14 dz dont l'intégrale est ÷ 1({{+‡) — — Arc I - V 3 Substituant donc la valeur de z, j'ai pour l'intégrale entiere, Ix- 2 / (1 + x ) + { / ( 1 + x + x x ) + 866. Le dernier cas qui nous reste à traiter eft celui où le dénominateur Q auroit un ou plufieurs facteurs de cette forme. (xx+ax+b)". Alors on fuppofera que la fraction partielle pro(Ax2m-1 B x 2 m-2+ &c + R) venue de ce facteur est dx (xx + ax + b) m & on déterminera les coefficients A, B, &c, comme ci-deffus. Enfuite, faifantxa, & fubftituant, la fraction deviendra de cette A'zam-1+ B' 2m-2+ &c. forme, (zz+b'b')m +R' dz, que l'on peut (zz + b'b') ?n Or les termes où le numérateur a une puissance impaire, font intégrables, en partie algébriquement, & en partie par logarithmes (854); & ceux où z dans le numérateur a une puiffance paire, étant de la M72 dz dz (z z + b'b') m c'est-à-dire, qu'on peut les intégrer, en partie algébriquemer.t, & en partie par arcs de cercle; on aura donc par ce moyen l'intégrale de la fraction propofée. 867. Pour éclaircir ces différentes méthodes, voici un exemple qui (1+x) xx(xx + 2) ( x x + 1)2 I+x xx+2 + (xx + 1)2 On trouvera, en réduifant au même dénominateur A= fx dx (1+xx)-2-x (1+xx)1+fd x ( 1 + xx)-2. Donc fdx (1+xx)2 = x ( 1 + xx)-1+fx2 d x ( 1 + xx)-2 2 + 1⁄2 Arc tang x. Réuniflant donc toutes ces intégrales, on pour celle de la fraction proposee ...S dx (1+x)xx(xx+2) (xx+1)2 =÷//(1+x)+ 11⁄2 7 (xx + 2) + { / (xx+ 1) + { / I 2 x + C. 868. 11 fuit de ce qui précéde que toute différentielle fractionaire & rationelle est intégrable, ou algébriquement, ou par logarithmes, ou par arcs de cercle. La feule difficulté confifte à trouver les facteurs du dénominateur Q. Mais c'eft plutôt un défaut de l'Algébre ordinaire, de la méthode d'intégration que nous venons de donner. Lorsqu'on pourra donc rendre rationelle une fraction différentielle, que on fera für d'en trouver l'intégrale; or voici quelques cas où cene réduction eft poffible. 869. Soit d'abord une quantité où il n'entre point d'autres radicaur 12 ce qui donne x=z", & dx = 12 z "dz, la différentielle deviendra rationelle, & par conféquent intégrable. Soit maintenant X une fonction rationelle de x; pour trouver l'intégrale de dy = X d x √ (a + bx + cxx), je cherche les deux facteurs de a + bx + cxx; s'ils font réels, j'ai √ (a+bx+cxx)= √(m+nx)(p+q x). Je suppose cette quantité ➡(m+n x) z, & en élevant au quarré, j'ai p+qx=(m+nx)z z, d'où je tire x= 2zdz (mq-pn) p-mzz (nzz-q)2 nzz-q dx= (m+nx)? ( p n − mq ) { = √(a+bx+cx3). Or ces valeurs étant nxx-9 fubftituées dans la formule X d x v ( a + b x + c x2) la rendront rationelle, & par conféquent intégrable. On voit que la même chofe auroit lieu, fi on avoit à intégrer dy • X dx v(a+bx+cxx). Ex. Soit dy dx V (aa-xx), on fera v (aa-xx)=(a−x){› on aura dy = √(xx-aa) ; en faifant (xx-aa)=(x-a), C - 2 d z ̧ . . y = 1° ( ? + 1 ) = 1 = (x+√(xx—a a)). ? -r 870. Lorfque les facteurs de a + bx c x2 font imaginaires, il faut faire évanouir le fecond terme de cette quantité en supposant x + b 20 =%, & alors Xdxv (a+bx+cxx) devient de cette forme... Zdzv (zz+b'b'). Soit donc ( z z + b'b' ) = z+u, on aura b' b'+uu b'b' -uu นน du วนน =z...v (zz+b'b' ) = z + u = 21 ..dz= · ( b'b' + u u); ces valeurs étant substituées dans la formule.. ou Z dz ✓ (z z + b2 b' ) ; 011 Z dz× √ (z z+b'b'), la rendront rationelle. (zz+b'b') Soit, par exemple, dy = d xv (xx + aa); en faisant √ (xx + aa) +, on aura dy = x d x + q d x ; or d x = aa dz zd dz 223 Donc dy = x dx - 2a 43 _{4}, & y = C+÷x x— 2 x (aa+zz). ÷ z2 = C - ÷ aa + =—= √(xx+a a)+}a al ( x + √xx+aa)-a a la ; 2 soit donc C — ¦ a a — a a la =C', on aura y = C'+√(xx+aa) + {aal (x + √xx+aa). 871. On peut appliquer la même méthode au premier cas où a + bx + c x2 a deux facteurs réels; car en faifant évanouir le fecond terme, on aura à intégrer dz ✔ (zz‐bb), oudz √ (bb - zz). Or fi on suppose √ (zz - bb) = z — u, ou (bb-zz)b—az, on rendra rationelles l'une & l'autre différentielles. Méthodes pour intégrer par Séries. 872. LORSQU'UNE différentielle n'eft pas fufceptible d'une intégration exacte, on a recours aux approximations, & les féries font alors une des dernieres reffources. On voit bien, en effet, qu'en réduisant en série une fonction X de la variable x, on aura une fuite de termes monomes dont les intégrales réunies donneront une valeur approchée de fx dx. Par exemple, on fait que l'intégrale de |