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done, 4 fois 2 font 8; je retiens 1, que j'ajoute à 205X4; & ainf de fuite, jufqu'à ce que j'aye retrouvé 3,44776.

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84. On fait que les fractions ordinaires peuvent être transformées en une infinité d'autres, qui auroient toutes la même valeur. Les fractions décimales ont le même avantage, d'une maniere encore plus fimple; car foit la fraction 0,4: il eft clair que fa valeur ne changerá pas tant que fon numérateur & fon dénominateur feront multipliés par le même nombre; & fi 10, ou 100, ou 1000, &c. fert de multiplicateur, il eft également clair qu'en ajoutant un, ou deux, ou trois zéros fur la droite du 4, on fera d'un feul coup la multiplication du numérateur & du dénominateur (73). Ainfi 0,4=0,40=0, 400 =0,4000= &c.

85. Il fuit de-là que lorsqu'une fraction décimale eft ter minée par des zérós, on peut les fupprimer tous, fans altérer Ja valeur.

Mais fi on fupprimoit d'autres chiffres que des zéros, on fent bien que la fraction diminueroit de valeur : en fupprimant, par exemple, le chiffre 3 › dans la quantité

0,683, il ne reste plus que 0,68, quantité moindre de que la précédente.

86. Cette diminution eft d'autant moins fenfible, que la fraction a plus de chiffres. Ainfi la quantité 0,680003 n'eft diminuée que de, lorfqu'on retranche le dernier chiffre 3. On peut donc négliger plufieurs décimales dans une quantité qui en a beaucoup, fans diminuer senfiblement la valeur de cette quantité.

87. Comme il en réfulte pourtant une petite erreur on doit la corriger, du moins en partie, quand cela eft poffible: & cette correction confifte à ajouter une unité au dernier des chiffres confervés, toutes les fois que le premier fur la gauche de ceux que l'on retranche furpaffe 5. Si on négligeoit, par exemple, les quatre dernieres décimales de la fraction o, 12346889, il faudroit écrire 0,1235, & non 0,1234.

La raifon en eft que 0,1235 differe moins de la quantité propofée 0,12346889, que 0,1234. Car la fraction 0,1235 équivaut à 0,123 50000, & la fraction 0,1234=0,12340000. La quantité propofée fe trouve comprise entre ces deux fractions, mais elle approche davantage de la premiere.

88. En général, ou le premier des chiffres retranchés est au-deffous de 5, ou c'eft un 5, ou il furpaffe 5. Dans le premier cas, il ne faut rien ajouter au chiffre qui refte le dernier. Dans le fecond cas, on peut indifféremment ajouter ou ne pas ajouter une unité à ce dernier chiffre ; mais dans le troifieme cas, l'erreur fera toujours moindre, fi on ajoute cette unité.

Soit, pour exemple, la quantité 9,685243 que je fuppofe exprimer des livres & des parties décimales de livre de notre monnoie; fi on ne Yeut retrancher que les trois derniers chiffres 243, qui valent à peine unde denier, on écrira 9,685. Si on veut retrancher les quatre derniers chiffres 5243, dont la valeur n'est guere que d'un denier, on écrira indifféremment 9,68 ou 9,69. Mais en fupprimant les cinq derniers chiffres 85243, qui équivalent environ à 20 deniers =1f8d, il faudra écrire 9,7, au lieu de n'écrire que 9,6; en effet le résultat total de la quantité proposée étant, à très-peu de chose près, 9# 13o 8a,

on

on en approche davantage en écrivant 9, 7=9# 14o, qu'en n'écrivant que 9,69 12.

89. Dans les calculs ordinaires on a rarement befoin de plus de fix décimales: fouvent même deux ou trois fuffifent.

90. Lorfque les premiers chiffres à gauche de deux frac tions décimales ne font pas les mêmes, il eft clair que la plus grande eft celle dont le premier chiffre furpaffe celui de l'autre. Ainfi o, 8 furpaffe 0, 79....0,54 furpaffe. 0,49999 ... Par la même raison, 0, 111 furpaffe

0, 1109999.

91. Et fi les premiers chiffres d'une fraction décimale font les mêmes que ceux d'une autre fraction, la plus grande fera toujours celle qui aura quelques chiffres de plus, pourvu qu'ils ne foient pas tous des zéros. La fraction 0,763 24102, par exemple, eft plus grande que la fraction o, 76324.

92. C'eft de-là que dérive la principale utilité des dé cimales. Elle confifte à approcher de plus en plus de l'égalité avec les différentes expreffions numériques dont il n'eft pas poffible d'avoir rigoureufement, la valeur. Or toutes les parties des Mathématiques offrent une foule d'exemples de ces fortes d'approximations: en voici quelques-uns tirés de la fimple Arithmétique.

141

Il est bien rare qu'un nombre pris au hazard, foit exactement divisible par un autre nombre pris de même (44). Prefque toujours il y a un refte que l'on joint au quotient, en forme de fraction. Par exemple, en divifant 147475 par 362; on a trouvé (41) pour quotient 407 avec le refte 141, dont on a fait la fraction que l'on a ajoutée au quotient. Mais cette fraction eft incommode, quand il s'agit de l'évaluer fous cette forme. On a donc imaginé un moyen de transformer ces fractions en d'autres, dont la valeur foit la même, ou du moins qui en approchent autant que le Calculateur le juge à propos.

93. Ce moyen fe réduit à ajouter un zéro à chaque refte de divifion, afin de pouvoir continuer de divifer:

D

& comme en ajoutant un zéro, ce refte devient dix fois trop grand, on corrige l'erreur qui en réfulte, en plaçant au rang des dixiemes, le chiffre provenu de cette divifion ultérieure.

Reprenant donc l'exemple qui précède, j'ajouterois un zéro au refte 141, & j'aurois 1410 à divifer par 362. Le quotient feroit 3, que j'écrirois au rang des dixiemes; le nouveau refte feroit 324, auquel je pourrois ajouter un zéro, pour en former le nouveau dividende 3 240. Je diviferois ce nombre par le même divifeur 362, ce qui me donneroit 8 pour quotient, & 344 pour refte. Le 8 feroit mis au rang des centiemes, & l'addition d'un troifieme zéro me feroit trouver 9 pour le rang des milliemes. Il y auroit encore un refte 182, que je négligerois, au cas qu'il fuffit d'avoir trois décimales. Le quotient cherché feroit donc 407,389=407, à moins d'un millieme près.

94. Toutes les fractions ordinaires peuvent fe transformer de même en fractions décimales qui leur foient parfaitement égales, ou qui en approchent du moins autant que F'on voudra., par exemple, fe transforme en o, 5, dont la valeur eft exactement la même : mais n'eft fufceptible que d'une approximation infinie, à laquelle on peut procéder ainfi. Ajoutez un zéro au numérateur I, & divifez 10 qui en réfulte, par le dénominateur 3. Le quotient le plus approché en nombres entiers, fera 3, que vous placerez au rang des dixiemes; il reftera 1, auquel vous ajouterez un zéro, comme ci-deffus; & vous aurez encore une fois 10 à divifer par 3. Le quotient fera donc le même que le précédent, & il eft clair que cela n'aura jamais de fin. On a donc = 0, 33333 &c; & par conféquent =0,66666, &c.

3

3

4

5

4

=

La même méthode fait trouver=0, 25; donc 0,75. On trouve auffi que - O, donc = 2; 0, 8. La fraction fe transforme en o, 16666 &c, où l'on voit que le même chiffre revenant toujours, il n'eft pas poffible d'avoir exactement en décimales la valeur de

La fraction eft dans le même cas. On ne peut la mettre en décimales fans trouver 0, 142857142857 142857 &c. Or le retour périodique des mêmes chiffres, annonce l'impoffibilité d'une transformation rigoureuse. II eft vrai que dans les deux derniers exemples on peut pouffer auffi loin que l'on veut l'approximation qui en réfulte, dans l'un en écrivant le même chiffre, dans l'autre en répétant la même période, fans fe donner la peine de recommencer le calcul.

95. En général, il eft impoffible de réduire en décimales une fraction ordinaire, dans deux cas différents. Le premier a lieu toutes les fois que deux divifions fucceffives donnent le même refte. Le fecond, lorfque les chiffres du quotient reviennent dans le même ordre.

Il fuit de-là que le dénominateur fait connoître la limite la plus reculée du retour périodique dont il s'agit. Le dénominateur 7, par exemple, indique qu'en réduifant en décimales, les chiffres ne peuvent reparoître dans le même ordre, plus tard qu'au feptieme rang. On en trouvera aifément la raifon, en y réfléchiffant un peu. Il eft plus ordinaire cependant qu'ils reviennent, dans des cas femblables, avant le rang défigné par le dénominateur. On peut le vérifier sur la fraction entre autres.

I 3

96. S'il est toujours facile de transformer en décimales les fractions ordinaires, on éprouve fouvent de la difficulté pour ramener les premieres à celles-ci. On opere néanmoins cette réduction d'une maniere bien facile, dans les exemples les plus familiers.

On fuppofe que l'on demande en fraction ordinaire la valeur de 6, 3333 &c... Si on multiplie par 10 la quantité donnée, on aura (78) 3,333 &c ; & fi on la fouftrait de ce produit, il ne reftera qu'une quantité neuf fois plus grande que o, 3333 &c. Ce refte est 3, neuvième partie eft. On conclura donc que o, 3333 &c. on le fait d'ailleurs.

dont la

comme

Il en eft de même de la fraction o, 142857142857 &c, qui, multipliée par 10, devient 1, 42857 142857 &c. Si on retranche de ce produit le triple de la quantité donnée, le refte ne fera que fept fois plus grand que cette quantité. Or le triple de o, 142857 142857 &c, eft 0, 42857 142857 &c. Le refte fera donc 1, dont la feptieme partie eft un, comme ci-deffus.

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