mener par les points M & T la ligne M T qui fera la tangente de la FIG. cycloïde, foit ordinaire, foit accourcie, foit allongée. Dans la premiere cependant, la construction peut être fimplifiée; car puifque MO BIO OT, on a l'angle TOP, où 2 BOP=2TMO; c'est-à-dire, qu'une droite MT parallele à la corde OB eft nécessair rement tangente au point M de la cycloïde ordinaire.. = 734. Maintenant foient menées la ligne indéfinie BQQ' perpendiculaireà l'axe BC, & Qq, Q'm paralleles au même axe; on aura par les triangles femblables, mq: Mq, ou Q'Q : Pp: : OP: BP; donc Q'QxBPPpxOP, ou MmQQ Ppo.O; & par conféquent l'efpace circulaire BIOP BOM, & le demi-cercle BOCB BDA B. Or le rectangle A B dans la cycloïde ordinaire eft quadruple de ce demi-cercle ; donc l'efpace cycloïdal eft triple du cercie générateur. 735. Si au lieu de prendre un point de la circonférence du cercle pour décrire la cycloïde, on l'eût pris au-dedans ou au-dehors du cercle, alors la courbe décrite eût été une autre efpece de cycloïde; & fi au lieu de faire rouler un cercle fur une droite, on l'eût fait rouler fur la circonférence d'un autre cercle, alors la courbe décrite par un de fes points eût été du genre de celles que l'on appelle Epicycloïdes. Nous ne pouvons qu'indiquer ces objets. 736. Vo. LA QUADRATRICE DE DINOSTRATE. Suppofons qu'une 160. droite A G tangente en A fe meuve uniformément, parallèlement à elle-même le long du diamètre Aa, & qu'au même instant qu'elle part du point A, le rayon A C tourne uniformément autour du centre C vers le point E, de maniere qu'il fe confonde avec CE au moment où la droite AG s'y confondra auffi, nous aurons par l'interfection continuelle de ces deux lignes une courbe AMD, appellée Quadratrice. par rayon 2 11 fuit de cette defcription qu'un efpace quelconque AP parcouru par la droite A G eft à l'arc circulaire A B décrit dans le même temps l'extrémité du comme un autre efpace A C parcouru par cette droite eft à l'arc correfpondant A B E décrit par le rayon. Faifant donc A P=x, PM=y, A Bu, AC=a, ABE=90° =c, on aura 1o x : a :: u : c:: l'angle A CB: l'angle ACE; donc CX a On aura 2o, CP: PM::CA: A G, ou a—x:y :: a: tang u a CX tang ; & ce fera l'équation aux coordonnées de a donc y 2.3.4.5 a9 '160. 161. a 2.3.as 2.3.4.5 a9 Donc lorfque x fera zéro, y qui deviendra la bafe CD, aura pour a2 expreffion ; d'où il fuit que fi la bafe de la quadratrice étoit une fois connue, on auroit auffi-tôt la quadrature du cercle. C'est ce qui a fait donner à cette courbe le nom de quadratrice. 738. Si on décrit du centre C & du rayon C D le quart de cercle DLK, fa longueur fera égale au rayon CA; car' a a C :DLK::a: c; donc DLK-a. On aura auffi PC l'arc L D; car ::a: u; d'où KL⇒x=AP, & PC LD. 739. Prenons maintenant des abfciffes négatives A P', & fubftituons leur valeur dans la premiere équation. Elle deviendra y сх (a + x) a tang *, ce qui donne des ordonnées négatives P' M'. Ainfi la courbe a a une branche A M', dont on trouvera que la droite QN menée à la distance AQ=a eft l'afymptote, en fuppofant y infinie; car alors on trouvera que tang =30, & que par conféquent x = a. сх a Si après s'être confondus avec CE, la droite AG & le rayon CA continuent de fe mouvoir l'une en defcendant vers a, l'autre en tournant dans le même fens, il eft vifible que leur interfection décrira la partie D a de la quadratrice. Il eft vifible auffi que fi on pouvoit décrire géométriquement cette courbe, on auroit immédiatement tous les angles d'un nombre donné de degrés, par exemple, de I - m 90°. Il n'y auroit pour cela, qu'à di vifer AC au point P, de forte que AP fût à A C:: 1: m; car alors me nant l'ordonnée PM, & le rayon C B, l'angle A C B feroit puifque au; c :: 1: m. 740. VI. LA SPIRALE D'ARCHIMEDE. On appelle ainfi la courbe CKM A décrite par un point C qui fe meut uniformément le long du rayon CA, pendant la révolution uniforme de ce rayon autour du centre C, de maniere que lorfque le rayon a parcouru la circonférence entiere, ce point fe trouve confondu avec le point A. Si après avoir prolongé le rayon CA, on lui fait faire une feconde ré volution, le point C continuant de s'éloigner de l'origine de fon mouvement décrira une feconde Spirale, puis une troifieme, & ainfi de fuite, ou plutôt toutes ces fpirales ne feront qu'une feule & même courbe, dont les révolutions peuvent fe multiplier à l'infini. 741. Cela pofě, l'ordonnée CM (y) eft au rayon CA (a) :: l'arc ABN qui eft l'abfciffe correfpondante, & que j'appelle x, eft à la circonférence entiere A B NA, que j'appelle. On a donc y = ax T , ax pour l'équation à la spirale d'Archimede. D'où il fuit 1°, que c'eft une courbe tranfcendante; 2° qu'elle paffe par le centre du cercle générateur; 3°, qu'elle paffe auffi par le point A ; 4°, que fi on fait x = + x', l'équation deviendra y = a + & qu'ainfi en donnant à x' les valeurs qui font entre o &, la fpirale fera une feconde révolution qu'elle terminera à l'extrémité d'un rayon double du premier. Elle en fera une troifieme, une quatrieme, &c, fi on fait x2π+x11 x= =3x+x''', &c. % 742. Pour mener à fon point M la tangente MT, on imaginera le rayon Cmn infiniment proche du rayon CM N, & après avoir décrit un cercle du rayon CM on menera CT perpendiculaire à CM: puis on aura par les triangles femblables Mm r, MTC, mr: Mr:: CM: CM. Mr Or CM = ABN, & Cm ABn; CT= mr a T a T Donc Cm- CM, ou mr- Nn; & puifque a: y:: Nn: Mr, a tangente C T doit être prife égale à l'arc circulaire O QM, 743. VII. LA SPIRALE PARABOLIQUE. Si on prend fur un rayon quelconque CN une partie N M moyenne proportionelle entre l'arc AN & une ligne donnée p, la courbe qui paflera par tous les points M ainfi déterminés, fera la Spirale parabolique. Soit donc AN=x, CM=y, AC=a, & on aura y = a Vpx; équation qui en fubftituantx + x, 2 x + x, &c, au lieu de x, fait voir que cette courbe peut faire une infinfté de révolutions autour du centre C, & que par conféquent elle eft du nombre des fpirales. 744. VIII. LA SPIRALE HYPERBOLIQUE. Je fuppofe que du point C pris pour centre fur l'indéfinie CP, on décrive des arcs AG, QM, PO, &c, égaux en longueur, & que par leurs extrémités G, M, ( FIG. &c, on fafle paffer une courbe CKG MO. Ce fera une Spirale hyperbolique. Il eft aifé de voir que fi on éleve une droite A R parallele à l'axe CP, & qui en foit éloignée d'une quantité CB=AG=QM= PO, &c, cette droite fera l'afymptote de la fpirale hyperbolique, parce qu'elle ne peut la rencontrer que lorfque le rayon CM eft infini. 745. Soit le rayon CA=a, AN=x, CM=y, AG=QM, &c=b; on aura x bay, qui donne x y=ab, équation femblable à celle de l'hyperbole entre les afymptotes. Or fi on appelle la circonférence dont le rayon = a, & fi on substitue à x les valeurs+x, 2% +x m+x, on aura fucceffivement y que plus l'abfciffe eft grande, plus l'ordonnée eft petite, & que celle-ci ne devient nulle, que lorfque m eft infini. La Spirale hyperbolique fait donc une infinité de révolutions autour de fon centre avant que d'y arriver. 746. Cherchons maintenant la valeur de la foutangente CT, & pour cela imaginons la ligne Crm infiniment proche de CM, & l'arc mq; menons enfuite CT perpendiculaire à C ́M, qui rencontre en T tangente TM, & nommons Qq=rm=i; nous aurons y +i: la by y + i by bi b : : y: Qr= Donc rMb = y+i 164. bi y+ : y+i: CT= b. Ainsi dans la Spirale hyperbolique la foutangente eft conftante, comme dans la logarithmique (730). 747. IX. LA SPIRALE LOGARITHMIQUE. On nomme Spirale loga rithmique la courbe qui coupe fous un même angle tous les rayons CM tirés de fon centre C; enforte que la tangente M T fait toujours un angle égal avec le rayon CM, de quelque côté qu'on le fuppofe. Cette courbe a plufieurs belles propriétés que l'on ne peut bien détailler que par les méthodes du calcul différentiel & intégral dont nous allons bientôt faire connoître les principes. DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. EN conftruifant l'équation... y2 = 2 ax-xx, nous avons FIG. trouvé (649) qu'il en réfultoit un cercle dont le diametre étoit za: ce cercle eft ce qu'on appelle le Lieu géométrique de l'équation y2 =2axxx. 748. En général, le Lieu d'une équation eft la ligne décrite d'après le rapport des x & des y que cette équation renferme. Ce rapport entre les coordonnées fert de base aux conftructions géométriques, & la théorie qui enseigne à réfoudre ce genre de problemes eft également ingénieufe & utile. On a vu (N° 457 & fuivants) la maniere de conftruire les équations déterminées : nous allons nous occuper maintenant de la conftruction des équations indéterminées. On appelle ainfi toutes les équations à deux variables, & on en diftingue les degrés par ceux des plus hautes puiffances auxquelles ces mêmes variables font élevées. Commençons par les équations indéterminées du premier degré. 749. Toute équation de ce genre, peut être repréfentée par celleay=bx + c ; d'où on tire y= ci bx C + Il s'agit donc a a de trouver le lieu géométrique de cette derniere équation. Soit AP la ligne des abfciffes x, dont je fuppofe l'origine au point A; foit P M une ordonnée y qui faffe avec A P un angle donné quel: 165. conque APM. par Cela pofé, fi je prends fur A P une partie déterminée A B que j'appellerai a, & fi je mene parallèlement à PM une ligne BD que j'appellerai b, il eft évident qu'une droite indéfinie ADN menée les points A & D, formera deux triangles femblables A B D & A PN, qui donneront . ab: x: PN bx a Donc la ligne AN fe roit le lieu cherché, fi l'équation propofée étoit Gimplement . . . C Mais à cause de — qu'il faut ajouter au second membre, les y a doivent être augmentées de cette quantité: il faut donc trouver une bx ligne qui ait pour expreffion a C + Or en élevant au-deffus de |