FIG.

807. Soit maintenant une courbe quelconque BIOC avec une 159. autre courbe BMA, telle que fi on prolonge les ordonnées OP de la premiere jufqu'à la rencontre de la feconde, la ligne MO foit une fonction quelconque de l'arc BIO; il s'agit de mener par le point donné M la tangente MT.

Concevons l'ordonnée mp infiniment proche de MP, & Mr parallele à la tangente au point O; fi on fait BIO=2, MÓ≥ ù, on aura mr=du, rM=0o=dz, & du: dzu: OT = du

aura

dz

udz

en prenant les diffé

du

Or a étant une fonction de , on
rentielles; ainfi TO, ou le point T fera déterminé, d'où il est

facile de mener la tangente MT.

Suppofons, par exemple, u =

OT== BIO. Si BIOC eft un arc de cercle, alors AMB eft une cycloïde, & cette conftruction est la même que celle que nous avons déja donnée.

Dans la quadratrice, fi on compte les abfciffes du centre, on

160.

OT, comme on peut le prouver par deux triangles femblables, favoir MOT, & le triangle différentiel que l'on imaginera en menant une ordonnée infiniment proche de MP. (Il faut-dy, parce que y diminue, lorfque x augmente).

Lorfque CMC T, ou au point D, on a comme nous l'avons déja

a a

C

CM2

& par conféquent CT =

Il faut

CD

CD & au

trouvé, la bafe CD =TM,
donc prendre CT troifieme proportionelle à la bafe
rayon CM, ce qui donnera le point T par laquelle, & par le

point M fi on mene la ligne MT, elle fera la tangente demandée. FIG. 808. Pour mener les tangentes aux fpirales, il faut réfoudre le pro 161. blême fuivant. Soit décrit un cercle d'un rayon quelconque CA, & foit une courbe CKM telle qu'en menant le rayon C MN, la ligne C M soit une fonction quelconque de l'arc AB N, il s'agit de mener par le point donné M la tangente MT.

On imaginera les deux rayons infiniment proches CMN, Cmn, & le petit arc Mr décrit du centre C & du rayon C M, on menera enfuite CT perpendiculaire à C M.

Cela pofé, foit CM=y, ABN=x, CA= a, on aura ay :: N (dx); Mr=Ydx,

yd

a

y dx

& rm (dy): :: y:

a

CT=y'dx

ady

la courbe CK M fera la spirale d'Archi→

H

dx Б
=

axy_xy

=M QO'.

dy a

,

Soit la spirale hyperbolique dont l'équation eft xy=ab, on aura

xdy+ydx=0,ydx=-xdy, CT=

xydy
ady

x y

b; ce que nous avons déja trouvé (746). 809. Dans la fpirale logarithmique, où l'angle C M T eft conftant, 1644 on imaginera les rayons infiniment proches CM, Cm, & décrivant du centre C & d'un rayon quelconque C N un cercle, on fera C M = CN=a, & marquant fur la circonférence du cercle un point fixe A on fuppofera l'abfciffe ANx ce qui donnera la proportion zdx a: dx:: 7 : Mr

ou + une conftante C, parce que la dif

at

férentielle de l'équation left la même que celle de l

Or cette équation /z = +C, fait voir 1°, que la fpirale fait une

at

infinité de révolutions autour de fon centre, tant pour s'en approcher que pour s'en éloigner; car au lieu de x on peut fubftituer fucceffivement x, x+27 x+3π, &c2 −7+x, − 2 π + x. &c, π étant la circonférence A NB,

,

FIG.

186.

3, Que les abfciffes AN croiffant en progreffion arithmétix, 2 x, 3 x, &c, les ordonnées forment la progreffion

que

x

2x

3x

géométrique.... Ceat, Cleat, C'e at &c. 4o, Que fit=∞, on aq=C', propriété du cercle qui coupe à angles droits tous fes rayons, comme on le fait déja.

Ces exemples fuffisent pour mener les tangentes de toute forte de courbes foit méchaniques foit géométriques. Au refte, on peut voir cette matiere traitée plus en détail dans l'Analyse des infiniment petits du Marquis de l'Hôpital.

Des Développées.

810. Imaginons un fil ABC appliqué fur une courbe quelconque BC dont l'origine eft en B, & dont A B eft tangente en ce point; fi on développe ce fil en le tenant toujours également tendu, fon extrémité A décrira une courbe A M, qui aura les propriétés fuivantes.

1, La tangente M C de la courbe BC fera toujours perpendiculaire à la courbe A M; 2°, la longueur de cette ligne fera égale à la ligne A B à l'arc BC; 3o, l'arc infiniment petit M m pourra être regardé comme un arc de cercle décrit du centre C & du rayon C M; 4°, le point C fera le point de réunion des deux normales infiniment proches MN, mn.

811. La courbe BC fe nomme la Développée de la courbe A M; la ligne MC eft le rayon de la développée; on l'appelle auffi rayon ofculateur, rayon de courbure.

Cela pofé, on demande comment on pourroit déterminer pour chaque point M le rayon MC de la développée BC que l'on suppose

connue.

Soient MP, mp deux perpendiculaires à l'are AQ infiniment proches, & CO, rM paralleles au même axe; fi on appelle MO, u... AP, x PM, y.... M m ou V (dx2+dy2), ds, on aura. dx:ds::u: MC= Maís pendant que AP, PM, & MO

uds

dx

...

varient, MC devenant mC ne varie point; ainfi l'équation MC
uds
étant différentiée, on aura (ud d's+ds du) dxuds d d xz

dx

Suppofons maintenant, pour abréger, qu'une de ces différentielles foit conftante, l'élément ds de la courbe, par exemple, & nous ds dy dyv (dx+dy') aurons MC=

ddx

=

ddx

Si on eût fuppofé dy conftante, on eût eu ds dds=dxddxz

dxddx

dyds3

FIG

dy d d x

doù dds=

ds

(ds2 - dx2) d d x

=

dyddx

ds2 dy

foit conftante, alors M C =

-dxddy

Mais fi on fuppofe, comme on le fait ordinairement, que de

ds3 (dx2 + dy2)

-dxdds - dxddy

812. Comme les courbures des cercles font en raison inverse de leurs rayons, on en déduit qu'en deux points différents d'une courbe quelconque, les courbures font en raifon inverse des rayons de la développée. Ainfi pour favoir en quels points la courbe a une plus grande courbure, il faut chercher le minimum du rayon de la développéc.

Si la tangente en A eft perpendiculaire à l'axe, alors pour déter- 186. miner la ligne droite BA, ou la diftance du fommet A à l'origine B de la développée, il faudra faire xo dans l'expreffion du rayon MC, & on aura la valeur de B A. Enfin pour trouver l'équation de la développée, menons CQ perpendiculaire à l'axe, & nommons A B, a...BQ, t... CQ, nous aurons d'abord, en fuppofant dx dx2 + dy2

FIG. fuffifent, avec l'équation de la courbe, pour déterminer l'équation de la développée.

187.

813. Jufqu'ici nous avons fuppofé les ordonnées paralleles entre elles. Si elles partoient d'un même point B, voici comment on détermineroit le rayon M C.

J'imagine deux ordonnées infiniment proches B M, B m, & CO, Co perpendiculaires à ces ordonnées; je décris enfuite du centre B l'arc Mr. Cela pofé, foit B M =y, Mr=dx,mr=dy, Mm=ds = √(dx2+dy), MO=u; à caufe des triangles femblables M rm, CMO, on a dx:u::dy: CO=

udy
dx

:

:

d

S:

MC=

uds

dx.

Dif

férentiant cette derniere équation (en supposant dx constante) on a

& la différentielle de CO qui eft Co-CO=

udds

du=

› ds

+udxddy Donc OQ=_udxddy, & y: dx : : y − u;

n+=

ds2 -udx ddy

ds2

D'où on tire u➡

3

`y (dx2 + dy2 ) {

dx3 + dx dy2 — y dx ddy› qui se réduit à

y=co, ou lorfque les ordonnées font paralleles comme nous, l'a-
vons déja trouvé. Passons maintenant à quelques exemples.
L'équation à l'ellipfe & à l'hyperbole, lorfqu'on compte les abf-
ciffes du fommet, eft généralement exprimée par yy=px
yy=p*±

રે où il eft clair que fi a∞, on a yy=px; équation la parabole, qui n'eft par conféquent qu'une ellipfe ou une hyperbole dont le grand axe eft infini. Ainfi l'équation y y=px± eft générale pour toutes les fections coniques. Elle peut donc fervir à trouver leur rayon de courbure.