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e.

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FIG.

a

(a-*)); ce qui donne . . . y3 +z2 — ax— —-— y

y2

=0; équation au cercle que l'on peut conftruire ainfi. Soit d'abord cette équation écrite fous cette forme

(y — — )2 + ({ a — x)2 = † a2 + 1 = •

t

Soit divifé enfuite A B par la moitié au point F, par lequel on
perpendiculaire fur A B ; puis du centre E & du

menera EF=

a

2 t

rayon E A = √ (14,a2 +

a2 4 12

), foit décrit le cercle A M B. Il est

clair fera le lieu de l'équation trouvée; car en menant EQ pa-
que ce
rallele à AB, on aura EQ= {a — x ..MQ==y—

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a

Puifque EF =, l'angle A EF doit être égal à l'angle AMB;

2 t

donc fi on mene AT, de maniere que l'angle TAB foit égal à l'angle AMB, la ligne A E perpendiculaire fur A T rencontrera E F au centre du cercle cherché.

PROBLEME 11.

759. Imaginons que la ligne droite AB, d'une longueur donnée, 172; fe meuve dans l'angle BCA, de maniere que fes extrémités A & B reftent toujours fur les côtés de cet angle; il s'agit de trouver la courbe décrite par un point déterminé M, pris fur cette ligne AB. Soit mené MP parallele à A C, & foit CP= AM=m .. BM=n. cof ACB cof MPB c; on aura

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2nx

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cy. = y2 - n2 + ; ou...

m

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m

m2

u; on aura, en faisant

équation qui appartient évidemment à l'ellipfe.

Pour la conftruire, foit y

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trairement CE: g, & mené EF

on tire CFQ, ou aura QM➡«.

Cnx

m

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Soit donc CFƒ, & CQ={, on aura x=

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2). Ainfi les diametres conjugués CO & CG

FIG.

n2 s2 g2 f2 m2
fm
m' fi

feront refpectivement exprimés par

f m 85

& par n; & puifque l'on

173.

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connoît l'angle G CO, il eft facile de décrire l'ellipfe (684).

Si l'angle ACB étoit droit, l'équation primitive deviendroit ...

m

y (m2 — x2); auquel cas elle appartiendroit à une ellipse qui auroit m & n pour demi-axes. On peut donc décrire par ce procédé toure ellipfe dont les axes feront donnés; le premier étant défigné par 24, & le fecond par 2b, ou prendra A M = @ ... MB, & on fera mouvoir la droite A B entre les côtés d'un équerre. Le point M décrira le quart de l'ellipfe demandée.

PROBLEME III.

760. La parabole NAK étant donnée, trouver le lieu de tous les points M tels qu'en menant les deux tangentes NM & K M, l'angle qu'elles formeront foit toujours égal à un angle donné.

Menons MP, KL & NQ perpendiculairement fur l'axe AQ, & fuppofons AP=x. PM =y .. NQ=¿.. KL=u le parametre de la parabole P... tang NMK = t; & nous aurons, à caufe des triangles femblables TPM, TN Q, & SPM, SLK, les proportions fuivantes.

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Donc 2 y 22 - px, & 2 uy = p. x - u. Ajoutant & foultrayant ces deux équations, on trouve pour réfultat

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{2 + u2 — 2px=4y2. Or la premiere donne

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{2 + u2. —2ux=4y2; donc uz px. Cette équation jointe à

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そ uy, exprime que les lignes MK & M N tou

chent la parabole. Il ne refte donc plus qu'à faire enforte que l'angle

NMK foit constant.

Or NMK NTQ+KSL; & puifque tang NTQ=

NQ

TQ

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424

d'où l'on tire { c ( 4 x − p) = u+z. D'ailleurs puisque z- u 2y, on en déduit

z=y+t(4x - p). . . u =—y + { t (4 x − p) ; donc uz, ou px=—y2+t2 (x —p)'; & ordonnant, on obtient enfin

y2 — t2 2 + x ( p t2 + p) —

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(t3+1)]; & comparant cette équation à . . . y2 = (x3- m2 ),

on trouvera en appellant s le finus de l'angle NMK,

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Diminuant donc les x de la quantité A C = p + P

& décri-

212

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vant une hyperbole dont le premier axe Dd=2m & le fecond
= 2n, cette courbe fera le lieu géométrique de l'équation trouvée.
On peut remarquer 1°, que fi l'angle NMK étoit obtus, la tan-
gente feroit négative: mais cela ne changeroit rien à l'équation
parce qu'elle ne renferme que des puiffances paires de t; d'où il fuit
que des deux branches hyperboliques MDm & M' dm', l'une fatis-
fait au problême dans le cas où l'angle donné eft aigu, & l'autre dans
le cas où cet angle feroit obtus ; & il eft clair que c'eft la plus éloignée,
MD m, qui convient au premier cas.

On peut remarquer 2°, que fi l'angle donné étoit droit, la ligne cherchée feroit la directrice même de la parabole; en forte que fi de chaque point de cette directrice on mene deux tangentes à la parabole, l'angle qu'elles formeront fera toujours droit.

PROBLEME IV.

761. Faire paffer une fection conique par cinq points donrés 1749 A, C, D, B, E.

Par deux de ces points, menons la ligne A B, & tirons des autres points, les perpendiculaires CF, DH, GE fur cette ligne. Suppofons enfuite que l'équation de la fection conique cherchée est

FIG.

275.

ay2+ bxy + cx2+ dx+fy+g=

& faifons AF-p... FC=q... AG=p'... GE=q'
АН p''...
.. DHq"... AB=p". Il faudra que lorf-
que xo, on ait yo: ainfi go; ce qui réduit l'équation à
ay2 + bxy+c x2 + dx+fy=0

ou

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Enfuite, felon que xp, ou p', ou p", ou p", on a y=q,
- q', ou qʻ', ou zéro: ainsi on a les quatre équations fuivantes
aq2+bpq + cp2 + dp + fq=0...aq' q' -bp'q'+cp'p' +dp'- fq'=0.
aq" q"+bp" q" + cp"p" + dp"+fq" = o...cp" p'"' + dp"1=0;
d'où l'on tirera les valeurs des quatre inconnues b, c, d, f, qui étant
fubftituées dans l'équation. . . ay2+ bxy + cx2 + dx + fy = o,
donneront l'équation de la courbe cherchée, après avoir divifé par a.
il n'y aura donc plus qu'à conftruire cette équation par les principes
déja connus.

On peut appliquer la même méthode à la réfolution d'un problême femblable pour les lignes du troifieme, du quatrieme degré, & ainfi de fuite.

762. Cette même méthode peut fervir à trouver par approximation la loi qu'obfervent entre elles plufieurs quantités liées enfemble par de certains rapports; & on l'appelle alors la Méthode des interpolations.

Suppofons, par exemple, les trois quantités BC, DE, F G dépendantes de trois autres quantités AB, AD, AF: il s'agit de trouver en général une loi qui uniffe ces fix quantités.

Pour cela, imaginons la ligne indéfinie A BDF, dont nous regarderons les parties AB, AD & AF comme les abfciffes d'une courbe CEMG, & fuppofons que chaque ordonnée y eft une fonction indéterminée A+B x+Cx2+ &c de l'abfciffe correfpondante. (On prendroit quatre termes pour exprimer cette fonction, s'il y avoit quatre quantités données, BC, DE, PM & FG, & ainfi de fuite). Cela pofé, puifque l'on a dans cet exemple y A+B x +Ć x2, on fera AB BC b AD a . . . DE FGb", ce qui donnera les trois équa

=b'

a

AF a" tions fuivantes.

b=A+Ba+Ca2

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b' = A+Ba'+ Ca'a' ... b'—A+Ba"+Ca"a", par lesquelles on déterminera les coefficients A, B, C; ce qui donnera une équation approchée de la courbe CM: ainfi on pourra trouver une quantité AP qui dépende d'une autre quantité PM, de la même maniere que A B dépend de BC, & que A D dépend de DE; ce qui eft réciproque.

763. On peut trouver auffi par la même méthode l'équation approchée d'une courbe que l'on auroit tracée au hazard fur le papier.

Il fuffit pour cela 1o, d'abaisser des perpendiculaires de différents

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points de cette courbe, & fur-tout de ceux où elle change le plus de concavité, fur une droite quelconque, que l'on prendra pour ligne des abfciffes. 2o, De fuppofer que l'équation de la courbe tracée eft de cette forme y= A + B x + Сx2 + D x3 + &c, dans laquelle on fera entrer autant de coefficients indéterminés que l'on aura abaiffé de perpendiculaires fur la ligne des abfciffes: après quoi on déterminera, comme ci-deffus, les coefficients A, B, C, D, afin d'obtenir une équation approchée de la courbe en question.

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Réfolution des Problêmes déterminés qui ne passent pás le quatrieme degré.

764. Etant données deux équations indéterminées du fecond degré, on peut construire feparément leurs lieux géométriques, en leur donnant la même ligne des abfciffes, la même origine, & le même angle des coordonnées. Dans cette fuppofition, il eft clair que les deux courbes se couperont en des points tels que les ordonnées correspondantes ces points feront les racines de l'équation déterminée que l'on auroit en réduifant les deux équations données à une seule qui ne renfermât plus que x ou y.

Réciproquement, étant propofée une équation déterminée du troifieme ou du quatrieme degré à réfoudre, fi on prend deux équations affectées l'une & l'autre de deux inconnues x & y, telles qu'en éliminant une de ces deux inconnues on trouve l'équation propofée, il est évident qu'en conftruifant féparément les lieux de chacune de ces deux équations indéterminées, les points d'inserfection des courbes qui en réfulteront, auront chacun pour l'une de fes coordonnées une valeur de l'inconnue.

Soit, par exemple, l'équation générale

x4 a x3f b x2 + c x + d:

fi on fait x2=py, on aura l'équation

p2 y2+ap xy+bpy+cx+d=a;

qui appartient à une fection conique, & qui étant conftruite avec la parabole exprimée par l'équation xpy, coupera cette courbe en des points dont les abfciffes correspondantes feront les valeurs de x.

Si l'équation propofée a quatre racines réelles, les deux fections qu'il faudra conftruire, fe couperont en quatre points. S'il n'y a que deux racines réelles, il n'y aura que deux interfections entre leslieax trouvés ; & fi toutes les racines font imaginaires, il n'y aura aucun point d'interfection. Au cas enfin qu'il y eût quelques racines égales, les dear courbes fe toucheroient en un ou deux endroits.

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