b2 x a2 2 a fion de la founormale dans l'ellipfe, lorfque l'origine des abfciffes eft au centre. Si elle étoit au fommet, en nommant AP (z), on auroit PN= bb bbz 2 a 64 32 La Normale N M = √(yy + + ) = [b2 ---- Donc CT- ce qui donne cette proportion; CP:CA::CA: CT, au moyen de laquelle il eft facile de déterminer le point T par où paffe la tangente MT. L'expreffion de la tangente MT fe trouve par le moyen du triangle rectangle P M T. 679. Une droite quelconque n C N qui paffant par le centre de l'ellipfe aboutit aux deux points oppofés de cette courbe, fe nomme diametre, & fi l'on mene DC d parallele à la tangente en N, les diametres DCd, n CN font nommés Conjugués; les lignes comme MP. paralleles à la tangente en N font les ordonnées du diametre CN, & les parties CP en font les abfciffes. Enfin le parametre d'un diametre quelconque eft une ligne troifieme proportionelle à ce diametre & à fon conjugué. 680. Soient menées des extrémités D & N les deux ordonnées NQ, DI au grand axe A a, & foit CQ=x, DI=u; à caufe des triangles femblables DIC, NQT, on aura NQ : QT::DI: IC, ou (aa-xx)2 ce qui donne CQ: DI:: a:b; on trouveroit de même CI: NQ::a: b. Donc CQ: DI:: CI: NQ; d'où il fuit que les triangles DIC, CNQ font égaux en furface. bb-NQ, ou DI+NQ2=bb. 2o, CINQ2 = aa— CQ2, ou CI2 + C Q2 =a2. 3°, a2 + 62 b2=CI2 + CQ2 + NQ2 +DI2 = CD2 + CN2; c'est-à-dire que dans l'ellipfe, la fomme des quarrés de deux diametres conjugué 138. FIG. quelconques est toujours égale à la fomme des quarrés des deux axes, 4o, Si l'on mene ND, la furface du triangle NCD aura pour expreffion; (DI+NQ) ( CI+CQ) — CI×ID—CQXNQ= ( — NQ2 + — CQ3) = CIX NQ+ CQ X DI = a 62 b -- a {{ ( = = = = ( a 2 — C Q2 ) + − CQ1) =¦ a b, Donc la surface du (3 X (a2 CQ2)+ b a2 a parallelogramme CDEN fera ab, & celle du parallelogramme entier FEHG fera 4 ab 2 ax 2 b. D'où il fuit que tous les parallelogrammes circonfcrits à l'ellipfe font égaux entre eux & au rectangle des deux axes. 681. Soit maintenant le demi-diametre CN=m, CD=n, l'angle CPMDC n=p; on aura 1o, m2 + n2 = a2 + b2; 2°, ab= mn fin p qui eft l'expreffion de la furface du parallelogramme CDNE. Or ces deux équations donnent immédiatement les diametres conjugués & égaux de l'ellipfe car alors on a 2 m2 = a2 + b2, ou m = 2 ab ± √ { ( a2 + b2), & fin p = — Donc puifque ces quantités a2 + b2 font toujours réelles, chaque ellipfe doit avoir deux diametres conju gués égaux. Quant à leur pofition, elle dépend de la valeur de CQ; or CQ'+ a2 b2 NQ2, ou b2 + CQ2 = { (a2 + b2); donc CQ: a 2 va leur indépendante de b, & qui fait voir que l'ordonnée NQ prolongée, déterminera les diametres conjugués égaux dans toutes les ellipfes qui auront l'axe A a commun. 682. Cherchons à préfent l'équation aux coordonnés CP, PM, & faifons CPx, PM=y, NT=q, NQ=r, QT=s, CQ =t. Si l'on mene PK, MO perpendiculaires à l'axe, & LP perpendiculaire à MO, on aura par les triangles femblables NQT,MLP,ML= ; & les deux autres triangles CPK, CNQ donneront ry, PL = sy 9 , CK; d'où CO= m Or par la propriété de l'ellipfe, on a tuant donc & ordonnant, ou aura ( Obfervons maintenant que lorfque x, yn, ainfi le coeffi cient de y3 eft —; lorsqu'au contraire y=o, alors x=m, d'où le n a2 coefficient de x2 eft. L'équation devient donc FIG. a2 ·y2+ x2 = a2, 138. qui donne y m2 (m2x2), résultat parfaitement conforme à celui de l'équation aux axes. Il fuit de-là 1o, que tout diametre NC divife en deux parties égales les ordonnées MP m, & par conféquent l'ellipfe entiere. 2°, Qu'un diametre quelconque Nn eft divifé en deux également au centre C; car aux points N & non á x2 m2; d'où x = m. 683. PROBL. I. Étant donnés les deux demi-axes a & b, trouver deux diametres qui faffent entre eux un angle donné p = DC n. ab On a m2+n2 = a2 + b2, mn= ; donc m2 + n2 + 2 m n = fin p 2ab donc m = {√ (a3 + b2+ fin p fin p m+n=v (a2 + b2+ ·), & min = √ (a2 + b2 & m2 + n' -2 m na2 + b2 ·) + √ (a2 + B2 2ab Sinp) fin p V &c. fin p Il ne reste maintenant qu'à déterminer la direction de l'un des diametres, ou l'angle ACN que j'appelle c. Or le triangle CNT donne 684. PROBL. II. Les deux diametres m & n, & l'angle p qu'ils font entre eux étant donnés, trouver les deux axes, & leur direction. : a b, & a2 + b2 = m2 + n2, on déduit en faisant un calcul femblable à celui du problême précédent, a= FIG. De l'Hyperbole. fin A 685. L'EQUATION yy= [cx fin B+xx fin (A+B-180°)], cof B fait voir que l'hyperbole rencontre fon axe A P en deux points, dont l'un eft en A, où x = 0; l'autre eft en a oùì x—— c fin B c fin B ; ainsi en fuppofant que A a foit égal à fin (A+B-180°), le point a fera 139. à l'hyperbole oppofée M' a m'. Or les points A, a fe nomment les fommets de l'hyperbole, la ligne A a (2 a) en est l'axe, fon milieu C en eft le centre; enfin une droite Bb 2 CB≈ 2 b, telle que fin A fin (A+B - 180° cof B bb paffant par le centre C, fe nomme le fecond axe. perbole, donnent yy = bb a a (2 a x + xx). Or cette équation fait voir que la courbe a deux branches AM & Am égales & infinies, dans le fens pofitif. Mais fi x eft négative, il n'y aura point de courbe, tant que x fera < 2 a; fix 2 a, les ordonnées feront réelles, & la courbe aura deux autres branches qui s'étendront à l'infini. Or il eft aifé de prouver que ces deux branches font égales à celles de l'hyperbole pofitive, MA m. Car puifqu'en appellant A P'(-x), P'm'P'M' (y), on a b2 yy=-2axxx, fi l'on fait a P'=x', on aura x=2 a+ x', & par conféquent 22: a2 y2 b2 = 2 a x' + x' x' ; équation abfolument femblable à celle de l'hyperbole MAm. (ax+xx), on a PM': APxPa:: CB2: CA2. Donc dans l'hyperbole les quarrés des ordonnées au premier axe font aux rectangles de leurs abfciffes, (c'est-à-dire des diftances aux deux fommets), comme le quarré du fecond axe eft au quarré du premier.. Si on met l'origine des x au centre C, on aura CP=x, ce qui bb perpendiculaire fur le petit axe CB, prolongé s'il eft néceffaire, & fi on nomme les coordonnées CQ, MQ, x & y, on aura M Q2 = (b2 + x2), pour l'équation aux co (b2+CQ2), ou yy= ordonnées du fecond axe. 688. Si a aa bb b, alors l'hyperbole fe nomme équilatere, & on a pour les équations, yy 2 ax + xx, yy = x x — aa, felon que l'origine des abfcifles est au fommet ou au centre, & l'équation au fecond axe devient alors . . . yy = a a➡+ x x. = FIG. 689. Si, ayant mené B A, on prend de part & d'autre du centre C, CF CfBA, les points F, f feront les Foyers de l'hyperbole. 139. La double ordonnée D d paffant par l'un des foyers, fe nomme le pa& les lignes FM, ƒ M menées de ces points à ceux de la courbe, fe nomment Rayons vecteurs. rametre, Cela pofé, la diftance CF V (a a + bb). Donc FAX Fa=... (√ (aa + bb) — a) ( √ (aa + bb) + a) = bb. Le fecond demi-axe de l'hyperbole eft donc moyen proportionel entre les deux distances de l'un des foyers aux deux fommets. b a bb √ ( a2 + b2 — a2 ) = ; donc le para 4bb a = . Il eft done troifieme proportionel au premier & au fecond axe. On appelle parametre du fecond axe une ligne q troifieme proportionelle au fecond & au premier axe. 690.. Si l'on fait entrer l'expreffion du parametre dans les équa l'équation yy (bb+xx) qui convient au second axe, se change 691. Soit CFCf=c, on aura F M=√(yy++xx-2 cx + cc) +a. Donc fM-FM 2 a. Ainfi dans l'hyperbole la différence des rayons vecteurs eft partout égale au premier axe. On tire de-là une maniere facile de décrire une hyperbole dont les axes foient za & z b. Il faudra prendre un intervalle Ff=2v (a a+bb), |