or cette équation ne peut avoir lieu que lorfque m=1; & alors on a fin a= =A=0,43429448 &c, qui dans les Tables des finus naturels répond à 25° 44' 25". Les logarithmes ordinaires repréfentent donc les aires afymptotiques d'une hyperbole dont la puissance eft 1, & dont l'angle des afymptotes eft de 25° 44' 25". 720. Si on prend fur l'afymptote d'une hyperbole quelconque une fuite d'abfciffes en progreffion géométrique : q: q2 z: q3 z, &c, les aires correfpondantes formeront la progreffion arithmétique ÷ m2 fin a log 1. log3⁄4 ̧m2 fin a log + m2 fin a log q. m2 fin a log m そ m そ 2 m2 fin a log q. m2 fin a log +3 m2 fin a log q, &c. m そ + m Ainfi quand les abfciffes font en progreffion géométrique, les différences des aires afymptotiques font égales; & puifque la progreffion des abfciffes peut être continuée à l'infini, il fuit que l'efpace compris entre l'hyperbole & fon afymptote eft infiniment grand. S'il falloit déterminer un trapeze hyperbolique A DNQ qui fut au trapeze ADPM dans le rapport de pa q on nommeroit CP (z), CQ (x); & on auroit m2 fin a log そ : m2 fin a log m Zog (—) `; équation qui donne x x -::p: m (1)= ou log (1) m DE QUELQUES AUTRES COURBES. PARMI FIG. 721. 1°. LA CONCHOIDE DE NICOMEDE. Si par un point B pris à 149. volonté hors d'une droite G H on mene des lignes BQM, BAD, &c. telles que leurs parties Q M, AD, &c foient égales, la courbe M D M qui paffe par les points M, D &c, fe nomme Conchoïde. Le point B en eft le Pôle, la ligne G H en eft la Directrice; & fi on prend au-deffous de GH des parties égales Qm, Ad, &c, la courbe qui paffera par les points m, d &c, ainfi déterminés, fera la conchoïde inférieure m d m', ou plutôt la partie inférieure de la même conchoïde. 722. Il fuit de fa conftruction 1°, que GH en eft l'afymptote; 2°, que dD en mefure la plus grande largeur, lorfque B A eft perpendiculaire fur GH. Mais comme BA peut être plus grande, ou plus petite, ou égale à dA, voyons quelle fera la figure de la courbe dans ces trois cas. Dans le premier, elle fera telle que la repréfente la Figure 149; 149. dans le fecond, elle aura un nœud Bndn comme dans la Figure 150. 150, & alors on l'appelle conchoïde nouée. Dans le troifieme, le nœud s'évanouit, & il ne refte qu'un point de rebrouffement en B, fig. 151, & 723. Pour favoir fi la conchoïde eft du nombre des courbes algébri- 15 Im ques, foit mené PM perpendiculairement sur AP, & foit AD ou QM=a,AB=b, PM=y, A P=x: on aura PQ:PM::AQ: AB, ou v(aa-yy): y::x-(aa-yy): b; donc x y = (b+y) √ (aa-yy); & c'eft-là l'équation aux coordonnées de la conchoïde fupérieure. Le même calcul donne xy= (b-y) √ (aa-yy) pour l'inférieure. L'équation eft encore la même pour la conchoïde à naud. Cette courbe eft donc algébrique, & en débarraffant fon équation du radical, on trouvera que c'est une ligne du quatrieme ordre ou une courbe du troifieme, laquelle a pour équation...y42 by3. + (b2 — a2 +x2) y2 = 2 a2 by — a2b2. On peut la décrire par l'interfection continuelle d'une regle BCM 152: mobile autour du point B, & d'un cercle décrit du rayon ČMa, que l'on fera mouvoir le long de GH, de maniere que le centre C foit toujours fur cette ligne. Il fuffit pour cela que la regle paffe conftamment par le centre du cercle. 724. On peut même former ainfi une infinité de conchoïdes différentes Car fi au lieu du cercle on fait mouvoir une courbe quelconque CM le long de GH, fon interfection avec une regle BM mobi e autour du point B, & affujetrie à paffer par un point fixe Q de 153: FIG. l'axe de la courbe CM, décrira une conchoïde dont il eft aifé de trouver l'équation. En effet, fi on mène MP & A B perpendiculaires 153. fur la direârice, & fi on fuppofe A Px, PM=y, CP=}, CQ=a, A Bb, on aura P Q ( z − a): PM (y): AQ Subftituant donc cette valeur dans l'équation à la courbe CM, on aura celle de la conchoïde MD. 154. (x+a−z): A B (b); d'où z=a+ xy b+y Par exemple, fi la courbe C M eft un cercle, dont Q foit le centre, on ayyaz-zż, qui donne x y (b+y) √(aa—yy) pour l'équation à la conchoïde ordinaire. 725. Mais fi la courbe mobile efl une parabole dont l'équation foit y2 alors y by apy-apbpxy devient l'équation de la conchoïde parabolique dont Defcartes s'eft fervi pour réfoudre une équation générale du fixieme degré. Voyez sa Géométrie, & les Sections coniques du Marquis de l'Hôpital. 726. II. La CISSOÏDE DE DIOCLES. Soit le cercle AN Bn dont le diametre eft AB, & dont Q Bq eft tangente au point B. Si après avoir mené du point A des droites AQ à différents points de la tangente, on prend Q M AN, la courbe MA m qui paffe par points M, m ainfi déterminés, fe nomme Ciffoïde. les Elle eft compofée, comme l'on voit, de deux parties semblables & égales AM, Am qui forment en A un point de rebrouffement, & qui après avoir coupé la circonférence aux points C, c également éloignés de A & de B, s'écartent toutes les deux à l'infini, fans pouvoir jamais atteindre la tangente QB q, qui eft par conféquent leur afymptote. 727. Pour trouver l'équation de la Ciffoïde, je mene O M parallele à AP, & MP, NG perpendiculaires. Je fais A P = x, P M A B ou le diametre du cercle générateur a. Puifque ANMQ, j'ai AG = PB, & AG (a-x); G N ou v (a xxx) : AP(x): PM (y) ; d'où y2 x3 a- X =y, & équation cherchée. x V x v (a-x) 728. Or cette équation fait voir 1o, que la ciffoïde eft une courbe algébrique du fecond ordre. 2°, Qu'à chaque abfciffe AP, répondent deux ordonnées égales PM, Pm, l'une pofitive, l'autre négative, & qu'ainfi la courbe a deux branches parfaitement égales & femblables. 3°, Que lorfque x o, y eft auffio; la courbe paffe donc à l'origine des abfcifles. 4°, Que fi xa, alors y+a; c'eftà dire, que les deux branches de la ciffoïde coupent la circonférence en des points C, également éloignés de A & de B. 5°, Que fi x =a, y eft infinie, & que par conféquent la tangente BQ eft l'afymptote de cette courbe, comme nous l'avions déja conclu de fa defcription. La conchoïde & la ciffoïde furent employées par leurs inventeurs Nicomede & Dioclès à trouver la Duplication du cube, Problême célebre parmi les anciens Géometres, mais qui n'a plus de célébrité parmi les nouveaux. 729. HI°. LA LOGARITHMIQUE. Si après avoir pris un point A fur FIG la droite indéfinie G H, on éleve des ordonnées Pal qui ayent pour logarithmes leurs abfciffes A P, la courbe B M m qui paffe par les ex- 155. trémités de ces ordonnées, s'appelle Logarithmique. Soit donc A P x, PM y, m le module, e === le nombre 2.718818, dont le logarithme hyperbolique eft 1, on aura x= x mly=xle, ou y = e, qui donne y-em, équation de la logarithmique. Elle fait voir 1o, que cette courbe eft du nombre des tranfcendantes; 2o, que lorfque xo, y ou A B = 1; 3", que fix AE 1 AB 1, y ou EF=em & qu'ainfi en faisant EF aura toujours y greffion arithmétique x a; d'où il fuit que fi les abfciffes forment la pro 1.2.3.4. &c, les ordonnées formeront la progreffion géométrique a a2 : a3 : aa &c. La logarithmique s'étend donc à l'infini au-deffus de AP Mais fi on prend fur A Q des abfciffes négatives, x —— I x I &c, c'est-à-dire, que la courbe a une branche infinie BO 2 43 qui s'approche de plus en plus de la directrice ou de l'axe GH, fans pouvoir jamais l'atteindre. 730. La propriété la plus remarquable de la logarithmique eft que fa foutangente eft toujours de la même grandeur. On le prouve avec la plus grande facilité par le calcul différentiel: voici, en attendant, une démonftration à peu-près femblable. Soit menée l'ordonnée mp infiniment proche de MP, & foit prolongé le petit côté Mm pour avoir la tangente MT. Cela pofé, fi on mene Mr parallele à l'axe, & fi on nomme Pp (e), m r (i), on aura &c); donc puifque x = 333 Aly, il faut que i &c.) Mais la quantité i étant infini ment petite, fes puiflances i', i3, &c, doivent être rejettées; on a es' i donc ou PT=A. La foutangente eft donc toujours égale au module; & puifqu'en général x Aly, il eft clair que dans deux logarithmiques différentes, les abfciffes des mêmes ordonnées font com FIG. me les foutangentes, ou ce qui revient au même, les logarithmes des mêmes nombres dans différents fyftêmes font entre eux comme les modules. On peut voir dans un petit Traité de Keil fur la logarithmique, comment il en a déduit les regles du calcul des logarithmes. 156. 731. IV. LA CYCLOÏDE. Si un cercle A G roule fur une droite Aa, jufqu'à ce que le point qui touchoit d'abord cette droite en A, la touche encore en a ce point décrira une courbe, appellée Cycloïde ou Roulette, ou Trochoïde. Les travaux de Pafchal, d'Huyghens, des Bernoulli, &c, ont rendu cette courbe fort célebre. و Ce fera une cycloïde ordinaire, lorfque ce cercle générateur n'aura d'autre mouvement que celui de fa révolution. Mais s'il a de plus un mouvement de tranflation dans le même fens, le point A décrira une 157 cycloïde accourcie. Si ce mouvement eft en fens contraire, la cycloïde fera allongée. 158. 1156. 1159. Or il eft clair que dans la cycloïde ordinaire la Bafe A a eft égale à la circonférence du cercle générateur; qu'elle eft plus courte dans la cycloïde accourcie, & qu'elle eft plus grande dans la cycloïde allongée. Le diametre BC du cercle générateur fe nomme l'Axe de la cycloïde, lorfqu'il eft perpendiculaire au milieu de sa base. Le point B en eft le Sommet: ainfi BC eft fa plus grande hauteur. 732. Cela pofé, menons MP perpendiculaire fur BC, & tirons fes cordes égales M F & OC; nous aurons FC= MO; donc puifque FC: A C -AF BOC FK M BOC-OLC BIO, il eft clair que la partie MO de l'ordonnée MP eft toujours égale à l'arc correfpondant BIO du cercle générateur. D'ailleurs l'autre partie OP eft le finus du même arc; donc appellant MP (y), BIO(u), on aura pour l'équation à la cycloïde ordinaire, yu+finu. b Et pour la rendre plus générale, on fera MO= BIO ce qui b a a convient à la cycloïde ordinaire, ou accourcie, ou allongée, fuivant b a par b -Blo, ce qui donne a les triangles femblables on a mr: Mr:: b O o. D'ailleurs dre fur la tangente au cercle générateur la partie OT=BIO, & |