Or cofPMO

mr

cof L. fin ang. hor.

; formule qui fait

Mm cofD cof D. Cof L. Sin ang. hor. connoître immédiatement l'effet de la réfraction fur l'heure du lever & du coucher d'un aftre quelconque, vu d'une latitude quelconque.

Si nous prenons, par exemple, le Soleil dans le Tropique du Cancer à 23° 28' 20" de déclinaison, vu à la latitude de Paris, & fi nous faifons mr 32′ 20′′ 1940'', nous aurons Nn3702".