pour trouver ce qu'il faut ajouter à 25° 44′ pour avoir l'arc cher ché, calculons les deux premiers termes a 14 + (1-xx) cofy + 2 cof3y a2x 2 ( 1 − x x ) = a 2 cos3 y a 2 cof y a (1 + cof 51° 28′ + a fin 25° 44′) = 2 cof3 y 1,62301807, dont le logarithme eft 6,0914025 (en supposant celui de l'unité 10); ôtant 4,6855748, il refte 1,4058277, pour le logarithme du nombre de fecondes de l'arc demandé. IV Or ce logarithme répond au nombre 25, 4582; l'arc cherché a donc 25"+0.4582"; multipliant par 60 cette fraction décimale, elle fe réduit à 27" +0.492""; multipliant par 60, on a 291 + 0.52TM, ou 29 1 + 31 ▼ + 12 VI. Donc enfin l'angle que IV faire entre elles les afymptotes d'une hyperbole dont les espaces doivent afymptotiques représentent les logarithmes des Tables, ou celui qui a pour finus le module, eft de 25° 44′ 25" 27""; & fi on prenoit le finus x avec dix ou douze décimales, le calcul feroit exact jusqu'aux 12 VI. dy dx 844. Faifons actuellement y = A. cof(x), nous aurons x =cosy... I = fin y -x (xx − i ) 1+2xx &c. Donc A cof (x + a) — A cof x — féries dont on fera le même ufage que des précédentes. On en trouvera de femblables pour l'arc dont la tangente ou la cotangente est dy dx ddy =dx2 finx, dx3 cof x, &c, Donc &C fin (x+a) = fin x + a cof x − — a3 fin x − 1 a3 cof x+—a* finx+&c fiu (x—a)=finx - a cof x-a2 fin x + 1⁄2 a3 coƒx+— a* fin x — De même, fiy cofx, on aura. - &C cos(x+a)=cosx — a finx - ¦ a2 cof x + 1⁄2 a3 fin x + —— aa cos x 60f(x—a) = cosx+ a finx - {}; a3 cof x − 1⁄2 a3 fin x + — aa cos x+&c. Ces formules font d'un très-grand usage, pour interpoler les Tables des finus; il nous fuffit de l'indiquer. Faifons x les valeurs de fin (x+a), cof (x+a), deviendront, à cause de fin x = o, & de cof x = I II a7 + + &c 2.3....II + &c, 2.3.4 2.3.4.5.6 & par conféquent tang (x+a) = tang x + + col a2 Donc la fomme cof' x i pour cot (x+a). 847. Soit maintenant y le logarithme tabulaire de fin x= 848. Si on fuppofe maintenant que y foit l'arc dont le logarithme du finusx, ou y = Al fin x on aura xml fin y, fin y a' fin y 2 + &c. Soit y Al tang x, il viendra dy fin zy ddy 4 m m 2 m dx2 fin 2 y cof 4y, &c. Donc A l tang (x+a) = 2 m3 a' fin zy cof 2 y a3 fin 2 y cof 4y formules peuvent fervir à réfoudre d'une maniere très-approchée les problêmes relatifs à l'usage desTables des finus. d x + + &c. Ces I 2 m3 ELEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL. DANS ANS le Calcul différentiel on fuppofe connu le rapport des quantités variables, & on cherche celui de leurs différentielles; dans le Calcul intégral, au contraire, on détermine le rapport des variables par celui de leurs différentielles. 849. On fe fert de la lettre pour indiquer une intégrale; fad x, par exemple, eft l'expreffion générale de toutes les quantités qui par leur différentiation produifent a dx; & comme a dx peut également provenir ou de ax feul, ou de ax + une quantité conftante, on ajoute à chaque intégrale une conftante C que l'on détermine enfuite par les conditions du problême. La quantité a x étant en quelque forte la fomme de tous fes éléments a dx, on prononce fomme de a dx l'expreffion fa d x; & Sommer, intégrer, ou trouver la fluente, font des mots fynonymes. S'il n'y avoit de différentielles que celles qui proviennent d'une différentiation exacte, chacune auroit fon intégrale: mais comme on entend par différentielle toute quantité affectée de dx, dy, &c, il y en a plufieurs qui ne font fufceptibles d'aucune intégration, parce qu'elles ne peuvent provenir d'aucune quantité différentiée : y d x, par exemple, eft de ce nombre. Il y en a beaucoup d'autres que l'on n'a pu intégrer jufqu'à préfent que par approximation. Telles font les différentielles des logarithmes, des arcs de cercle, & en général de toutes les quantités que l'on appelle tranfcendantes. Voyons d'abord celles dont on a trouvé les intégrales exactes, ou algébriques. Des Quantités fufceptibles d'une Intégration exacte. 850. Puifque la différentielle de x" eft nx-1 dx, il eft clair que l'intégrale de nxn-1dx doit être réciproquement x"; donc Sxn-1dx= ; & faifant n-1=m, on aura dx= n: +C; formule qui donne pour l'intégration des différentielles monomes la regle inverfe de leur différentiation (848). $51. Ainfi pour intégrer les différentielles monomes, il faut d'abord augmenter d'une unité l'expafant de la variable, & divifer enfuite par l'expofant ainfi augmenté, & par la différentielle de la variable. |