FIG. zéro a pour quotient l'infini, C'est-à-dire, que co&o fervent dans le calcul différentiel, comme autant de quantités indéterminées. Ce font des expreffions vagues, dont il femble que l'on ne s'est avisé, que pour éviter des circonlocutions. ETANT Regles du Calcul Différentiel. 785. TANT donné y ax, on fuppofe que x reçoive un accroiffement infiniment petit, défigné par dx; y en recevra donc un auffi que nous défignerons par dy, & nous aurons y+dyax+adx; d'où dyadx; c'eft la différentielle de l'équation proposée. Elle eût été la même pour l'équation 6+y=ax- - c; car les conftantes n'ont point de différentielle. 786. Et toutes les fois que les variables ne pafferont pas le premier degré, on aura les différentielles des quantités propofées, en effaçant les termes conftants & en subftituant aux variables leurs propres différentielles. S'il falloit, par exemple, différentier bx + cya Mais fi les variables font élevées à d'autres puiffances que la premiere ; fi ona, par exemple, yx, alors en fuppofant que x devienne x +dx on aura y dy (xp+x): =x"+mx m dx+ m.m- I 2-2 dx2+ &c. Or dx2, dx3 &c. s'évanouiffent par rap 2 à dx: port reftera donc dy = mxTM - 1 dx; donc fim=2, dy= 2 x dx; fim=3, dy = 3 x2 d x ; &c. 787. En général, pour différentier une variable élevée à une puissance quelconque, diminuez fon expofant d'une unité, & multipliez-la par l'expofant qu'elle avoit d'abord & par fa différentielle. On auroit pû déduire cetteregle par induction, fans y employer la formule du binome, & alors on eût trouvé cette formule même avec plus de facilité que par l'Algebre ordinaire. Suppofons en effet que l'on demande la valeur générale de (1+). On peut repréfenter cette valeur par l'équation. . . (1 + z)" =1+Az+Bz2+Cz3 + &c. Cela pofé, différentions en fuivant la regle précédente; nous aurons...m (1+) - 1 d z = A dz +2Bzdz +3 Cz2dz +&c, en divifant par dz, nous trouverons m(1+2)" A + 2 B2 + 3 Cz2 + &c. par Or cette équation doit avoir lieu quelle que foit la valeur de z, fup132. pofons - la donc = o; alors mA; done m (1 + z) - 1 -m+ 2 B z + 3 Cz2+&c. Différentions de nouveau, & divisons enfuite dz; il viendra m. m — 1 (1 + z) •2 = 2 B + 2. 3 C { + 3·4 D&c. Soit =0; donc B 2 m. m- I = & m. m - I (1 + z)m • 2 = m.m−1 +2. 3 Cz+&c. Le même calcul don m.m terminés D, E, &c. On aura donc (1 + z)* = i +mž + 2 b b a ¿a+&c, &(a+b)TM, ou a′′ (1 + — )" = a*(1+m. + m.m-I 2 am - b2+ &c. Revenons 788. Lorfque deux variables x & y fe trouvent multipliées l'une par l'autre, alors d (xy) = (x+dx) (y+dy)—xy = y dx + xdy + dx dy = y dx+xdy, parce que dx dy s'évanouit. On a de même, d (xyz) = d(xy) + xyd z = xydz + x z dy +yzdx. d (u xyz) = y z d (ux) + u xd (y z) = ux yd z+ ux z dy+uyz d x + x y z du. Donc en general, pour différentier le produit de tant de variables que l'on voudra, il n'en faut différentier qu'une à la fois, comme fi toutes les autres étoient conftantes ; & après avoir fait la même chofe pour chacune, il faut raffembler toutes ces différentielles. Soit, par exemple, la quantité x3 y. Je fais varier y, & j'ai x3 dy; jé fais varier x, & j'ai 3yx dx. Donc d(x3 y) =x3 dy+3yx2 dx. De même d (x2 y3 4) = 3x2q+y2 dy + 4x* y3 z3 dz + zxyz* dx. dx xy-1, & x dy y yy en différentiant j'ai d(—)=y11dx — ·xydy Donc pour différentier une fraction où il entre des variables, il faut 1o, multiplier le dénominateur par la différentielle du numérateur ; 2o, multiplier le numérateur par la différentielle du dénominateur; 3°, retrancher le dernier produit du premier, & divifer le refte par le quarré du dénominateur. Avec ces règles feules, il n'eft pas de quantité algébrique que l'on ne puiffe différentier. Voici quelques exemples de celles qui font les plus ufitées. 790. En général, fi x = ~ (az+z2) = (a z +z2) m on trou vera que dx = (az + z2) m dz (a+zz) m m mv (az + q2)m-1 (a d z + 2 z dz} D'où il fuit que pour différentier un radical du degré m, il faut divifer la différentielle de la quantité qui eft fous le figne, par l'expofant m & par la racine m de cette quantité élevée à la puiffance m-1. III. Soit x = (a + by + cyy), on aura dx=m (a+by+cy2)m-i (b+zcy) dy. m - I * (a + 2 b x + 3 c x2 ) d x. −x + v(aa + xx) 2 x dx a a dx (x+v (xx+aa), a a x2 dx -+ √ (aa+xx)+ a a dadx+2x xdx + a a a a v (a2 + x2)° a a √ ( a2 +x' ) Des Différentielles fecondes, troifiemes, &c. 791. La différentielle feconde d'une quantité eft la différentielle de la premiere différence. La différentielle troifieme eft la différentielle de la feconde, & ainfi de fuite: d d x ou d'x fignifie la différentielle feconde de x, d3x ou dddx marque la troifieme, &c..Le quarré de la différentielle dx s'écrit ainfi, dx, & fa puiffance m s'écrit dx", &c, Il ne faut confondre d (x) avec d pas D'après ce que nous venons de dire fur les différentielles premieres, il eft facile d'avoir les fecondes, &c. Soit x dont on demande la différentielle feconde: on aura pour la premiere 2 xdx; la feconde fera donc dxdx + 2 x d d x = 2 dx2+2 x d dx. De même, puifque d(x): m-1dx =mx ·m-1 ddx+m.m— on a dd(xm xdx2. On a auffi d (xy)=xdy + y d x ; donc d d (xy) = xddy y ddx + 2 dydx. yy yy + 2 y d y2 + y2 d d x — x y d d y — 2 y dx dy, & ainfi des autres. -xyddy-zy Par les mêmes principes on peut trouver les différentielles troisiemes, quatriemes, & en général les différentielles d'un degré quelconque, de toutes fortes de quantités affectées de dx & de dy. Par exemple, la différentielle de y d x eft y ddx dy dx. dx ddx dy ddy V ( d x2 + d y2) ⚫ celle yddxydxddy; celle de la quantité infini dy addx dx2 dy' &c, &c. 792. Pour abréger le calcul des fecondes différentielles de plufieurs variables, on fuppofe ordinairement une des premieres différentielles conftante; c'est-à-dire, que l'on rapporte les autres différentielles à celle-là, comme à un terme fixe de comparaifon; on en verra bientôt des exemples. Cette fuppofition fimplifie le travail en ce qu'elle fait difparoître tous les termes affectés de la différentielle de la quantité que l'on a prife pour conftante. Si on cherchoit, par exemple, la différentielle de dy 793. REM. Nous avons fuppofé jufqu'ici que les variables qu'on avoit à différentier, augmentoient toutes en même-tems. Si les unes augmen tant, les autres diminuoient, il n'y auroit pas de difficulté pour cela: car dx & dy peuvent être pofitives ou négatives, comme toutes les autres quantités algébriques. Des Différentielles Logarithmiques & Exponentielles. = 794. Soit propofé de différentier le logarithme naturel de la variable x.... Je défigne ce logarithme par lx, & faifant /xz, j'af z+dz=1(x+dx); ce qui donne dz, ou d (1x) = 1 (x+dx) égale à la différentielle de cette quantité divifée par elle-même. Pat conféquent pour un systême dont le module=m, on a d(lx) Mais nous ne parlerons dans la fuite que des logarithmes mdx naturels dont le module=1. Cette regle pofée, il eft facile d'entendre les exemples fuivants, - dx nd x dlxy= dx dy_ydx-xdy dx dy = dl (aa—xx) = P xy -2xdx aa-xx div (a+b) = d(a+bx) l m dx V (1+xx) x dl У 795. Si on a des puiffances de logarithmes, ou même des logarithmes de logarithmes, leur différentiation sera aisée. Soit, par exemple, y(x), on aura dym (lx)=1 =x" (1x)", il viendra dy =mx m = 1 d x ( l x)" + n x -I 1 dx (lx)" - =X · m - 1 d x ( l x ) " - 1 (n+mlx) &c. Soit enfuite la différentielle d'une quantité quelconque eft égale au produit de cette quantité par la différentielle de fon logarithme. Cette regle peut fervir à trouver facilement les différentielles des quantités même algébriques. Par exemple d (x)=x" dlxm = = fur-tout avec fuccès à la différentiation des quantités exponentielles. On nomme ainsi celles qui ont des expofants variables. Telles font *, x, &c. qui font du premier ordre; x eft du fecond, &c. |