De la Quadrature des Sections Coniques. 706. La Quadrature exacte de la plupart des efpaces curvilignes A étant fort difficile à trouver, (fi même elle n'eft pas quelquefois impoffible, comme quelques Auteurs l'ont penfé), on a cherché leur quadrature approchée. Les féries ont été d'un grand ufage dans cette recherche ; & c'eft pour pouvoir nous en fervir, que nous ajouterons quelque chofe à ce qui en a été dit dans les Éléments d'Algébre. 707. On appelle Terme général d'une férie, l'expreffion algébrique qui donne chaque terme de cette férie, par la fimple fubftitution de la lettre n, par laquelle on repréfente tel nombre de termes que l'on veut. Par exemple, le terme général de la férie 1. 6. 21. 52. 105. &c. eft n3 - n2+n, parce qu'en faisant n = 1, ou = 2 = 3, &c, on a immédiatement les termes 1, 6, 21, &c. ou 708. On appelle Somme générale, ou Terme fommatoire d'une fe rie, l'expression qui donne généralement la fomme d'un nombre quel conque de fes termes. Par exemple, a q -a eft le terme fomma toire de toute progreffion géométrique dont on connoît le premier le quotient q, & le nombre n des termes (252). terme a, n 709. Or la fomme générale S d'une férie étant donnée, il eft aifé d'en trouver le terme général T. Car fi dans cette fomme on fubftitue Iàn, on aura celle de tous les termes de la férie jufqu'à celui dont le 1, inclufivement, Donc fi on fouftrait cette fomme que j'appelles de la fomme générale S, on aura le terme général TS—s. Par exemple, fi S = rang eft n n2 + n 2 on aura Tn; & on trouvera T=aq"•'. 710. Mais il n'eft pas à beaucoup près auffi facile de trouver la fomme générale, quand on connoît le terme général. Voici comment on peut réfoudre ce problême dans un cas affez étendu dont nous aurons befoin. Soit T une fonction quelconque rationelle du nombre n des termes ou Tan" + bnTM-1 + &c . . . . . +; il s'agit de trouver la fomme S de cette férię, Pour cela je fuppofe que . ..... 144. Ex. I. On demande la fomme de la férie 1.2.3 terme général eft n.. b= I Cette application de la formule donne... a = dont le terme général n2 donne m = 2. Puifque a = 1, b = 0, c=o, &c, on a S 4.9.16.25 i... = { n3 + { n2 +¦r. 711. En général, foit la férie 1.2.3.4.5m. &c, dont le terme général est nTM, on aura la fomme S: I m+I + &c. Or fi on suppose n infini, alors n”, nTM -1 &c. feront infiniment petits par rapport à n+1, & par conféquent fi on néglige tous ces termes, on aura 1+ 2 +3+ 4+ 5+... Mais pour que cette formule ait lieu, il faut ob ferver 10 , que n doit être fuppofé infini. 2° Que m doit être pofitif. Car s'il étoit négatif, la fomme feroit finie, excepté le cas oùm=-1. 712. Il n'eft pas difficile maintenant de trouver par approximation la quadrature de l'efpace circulaire CB M P compris entre le rayon CB, l'ordonnée MP parallele à ce rayon, l'arc B M, & l'abfcifle CP x fi on le décompofe en rectangles Ch,qf, &c. qui aient des bales égales & infiniment petites Cq, qg, &c, & fi on fait le rayon-a... Cq, ou qg, ou &c.=e, on aura e V (aa-ee) pour l'expreffion du petit rectangle FIG. Ch; ev (aa- 4 ee) fera celle du fuivant, e ✔ (aa-9 ee) celle du troifieme, & ainfi de fuite. Donc la fomme de tous ces rectangles, ou l'efpace CB MP=ev (aa-ee) + e √ (aa-4ee) + ev (aa-yee) +ev (aa - 16 ee) + &c. Et fi on développe toutes ces expreffions, on aura C BMP e3 a e(I+I+i+1+1+&c. ) — —— (12 + 22 +32 +42 +52 +&c.) Or le nombre des rectangles qui compofent l'efpace cherché, ou le nombre n des termes de ces fuites de nombres est la quantité infiniment grande. Donc puisque Donc puifque n étant infini, on a générale e 772 ment pour la fomme de la férie 1 + 2 + 3 + 4′′ m+) 713. Si on fait dans cette fuite xa, on aura le quart de cercle A MBC: mais fi de l'espace C B M P on retranche le triangle CM P x 2 x2), on aura le fecteur B MC; enfin fi on divise l'expreffion de ce secteur par a, le quotient fera l'arc B M, exprimé 323 2 3 a2 2.4.5a4 +&c, qu'il eft aifé de rapporter à celle que nous avions déja trouvée (567). 714. Soit maintenant l'espace elliptique CB MP compris entre le 145. petit demi-axe CBb, l'ordonnée M Py, l'abscisse CP=x, x. FIG. b a & l'arc elliptique M B; puisqu'on a y = -—-— √ (aa—xx), en raifonnant comme pour le cercle, on trouvera que cet espace = b x3 AN B'a dont le rayon foit a, on aura l'espace CB' N P = a x — &c. Donc C B MP: CB' NP::b:a::AMP:ANP; 6a 40a3 car alors ondo il fuit que la furface de l'ellipfe eft à celle du cercle conftruit fur aurait fon grand axe :: b: a. Or la furface de ce cercle a2, en fuppofant a:x:x:b, le rapport du diametre à la circonférence :: 1:. Donc la furface x2- ab, de l'ellipfe entiere abx, c'eft-à-dire, eft égale à la furface d'un done laturpcercle dont le diametre feroit moyen proportionel entre les axes de Ju Cercle ellipfe. x2-ab.. On voit auffi qu'un fecteur quelconque S AM eft au fecteur circulaire correfpondant SAN::ba, puifque les triangles S P M, SNP font entre eux :: PM: PN: :b: a. 146. 147. 715. Propofons-nous maintenant de quarrer l'espace parabolique AMP. e une Si on nomme AP (x), PM (y), le parametre (p) portion infiniment petite de l'abfciffe AP, on trouvera par le même raifonnement que ci-deffus, l'efpace A PM e √pe + e √ 2 pe+ e. √ 3 pe + e √ 4 pe... + e vpx= expe [ 1 1⁄2 + 1⁄2 3 3 + 3 3 + 를 (3 + s 2 + · · + ( — ) 13 ] = (†)3×e√pe=je1p1x1. x T I 2 =xVpx=xy. Done l'efpace parabolique AMP eft les deux tiers du rectangle circonfcrit A PMN, & par conféquent l'espace AMN en eft le tiers. 716. Il nous refte à trouver la quadrature de l'hyperbole. Or fi on rapporte les coordonnées CP, PM (x, y) au fecond axe CB, on aura y = = √ ( bb + x x ), & en faisant le même calcul que dans le cer a b cle, on trouvera que l'espace ACPM=— (bx+ 717. Si l'hyperbole eft équilatere, alors ba, & la férie que la même analogie entre l'hyperbole équilatere & une hyperbole quel conque, conque, qu'entre le cercle & l'ellipfe. Enforte que fi on avoit la qua- G FI. drature d'une feule hyperbole, on auroit auffi-tôt celle de toutes les autres. = 718. Soit à préfent C Q l'afymptote de l'hyperbole A M ̧ CD2 = AD2 m2 fa puiffance, M P une ordonnée y à l'afymptote CQ, ou une parallele à l'autre afymptote CO, il s'agit de trouver la quadrature de l'efpace afymptotique A D MP, en fuppofant d'abord l'angle fait par les afymptotes eft droit. que Je fais DPx, & j'imagine l'efpace A D M P décomposé en une infinité de petits rectangles dont les bafes foient des portions infiniment petites & égales de l'abfciffe x. En nommant e l'une de ces petites portions, l'ordonnée correfpondante à la premiere au point D fera & le premier rectangle aura pour expression mte I 1 + m+ 2e e m2 mte &c. Donc l'efpace A D MP e m2 [ m+ 3 e le fe +&c]. Et fi on réduit en féries toutes ces fractions on aura ADMP = em (1+1+1 +1 +1 +&c). + &c.) = Donc fi on fait, ; & fi tangle fait par les afymptotes, au lieu d'être droit, étoit en général a, on'auroit A D M P =m2 fin a log. `mR 719. Si l'hyperbole eft équilatere, & fi la puiffance, alors l'efpace A D P M log. z; c'eft-à-dire qu'il eft le logarithme naturel de l'abfciffe CP ; & voilà pourquoi on appelle logarithmes hyperboliques ceux dont le module eft i. fi Ce même efpace feroit le logarithme tabulaire de l'abfciffe CP, l'angle des afymptotes étoit de 25° 44' 25"; car appellant A le mo dule 0,43429448 &c, il faut que l'on ait m2 fin a log. 148. |