FIG. 123. REMARQUE. Si on imagine le petit arc vertical mr prolongé jusqu'au Zénith Z, & fi on mene le quart P mn d'un cercle horaire, on aura un triangle fphérique ZPm, dans lequel on connoîtra le côté Z P, complément de la latitude, le côté Pm, complément de la déclinaison, & le côté Z m qui eft de 90° 32′ 20′′" D'où il fuit qu'en réfolvant ce triangle par le Problême XI, on pourra connoître immédiatement l'angle ZPm, dont la mesure eft farc femi-diurne E n. On pourra connoître auffi l'angle PZm dont la mefure eft l'arc O, complément de l'amplitude apparente A r, ce qui menera à une folution plus directe du problême propofé. EXEMPLE IV. Etant données la longitude & la latitude de deux Villes, trouver leur plus courte distance. par Pour la connoître, il faut mefurer l'arc de grand cercle qui paffe les deux lieux propofés; car on fait que fur la furface d'une fphére le plus court chemin d'un point à un autre, eft l'arc de grand ĉercle qui paffe par ces deux points. Cela pofé, foit P le pôle ... EQ une portion de l'équateur... PCQ & PBE deux quarts de cercle qui paffent l'un par le point C & l'autre par le point B, que je fuppofe être les points donnés. Soir enfin BC l'arc de grand cercle qui mefure leur diftance. On connoîtra dans le triangle fphérique PBC, les deux côtés PB & PC, complé ments respectifs des latitudes données; & l'angle P dont la mesure eft l'arc EQ différence des longitudes. Ainfi on connoîtra BC par problême IX. le Soit, par exemple, la latitude CQ de 48° 50' 10", comme elle l'eft pour Paris, & foit BE= 43° 7' 24", comme elle l'eft pour Toulon. Ces deux Villes différent en longitude de 3° 36′ 35′′: ainfi l'angle CPB, ou ce qui eft la même chofe, l'angle EPQ eft de 3° 36' 35". Si on fait le calcul, on trouvera BC6° 14' 15", ce qui donne pour la diftance de Paris à Toulon, fans avoir égard à la finuofité des chemins, 178 lieues de 2000 toifes chacune, en fuppofant que le degré moyen du Méridien en France eft de 57060 toifes. EXEMPLE V. Etant données l'afcenfion droite & la déclinaison d'un astre, déterminer fa latitude & fa longitude. Soit P le pôle de l'équateur ABC; foit N le pôle de l'écliptique 124. EBD; foit PMQ le cercle de déclinaifon, & NMR le cercle de latitude qui paffent l'un & l'autre par l'aftre que je fuppofe en M. Le problême fe réduit à trouver BR & MR, étant donnés BQ & QM: or dans le triangle PMN, on connoît PM complément de Connoiffant la latitude d'un lieu donné & la déclinaifon d'un aftre, avec une hauteur de cet aftre, obfervée à un inftant quelconque, trouver fon Azimut, fa distance au Méridien, & l'heure qu'il étoit au moment de l'observation. FIG Soit K le lieu de l'aftre, quand on obferve dans fon parallele 122. CM c; foit ZKF un vertical, PK un cercle horaire. On aura K F pour la hauteur observée, & ZK pour complément. PK fera le complément de la déclinaison, Z P fera le complément de la hauteur du pôle. Ainfi on connoîtra les trois côtés du triangle ZPK; & par conféquent on pourra déterminer l'angle KZP, dont le fupplément HF fera l'Azimut de l'aftre, & l'angle ZPK qui mefure la distance de l'aftre au Méridien, ou le temps qu'il emploiera à y parvenir, s'il n'y eft pas déja paffé. On aura donc par ce calcul & par celui de l'ascension droite du Soleil, le temps du paffage de l'aftre par le Méridien, & par conféquent l'heure vraie de l'obfervation. TRAITÉ ANALYTIQUE 846. DES SECTIONS CONIQUES. ON N appelle en général Sections coniques les fcctions faites dans un cône par un plan. Le cercle, par exemple, eft une fection conique, parce qu'en coupant un cône droit par un plan parallele à fa base, la fection eft un cercle. Le triangle eft auffi une Section conique, puifqu'en coupant un cône par le fommet, la fection eft triangulaire. Mais on a donné fpécialement le nom de Sections coniques à trois autres Sections du cône, dont nous allons faire connoître l'origine & les propriétés, après avoir indiqué la maniere de les traiter analytiquement. Notions préliminaires fur l'ufage de l'Algebre dans la DESCART defcription des Courbes. ESCARTES ayant imaginé d'appliquer l'Algebre à la Géométrie, on ne tarda pas à fentir l'utilité dont ces fortes d'applications pouvoient être. Les Géomètres qui font venus après lui, ont tellement profité de cette découverte, qu'elle eft devenue à jamais célebre par fa grande fécondité. Ses principaux ufages confiftent dans des recherches fur la théorie des courbes, dont l'étude eft indifpenfable quand on veut approfondir les fciences Phyfico-Mathématiques. 647. L'objet de cette théorie eft d'exprimer par des équations les loix fuivant lefquelles on fuppofe que des courbes données ont été décrites ; & réciproquement, de diriger l'Analyfte, foit dans la description des courbes dont il a les équations, foit dans la recherche des propriétés de ces mêmes courbes. Pour cela, on rapporte chaque point de la courbe que l'on veut tracer, à deux droites, dont l'une s'appelle la Ligne ou l'Axe des abfciffes, l'autre la Ligne ou l'Axe des ordonnées. On cherche casuite le rapport qui fe trouve entre les abfciffes & les ordonnées, & l'ex- FIG. preffion analytique de ce rapport donne l'équation de la courbe. C'est ainsi, par exemple, que yy=2ax-xx exprimant le rapport conftant d'égalité entre le quarré de chaque ordonnée du cercle, & le rectangle de fes abfciffes, on a dit (444) que cette équation apparte noit au cercle. 648. Afin d'abréger, on eft convenu d'appeller fonction d'une quantité toute expreffion algébrique où cette quantité entre. Ainfi on dit, par exemple, que l'équation au cercle exprime l'égalité conftante d'une fonction de chaque ordonnée ( c'eft fon quarré) avec une fonction de chaque abfciffe correspondante (c'est fon produit par le refte du diametre). On appelle en général Coordonnées les abfciffes, & les ordonnées correfpondantes d'une courbe; & comme la longueur de ces lignes varie à chaque instant, on les nomme variables ou indéterminées, par oppofition aux quantités conftantes ou déterminées. Le point d'où l'on commence à compter les abfciffes, s'appelle l'origine des abfciffes. On eft le maître de la fuppofer où l'on veut, avant de chercher l'équation des coordonnées: mais fa pofition une fois déterminée, il faut la fuppofer toujours la même dans les dérails du même calcul. Ordinairement on met l'origine des abscisses au fommet, ou au centre de la courbe. Et comme en partant de leur origine, on peut les prendre de deux côtés oppofés, on eft convenu de défigner les unes par le figne+, & les autres par le figne; de maniere qu'une abfciffe eft censée po fitive, lorfqu'elle eft fur la partie de l'axe que l'on regarde comme pofitive. Le choix de cette partie eft absolument arbitraire: mais quand il est une fois fait, on doit s'y tenir. 649. Les ordonnées peuvent être perpendiculaires ou obliques fur la ligne des abfciffes, pourvu qu'elles foient paralleles entre elles. Communément on les fuppofe perpendiculaires, & on en diftingue de po fitives & de négatives, fuivant qu'elles font d'un côté ou de l'autre de l'axe des abfciffes. Quelquefois cependant elles partent d'un point fixe : on en verra des exemples dans la fuite. Cela pofé, décrivons la courbe qui a pour équation y=2axxx. On fait déja que c'eft la circonférence d'un cercle dont le diametre eft 2 a; mais quand même on ne le fauroit pas, la conftruction de cette équation le feroit bientôt connoître. Soit donc défignée par a une quantité conftante que je fuppofe =5, & foit menée une droite indéfinie BD, fur laquelle je prends 125. AD =102a, que je divife en dix parties égales A P, PP &c. Soit A l'origine des abfciffes, BD leur axe, AD la direction des pofitives; AB fera donc celle des négatives, fi la courbe cherchée en a. Soit menée enfuite au point A la perpendiculaire indéfinie EF, que je prends pour l'axe des ordonnées, & dont je fuppofe que la partie pofitive eft AE. Soit enfin APx, & PM=y. FIG. 125. Il eft clair par l'équation même, y = √( 2 a x − xx), quẻ lorfque xo, on a yo; donc la courbe a le point A de commun avec la ligne des abfciffes. Si on fait x=1, y devient + 3; fi x=2 devient 43 , y enforte les valeurs correfpondantes de x & de y font.. 3, que 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y=0,3,4, ±√21, ± √24, ±s, ±v 24, +√21, +4,±3,0' Or ces valeurs de y déterminent la longueur d'autant d'ordonnées, dont les extrémités M font des points de la courbe que l'on cherche; & parce que ces valeurs font tout-à-la fois pofitives & négatives, il eft clair qu'en menant du point A deux branches égales, dont l'une paffe par les points M qui font au-deffus de l'axe des abfciffes, & l'autre par les points correfpondants qui font au-deffous, on aura la courbe demandée. Quant à fa defcription, elle fera d'autant plus exacte, que l'on multipliera davantage les divifions de la ligne AD. C'eft ainfi que l'on peut décrire une courbe en rapportant chacun de fes points M à deux lignes BD, EF données de pofition: car fi l'on acheve le parallélogramme APMN, dont on connoît les deux côtés AP ou NM, & PM, l'interfection de ces deux dernieres lignes donnera le point M de la courbe. On appelle ce parallelogramme, le parallelogramme des coordonnées. Les valeurs de y croiffant ici de plus en plus jufqu'à un certain terme qui eft, & décroiffant enfuite dans le même rapport jusqu'à zéro, on doit conclure 1°, qu'il y a une ordonnée PM plus grande que toutes les autres; c'est ce que l'on appelle le Maximum de l'ordonnée. (La recherche des Maximum & des Minimum eft une des plus curieufes de Y'analyfe; nous en donnerons quelques exemples dans la fuite). On doit conclure 2°, que la courbe qui a pour équation yy = 2 ax-xx, est une courbe rentrante & fermée. Elle ne s'étend pas audelà du point A ; car alors fes abfciffes étant négatives, les valeurs de y feroient imaginaires, ce qui indique qu'il ne peut y avoir aucune de fes branches au-delà de l'origine des abfciffes. Cherchons maintenant quelques-unes de fes propriétés. 656. Du milieu C de la ligne A D, je mene des droites C M, & j'ai autant de triangles rectangles CPM, dans lefquels CM2 PM2 + CP2 x2 + a2 2 ax+x2; donc puifque y' 2a x - x2 on aura toujours C M = a; c'est-à-dire que tous les points M font à égale distance du centre C, propriété diftinctive de la circonférence du cercle. , D'ailleurs l'équation y3 =2ax - X X donne xy::y:2a-x, ou AP: PM: PD; donc chaque perpendiculaire PM eft moyenne proportionnelle entre les deux fegments du diametre AD, aurre propriété du cercle. Menant enfuite une corde AM, on aura AM2 —a a x ; donc x 1 |