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nombres entiers joints à des fractions, on les transformeroit en une feule fraction chacun, pour les faire rentrer dans le fecond cas dont nous avons parlé.

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Exemples. 3.7÷=== 23 17

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27

385.

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66. REMARQUES. I. On a fouvent des fractions à multiplier par des nombres qui font des divifeurs exacts des dénominateurs. Alors on parvient tout de fuite à l'expreffion la plus fimple du produit, en divifant le dénominateur par l'entier, au lieu de multiplier le numérateur. C'est ainfi, par exemple, que . 2 ; &c.

II. Souvent auffi le nombre par lequel on doit multiplier, est égak au dénominateur même. Alors le produit eft égal au numérateur : ainfi 4.11=3 ; &c.

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en

III. Quand on a plufieurs fractions à multiplier les unes par les autres il est très-rare que le calcul ne puiffe pas s'abréger effaçant des nombres communs au numérateur & au dénominateur du produit.

11

3

· 7 40.

8

8

40

Exemples.... == 1. 2. == 1. Voici quelques autres réductions à faire.

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67. Ou le divifeur d'une fraction eft un nombre entier, ou c'est un nombre fractionaire; s'il eft entier, multipliez le dénominateur feul par ce nombre, & divifez par leur produit le numérateur de la fraction. Ex. divifés par 2 donnent pour quotient.

4.2

4.

Si le divifeur eft fractionaire, multipliez le numérateur du dividende par le dénominateur du divifeur, & divisez leur produit par celui que vous donnera la multiplication du dénominateur du dividende par le numérateur du divifeur. Ex. divifés par ==

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Pour bien concevoir ces deux Regles, il faut fe reffou venir que dans une divifion quelconque, le quotient doit être à l'unité, comme le dividende eft au diviseur (3,4). Ox

dans le premier cas le dividende eft les du divifeur 2; donc le quotient doit être les de l'unité.

Il est aifé d'ailleurs de s'en convaincre par le raisonnement suivant. Divifer une quantité quelconque par 2, c'eft en prendre la moitié : or la moitié de ÷ eft÷; donc la moitié de eft.

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Dans le fecond cas, fi on eût eu fimplement à diviTer par 3, le quotient auroit été

2

5.3

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5

: mais comme

le diviseur eft fept fois plus petit que 3, le quotient eft fept fois trop foible. Il faut donc le multiplier par 7, 'ce qui donne

2.7

5.3

pour le vrai quotient.

On peut le démontrer auffi de cette maniere. Dans une divifion quelconque, le quotient doit être au dividende comme l'unité eft au divifeur. Or le divifeur eft ici les de l'unité, donc le dividende doit être les du quotient. On a donc q, (en défignant par q le

quotient cherché); d'où l'on tire

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ouq.

68. Les divifions des fractions fe vérifient comme celles des nombres entiers, en multipliant le divifeur par le quo

tient.

Or le quotient d'une quantité divifée par une fraction proprement dite, doit être toujours plus grand que le dividende. Car le quotient eft d'autant plus grand; que le divifeur eft plus petit. Puis donc qu'il eft égal au dividende, quand le divifeur eft 1, il fera plus grand que lui, toutes les fois que le divifeur fera moindre que l'unité.

`Si le dividende & le divifeur font des entiers joints à des fractions, on les transformera en une feule fraction chacun, fur laquelle on opérera enfuite à l'ordinaire.

69. Mais fi le dividende eft un nombre entier, & que le divifeur foit fractionaire, alors on multipliera l'entier par le dénominateur de la fraction, & on divifera le propar le numérateur. Exemple. 8 divifé par donne ;

duit

13; car s'il

ne s'agiffoit de divifer 8 que par 3, il faudroit écrire ; donc en divifant 8 par, c'est-à-dire, par une quantité cinq fois plus petite que 3, on doit avoir un quotient cinq fois plus grand que on doit donc avoir = 13. Il n'y auroit d'ailleurs qu'à mettre l'entier 8 fous la forme fractionnaire, pour ramener cet exemple à la feconde Regle.

3

Voici maintenant quelques exemples de divifions de fractions fur lefquels on peut s'exercer. (Les deux points mis entre le dividende & le divifeur fignifient divifé par, comme le trait dont nous nous fommes fervi jufqu'ici). .... 16:

6

18 =1... :

M'.

3-8

K'...: 7

que

70. REMARQUES. I. Une portion de fraction, telle, par exemple, que les de, s'appelle une fraction de fraction. Or il eft évident cette expreffion, de fignifie qu'il faut prendre trois fois le quart de 2. Il faut donc divifer d'abord par 4, ce qui donne

puis multiplier ce quotient par 3, ce qui donnera, produit de par d'où il faut conclure 1, que la valeur d'une fraction de fraction fe trouve en multipliant l'une par l'autre les deux fractions qui l'expriment; 2°, qu'il n'y a par conféquent aucune différence entre la valeur de de 4, & la valeur de & de.

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II. Souvent la fraction que l'on doit divifer a le même dénomi nateur que la fraction par laquelle doit fe faire la divifion. Alors on a tout de fuite pour quotient, la fraction des deux numérateurs. Ainfi pour divifer par, il n'y a qu'à écrire 4.

III. Si de numérateur du dividende peut fe divifer fans refte par le numérateur du divifeur, il faut effectuer cette divifion, afin de parvenir immédiatement à l'expreffion la plus fimple. Même remarque faire fur les deux dénominateurs. Exemple. divifés par donnent pour quotient.

IV. Il n'eft pas rare de trouver deux numérateurs ou deux dénominateurs divifibles par un même nombre. Alors on fimplifie le calcul en exécutant cette divifion. Soit, par exemple, la fraction à divifer par. On divifera d'abord les numérateurs par s, puis les dénominateurs par 8; le quotient fera.

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Des Fractions Décimales.

71. PAR Fractions Décimales, on entend généralement

toutes les fractions qui ont pour dénominateur l'unité suivie d'un ou de plufieurs zéros. Telles font les fractions <41 8. &c.

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100 1000 10000 ?

On voit bien que fous cette forme elles rentrent dans la claffe des fractions ordinaires. Ainfi on peut les affujettir aux mêmes Regles, & les calculer avec la même facilité.

Mais pour abréger le calcul, on a imaginé de fousentendre les dénominateurs des fractions décimales, & de fubftituer aux Regles générales quelques Regles particulieres, dont voici le Principe.

72. La numération ordinaire a pour base la convention, que tout chiffre placé à la droite d'un autre, lui donne une valeur décuple (10). Ainfi pour écrire trois dixaines, on met zéro fur la droite du 3, & on écrit 30; donc écrire trois dixiemes, il fuffit de mettre un zéro fur la gauche du 3, comme on le voit ici, 03.

pour

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Seulement pour fixer le rang des unités fimples, on eft convenu de le féparer du rang des dixiemes par une virgule, & au lieu d'écrire, on écrit 0,3. On écriroit 0,2 pour deux dixiemes; 0,7 pour fept dixiemes; 0,9 poür neuf dixiemes, & fi on avoit dix, ou vingt ou trente dixiemes à écrire, on en feroit une ou deux ou trois unités.

73. En fuivant la même marche, on verra que puifque les centaines occupent le troifieme rang vers la gauche, à partir de celui des unités, les centiemes doivent occuper le troisieme rang en fens contraire. Et comme pour écrire cinq cents, on écrit 500, il eft clair que pour écrire cinq centiemes, on peut fe fervir de l'expreffion fuivante; 0,05. Pour exprimer huit mille, on écrit 8000; donc pour exprimer huit milliemes, on écrira 0,008. &c. &c.

Si au lieu de huit milliemes, on eût voulu en écrire

deux cent douze, on se seroit fervi de cette expreffion 0,212. En général on écrit toujours le numérateur comme les nombres entiers.

74. D'après cela on devinera fans peine la valeur des quantités fuivantes :

0,1=N'... 3,42=0'... 354,0063=P'... 8,700201 =Q'.

Il ne fera guere plus difficile de transformer en chiffres les quantités que voici.

Trois dix-milliemes = R'.

Mille

quatre centiemes S'.

Neuf+ deux millioniemes=T'.

Treize mille cent-millioniemes= U'.

75. Cela pofé, on voit on voit que le premier rang des décimales fur la droite de la virgule, exprime des dixiemes; que le fecond rang exprime des centiemes, & ainfi de fuite de maniere que 2,9654 n'eft qu'une expreffion abrégée de la quantité 2 ++ ++ que l'on peut réduire à celle-ci 2+264

6

100

10000

1000

Paffons aux Regles du calcul de ces fractions.

De l'Addition, Souftraction, Multiplication & Divifion des Fractions Décimales.

76. Si aux Regles déja connues pour les nombres entiers, on ajoute celle qui concerne la virgule des décimales, rien n'est plus fimple ni plus commode que le

calcul de ces fractions..

I. Soit donc propofé d'ajouter 4852,791... 4,00745... 2,7... 0,0049. J'écris d'abord ces quatre nombres l'un fous l'autre, avec cette feule précaution que les virgules fe trouvent dans la même colonne, comme vous le voyez ici.

4852,791
4,00745
2,7

0,0049

4859,59335

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