toutes AM:: Si l'on mene la corde M D, on aura A M2 + MD2 4 a2 = AD2, propriété du triangle rectangle. Donc tous les angles A MD font droits, comme ils doivent l'être dans le cercle. Infcrivant le quadrilatere A MD M', on trouvera de même que AM × M'DA M2× MD A D× MM' (450). Et ainfi des autres propriétés. = 651. Soit propofé maintenant de décrire la courbe dont l'équation aux coordonnées eft y2 = a x. On voit d'abord FIG. que cette courbe doit couper la ligne des abfciffes à leur origine, puifqu'en fuppofant x = o, on a auffi yo; on voit enfuite qu'elle doit avoir deux branches égales, l'une pofitive, l'autre négative. Ces branches s'étendront à l'infini en s'écartant de leur axe, à mesure que l'on fuppofera des valeurs plus grandes pour x. Mais ces valeurs doivent toutes être pofitives, autrement les ordonnées deviendroient imaginaires. La courbe aura donc la forme 126. MAM'. 652. Soit auffi yyxx- a a. Il eft clair que fi la courbe à laquelle appartient cette équation, coupe la ligne des abscisses, ou ne fait même que la toucher en quelques points, on les déterminera en fuppofant yo. Or dans cette fuppofition on a x = a. Ainfi en prenant fur une droite indéfinie B D un point A pour l'origine des abfciffes, & deux parties AS, As égales à la quantité donnée a, la 127. courbe doit paffer par les points S, s que l'on appelle fes fommets. Pour connoître la direction de fes branches, foit AD le côté des abfciffes pofitives; on aura y + v (x2 — a2 ) = ± √ (x + a) (xa), ce qui donne deux branches, l'une SM, l'autre S M', dont le cours s'étendra à l'infini, tant que x fera plus grande que a. Si elle étoit plus petite, y feroit imaginaire; la courbe ne paffe donc pas au-delà du point S, tant que l'on ne prend que des abfciffes pofitives. Suppofons qu'on les prenne négatives, l'équation deviendra....... y = ± √(−x+a) (— x—a). Or tant que les x feront plus petites que a, les valeurs de y feront imaginaires. Il n'y aura donc aucune partie de la courbe entre les points A & s. -- Si x =a, on trouve comme ci-deffus, y=o: fixa, alors y a deux valeurs réelles, l'une pofitive, l'autre négative; & ces valeurs croiffant de plus en plus, la courbe aura deux nouvelles branches oppofées, mais égales aux deux premieres. L'axe des abfciffes eft BD, celui des ordonnées eft EF; fuppofant donc des valeurs à x, on déterminera les y ou les PM, & les parallelogrammes des coordonnées donneront les points M, m &c, par lefquels doit paffer la courbe demandée. Nous aurons bientôt occafion d'examiner fes propriétés. bx2+x3 653. Cherchons la figure de la courbe dont l'équation est y2 = +x a x Je prends BD pour la ligne des abfciffes, AD = a pour la direc FIG. tion des pofitives, AB=b pour la direction des négatives, le point 128. A pour leur origine, E F pour l'axe des ordonnées, & j'ai y=x v C ), ce qui donne 1°, y=o, lorfque x=0; la courbe doit donc paffer au point A. 2°, Pour chaque valeur de x, je trouve deux valeurs de y. Il y a donc des ordonnées pofitives & des ordonnées négatives. Refte à déterminer les points où elles cefferont d'être réelles. 3°, Je prends donc x pofitive, mais moindre que a ou AD, & j'ai pour y deux valeurs PM, PM' qui croiffent de plus en plus, jufqu'à ce qu'ayant pris xa, elles deviennent infinies; car alors j'ai y b+x ), fuppofant donc à l'ordinaire, que zéro exprime une quantité infiniment petite, ou que o = = , y eft infinie. C'eft-à-dire, qu'il faudroit prolonger à l'infini la ligne G H pour qu'elle rencontrât les deux branches de la courbe. 654. On appelle Afymptotes ces lignes qui s'approchant de plus en plus des branches d'une courbe, ne peuvent cependant les rencontrer jainais. 4*, Six > a, y devient imaginaire. La courbe ne peut donc paffer au-delà de G H. dre 5°, Six eft négative, y a deux valeurs, pourvu que x foit moinque b. La courbe a donc auffi deux branches dans le fens négatif. 6, Sir= b, on a yo; la courbe doit donc paffer au point B. Mais elle ne peut defcendre plus bas, puifque x b rend les y imagi maires. =xx ( b. x 7°, Faisant yo, dans la fuppofition de x négative & = b, on a )o; d'où l'on tire x' (b x) = o, qui donne xo x=0; x = b. La courbe paffera donc une fois au point B, & deux fois au point A, ou elle formera un nœud. at x , 655. Lorfque plufieurs branches de la même courbe paffent par le même point, ce point s'appelle en général point multiple, & en particulier, point double, triple, &c, lorfque deux ou trois branches viennent s'y réunir. L'Algebre apprend auffi à difcerner ces points, & à connoître leur multiplicité. 8, Sibo, le noeud s'évanouit, & l'équation y = x2 ( x3 a-x :), devient y2 = qui appartient à une courbe ancienne, nom a mée Ciffoïde, dont nous parlerons bien-tôt. 656. Outre les points multiples, il y a encore des points d'inflexion & des points de rebrouffement. Les premiers font ceux où la courbe, après avoir tourné fa convexité dans un fens, commence à la tourner FIG. dans le fens oppofé. Par exemple, la courbe MAM', dont l'équation 129. eft y3 a'x, a un point d'inflexion en A. Les points de rebrouffement font ceux où deux branches de la même courbe fe touchent, fans paffer au-delà du point de contact. Voyez la courbe m Am'; fon équation eft y3 =ax2. 657. Si l'équation des coordonnées eft du premier degré, elle appartient toujours à une ligne droite; & c'eft pour cela qu'on défigne les droites par le nom de lignes du premier genre ou du premier ordre. Si dans l'équation des coordonnées, il n'entre que des y y ou des xx, ou des xy, les lignes qu'elle repréfente, s'appellent lignes du fecond genre. Lorfque cette équation eft da troifieme degré, les lignes qui en réfultent font du troifieme genre, &c. Et comme les lignes du fecond font les courbes les plus fimples, on les appelle auffi courbes du premier genre, enforte que des lignes du troifieme font des courbes du fecond; & ainfi de fuite. Il n'y a que la ligne droite qui foit du premier genre. Il y en a quatre du fecond; foixante-douze du troifieme, comme on peut le voir dans les Opufcules de Newton, (Enumeratio linearum tertii ordinis), & dans les Ouvrages des Géomètres plus récents, Euler, Cramer, &c. Il y en a un bien plus grand nombre du quatrieme genre, &c. 658. Mais il faut remarquer que dans cette divifion des lignes en différents ordres, on ne comprend que les courbes géométriques. On nomme ainfi celles qui ont pour abfciffes & pour ordonnées des lignes droites dont le rapport peut être déterminé géométriquement. Ainfi une courbe qui auroit pour abfciffes des arcs de cercle, ou des lignes droites égales à des finus, ne feroit pas une courbe géométrique. Ce feroit une des courbes appellées mécaniques ou tranfcendantes. Les premieres fe nomment auffi des courbes algébriques. Or ce qui fait le principal objet de l'Analyfe dans l'examen d'une courbe, c'eft 1°, d'en trouver l'équation, lorfque la courbe eft don' née, ou de décrire la courbe, fi on a déja fon équation; 2°, d'en déterminer la tangente; 3°, d'en connoître la courbure dans un point donné; 4o, de chercher fes plus grandes ou fes plus petites ordonnées; 5o, de trouver fa quadrature exacte, fi clle en eft fufceptible, ou au moins fa quadrature approchée; 6o, de trouver fa rectification, c'eftà-dire, de déterminer la longueur d'une ligne droite égale à l'un quelconque de fes arcs, &c.. Le calcul algébrique ordinaire peut abfolument fuffire pour toutes ces recherches; mais le calcul différentiel & le calcul intégral font bien plus expéditifs. 130. FIG. Origine des Sections Coniques, & leur Equation générale. 131. 659. So1r coupé un cône droit BCD par un plan quelconque AMP; on demande l'équation de la courbe M A m qui résulte de cette Section. 132. Si par le fommet B on fait paffer un plan BCD perpendiculaire fur la bafe du cône & fur le plan coupant A MP, l'interfection de ces deux plans fera une droite A a; & fi on coupe le cône parallélement à la bafe par un plan F MG, on aura un cercle dont le plan fera perpendiculaire au triangle BCD, & dont l'interfection avec le plan AMP fera une droite PM perpendiculaire aux droites A a, FG (502). La ligne PM fera donc une ordonnée comniune au cercle & à la fection M Am. Cela pofé, foit AP = x, PM=y, AB =c, l'angle AB a = B; Tangle BAaA; la propriété du cercle donne.... y y = FPX PG. Pour trouver l'expreflion analytique des lignes FP & PG, je mene A E parallele à C D, & PK parallele à BD, l'une & l'autre dans le plan BCD, ce qui donne ... AB: fin AEB :: AE : fin B. 180° B Or AEB = = 2 = 90° - B; donc fir A E B = fin (90° -1B) cof B, & par conféquent A E= APK donne...fin AKP: fin APK, ou fin AEB: fin A a E, ou cx fin B cof B D'ailleurs le triangle x fin (A+B) ; donc KE Quant à l'expreffion de la partie FP, on a dans le triangle A PF... fin AFP, ou fin BFG, ou fin BGF, ou cof1⁄2 B; x: : fin A: FP= [cx fin B-xx fin (A+B)]; équation x fin A donc yy= cof B fin A cof B 660. Maintenant, il ne peut arriver que trois cas. 1°, Que A + B=180°, c'eft-à-dire, que le plan coupant A MP, foit parallele au côté BD; alors la fection conique fe nomme Parabole, & fon équation fin Ax fin B eft y y = cofB (549), ouly+2 fin BV cx. La parabole est donc une courbe formée par deux branches égales & femblables qui s'étendent à l'infini, en s'écartant de plus en plus l'ane de l'autre. A+B E B la somm 661. II, Si A+B eft moindre que 180°, il eft aifé de voir que FIG. le plan A MP prolongé doit rencontrer l'autre côté BD; ainfi la fection conique qui en réfulte, & qui s'appelle Ellipfe, eft une courbe. rentrante formée par deux branches égales, femblables, & finies A Ma, 131. A m a. Son équation estyy= fin A [cx fin B-xx fin (A+B)]. & Je Suppose cof B 662. IIIo, Si A + B furpaffe 180°, la fection s'appelle Hyperbole des angles A que & fon équation efty y= (cx fin B+xx fin A+B-180°) ou lare ABE Or fi on imagine un cône Bc dégal & oppofé par le fommet au don't to sinus 33, cône droit BC D, il eft clair que le plan coupant A MP prolongé leDE et négati rencontrera, & que de leur interfection résultera une courbe M' am'd'après Cela égale, semblable, & oppofée à la courbe inférieure M'A m'; ou plu- (A+B) tot ces deux courbes que l'on appelle Hyperboles oppofées, ne feront qu'une feule & même courbe généralement repréfentée par la même équation. fin A cof B et Best L'au Jiu (BE)=-DE (ABE)= 663. Au lieu de fuppofer les mêmes fections faites dans un cône 13 1. droit, on 'eut pû les fuppofer faites dans un cône oblique, tel que-sin(ABE-BA) feroit par exemple le cône B CD, fi l'angle C n'étoit pas égal à l'angle_ - Sin (A+B-18° D. On cût alors trouvé pour leur équation générale..... Or cette équation a cela de commun avec la précédente, qu'elle appartient à une ellipfe, ou à une parabole, ou à une hyperbole, felon que la fomme des angles A & B eft moindre ou égale, ou plus grande que 180°. que Dans le premier cas, elle exprime un cercle, toutes les fois l'angle A eft égal à l'angle C, ou à l'angle D : car alors on a une des deux équations fuivantes, qui font évidemment deux équations au cercle, & qui font voir que dans un cône oblique, on peut faire des fections circulaires de deux manieres: l'une en coupant le cône parallèlement à sa base, l'autre en le coupant par un plan qui faffe avec un des côtés du triangle par l'axe, un angle égal à celui que l'autre côté du même triangle fait avec fa base. Dans le troifieme cas, où l'équation exprime une hyperbole, on fin Afin (A+B-180°) peut fuppofer c=o, & alors on a fin C fin D = x2. Faifant, pour abréger, le coefficient de x2 égal à une quantité conf |